高二数学选择性必修第二册 综合测试（基础）-2024-2025学年高二数学同步精品导与练（人教A版选择性必修第二册）

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高二数学选择性必修第二册 综合测试（基础）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2022春·陕西西安·高一校考阶段练习）已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（    ）A．－9 B．0 C．9 D．无法确定【答案】B【解析】 设的公差为d，因为是与的等比中项，所以，即，可得，所以.故选：B.2．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，则在处的切线方程为（    ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ，求导得：， ，又，在处的切线方程为，即.故选：D.3．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知，是f（x）的导函数，则（    ）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】函数的导数为，则.故选：B.4．（2022秋·河北衡水·高二校考期末）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（    ）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【答案】A【解析】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有，，解之可得，，.故选：A.5．（2023云南）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（    ）A． B． C．2 D．9【答案】D【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，q≠1.∴，则＝＝1+q3＝1+8＝9.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是A． B． C． D．【答案】C【解析】 将等差数列记为，其中第节的容积为，因为，所以，所以，所以，所以第节的容积为.故选：C. 7．（2023春·江西宜春·高二校考阶段练习）已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．即a≤3x2∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立∴a≤3∴a的最大值是3故选D． 8．（2023秋·甘肃张掖 ）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以；因为，，即，所以；设，则，所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减，所以，即，当且仅当时等号成立，同理，即，所以当且仅当时等号成立，故，所以，从而，综上．．故选：B.多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023秋·山西）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．数列的前100项的和为【答案】ACD【解析】当时，有，可得；当时，，整理得，即，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，所以，所以．对于A选项，有，故A选项正确；对于B选项，有，故B选项错误；对于C选项，有，故C选项正确；对于D选项，，则数列的前100项的和为，故D选项正确．故选：ACD．10．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）等比数列的公比为（常数），其前项的和为，则下列说法正确的是（    ）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．是等差数列 D．成等差数列【答案】BC【解析】由题，设数列首项为， .A选项，因，则当且仅当，即为常数列时，数列是等比数列，故A错误；B选项，因为常数，则数列是等比数列，故B正确；C选项，因，则为常数，即是等差数列，故C正确；D选项，若，则，此时成等差数列；若 ， ， .令，则.综上，当且仅当时，成等差数列，故D错误.故选：BC11．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（    ）A． B．C．在上是减函数 D．在上是增函数【答案】ABD【解析】令，可得，因为，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又因为，可得，由，即，可得，所以A正确；又由，即，可得，所以B正确；因为，可得，可得，设，可得，所以函数为单调递增函数，又因为，所以，所以在上是增函数，所以D正确.故选：ABD. 12．（2023春·河南郑州·高二校考阶段练习）对于函数的描述，下列说法不正确的是（    ）A．函数存在唯一的零点 B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递增 D．函数的值域为R【答案】ABD【解析】对于A，由题意函数，定义域为，无解,A错误；又，当或时，，故函数在和上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，B错误，C正确；当时，，又,，当时，，所以，故函数的值域不为R ，故D错误.故选：ABD．填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023·河南·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则 ．【答案】【解析】依题意，设切点为，则，由，求导得，于是，解得，从而，则.故答案为：14．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔 ）已知函数，若不等式恒成立，则实数的最小值为 .【答案】【解析】依题意，，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，于是由，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有，所以的最小值为.故答案为： 15．（2023春·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是 ．【答案】【解析】当n＝1时，，所以，当时，，即，所以，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，所以，又当n＝6时，取得最小值，所以实数k的取值范围是．故答案为：16．（2023春·天津·高二校联考期中）设数列的通项公式为，其前项和为，则 .【答案】【解析】．故答案为：．解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023秋·福建三明 ）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据题意可得；当时，， 又符合上式，所以；（2），18．（2023秋·福建三明 ）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列.(1)求和的通项公式；(2)记和分别为和的前n项和，求和.【答案】(1)，；(2)，.【解析】1）设的公比为q，则，由，，成等差数列，得，则有，解得，所以和的通项公式是，.（2）由（1）知；，则，两式相减得，所以.19．（2023秋·江苏连云港 ）已知在数列中，和为方程的两根，且．(1)求的通项公式；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1），而，故解得，由于，所以数列是等差数列，设其公差为，则，解得，所以.（2）依题意，对任意，不等式恒成立，即，，所以，设，，由于，对任意恒成立，所以只需考虑的符号，设（），，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减.，所以当时，，即，当时，，即，，所以，所以实数的取值范围是. 20．（2023秋·全国·高三阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）设的公差为d．∵，∴，解得．∴．（2）当n为奇数时，，当为偶数时，．∴设，①则，②，得∴．故．21．（2023秋·广东 ）设为实数，函数，．(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．【答案】(1)极大值为，极小值为(2)【解析】（1）解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：故函数的极大值为，极小值为.（2）解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，证明：.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析【解析】（1）由题可得，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）设，，则，可知在上单调递增，所以，即在上的最小值为4，由（1）可知在上的最大值为，又因为，可得，可得，，所以当时，.增极大值减极小值增