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人教版新课标B选修2-21.1.1函数的平均变化率教学设计及反思
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这是一份人教版新课标B选修2-21.1.1函数的平均变化率教学设计及反思，共5页。教案主要包含了设计意图，学生探索，归纳总结，学生探究，分析作答，学生探索1，学生探索2，获取新知等内容，欢迎下载使用。
1.1.1 变化率问题
教学目标
知识目标
1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。
2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
教学重点
1.平均变化率的概念的归纳得出；
2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。
教学难点：平均变化率的理解与转化
教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。
教学基本流程
类比归纳
有效建构
知
现象解析
知识流程
历史背景
归纳小结
习题释疑
实例探究
教学过程设计：
一．创设情境
为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。
【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质.
二．新课讲授
（1） .问题提出：
问题1 气温平均变化率
【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画
温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事
物变化的快慢情况。
【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化
情况,怎样用数学知识表示这种现象？
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.
思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），
动手计算：和的平均速度，
在这段时间里，；
在这段时间里，
思考：当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平
均速度是多少?
【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内是静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
【学生探究】经过计算知，所以，
【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。
问题3 气球膨胀率
【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？
现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢，
因此还要计算半径的变化率。
此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。
V从0增加到1L气球平均膨胀率为
V从1L增加到2L气球平均膨胀率为
V从2L增加到3L气球平均膨胀率为
【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。
让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。
（2）平均变化率概念:
【获取新知】平均变化率定义
平均变化率：式子 ，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
习惯上用,
则平均变化率为（说明∆x是一个整体符号，而不是∆与x相乘）
【定义理解】
1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。
2、式子中∆x，∆y的值可正、可负，∆x的值不能为0，∆y的值可以为0.
3、变式:
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的变化量
(2)计算函数平均变化率：
思考：
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.
5
8.6
11
0
（3）例题讲解
例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试比较从出生到
第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大.
【设计意图】引导学生从数与形两个角度来
分析变量的变化快慢。
例2.已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率.
(1) [-3，-1]， (2) [0，5],
【设计意图】 理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
(4)小结归纳，拓展深化
１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？ ２.你又掌握了哪些学习方法？
３.课后作业： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①习题1.1Ａ组 第1题．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础．通过回顾知识，达到拓展深化．空气容量v(L)
0
1
2
3
气球半径（dm）
0
0.62
0.78
0.89
半径的改变量（dm）
0.62
0.16
0.11
1.1.1 变化率问题
教学目标
知识目标
1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。
2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
教学重点
1.平均变化率的概念的归纳得出；
2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。
教学难点：平均变化率的理解与转化
教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。
教学基本流程
类比归纳
有效建构
知
现象解析
知识流程
历史背景
归纳小结
习题释疑
实例探究
教学过程设计：
一．创设情境
为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。
【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质.
二．新课讲授
（1） .问题提出：
问题1 气温平均变化率
【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画
温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事
物变化的快慢情况。
【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化
情况,怎样用数学知识表示这种现象？
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.
思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），
动手计算：和的平均速度，
在这段时间里，；
在这段时间里，
思考：当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平
均速度是多少?
【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内是静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
【学生探究】经过计算知，所以，
【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。
问题3 气球膨胀率
【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？
现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢，
因此还要计算半径的变化率。
此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。
V从0增加到1L气球平均膨胀率为
V从1L增加到2L气球平均膨胀率为
V从2L增加到3L气球平均膨胀率为
【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。
让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。
（2）平均变化率概念:
【获取新知】平均变化率定义
平均变化率：式子 ，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
习惯上用,
则平均变化率为（说明∆x是一个整体符号，而不是∆与x相乘）
【定义理解】
1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。
2、式子中∆x，∆y的值可正、可负，∆x的值不能为0，∆y的值可以为0.
3、变式:
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的变化量
(2)计算函数平均变化率：
思考：
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.
5
8.6
11
0
（3）例题讲解
例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试比较从出生到
第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大.
【设计意图】引导学生从数与形两个角度来
分析变量的变化快慢。
例2.已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率.
(1) [-3，-1]， (2) [0，5],
【设计意图】 理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
(4)小结归纳，拓展深化
１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？ ２.你又掌握了哪些学习方法？
３.课后作业： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①习题1.1Ａ组 第1题．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础．通过回顾知识，达到拓展深化．空气容量v(L)
0
1
2
3
气球半径（dm）
0
0.62
0.78
0.89
半径的改变量（dm）
0.62
0.16
0.11
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