第1章 直角三角形的边角关系 北师大版九年级数学下册单元自测题(含解析)

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北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系单元自测题一、单选题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为(　　) A．7sin 35° B．7cos 35° C．7tan 35° D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（　　） A． B． C． D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=（　　） A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（　　） A． B． C． D．25．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值(　　)A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定6．cos60° 的值等于(　　)A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值是（　　）A． B． C． D．8．下列说法中正确的是(　　)A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝C．tan30°＋tan60°＝1D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋9．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．10．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高 ，则坡面AB的长度是（　　）m A．8 B．16 C． D．二、填空题11．计算tan 45°的正确结果是　 　．12．已知sinA= ，那么2∠A等于　 　度． 13．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，点D、E分别在AC、BC上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则cos∠ABF＝　 　．14．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度 　 　.（结果保留根号）三、计算题15．计算：.16．计算：2cos30°﹣4sin45°+．四、解答题17．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）18．校园雕塑是校园文化的重要载体，在中国科学技术大学校园中有一座郭沫若的雕像，雕像由像体AD和底座CD两部分组成，小天同学在地面B处测出点A和点D的仰角分别是70.5°和45°，测得CD＝2.3米，求像体AD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）19．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部 的距离 为10m，此时测得对树的顶端 的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点 距地面1.6m，求树木 的高度（精确到0.1m）．（参考数据： ， ， ， ， ， ）． 20．如图，一架无人机沿水平方向由 处飞行6千米到达 处，在航线 下方有两个山头 ．无人机在 处，测得 的俯角分别为 和 ．无人机在 处，测得 的俯角为 ，此时山头 恰好在无人机的正下方．求山头 之间的距离． 21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值． 22．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得（1）求点O，M之间的距离.（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.23．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．（参考数据：，，，，，）（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到）．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，∴，即，∴BC=7cos35°. 故答案为：B. 【分析】画出示意图，根据余弦函数的定义即可得出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴ tanA= . 故答案为：A.【分析】根据正切函数的定义tan∠A=即可直接得出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解: ∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴sinB= = ，故答案为：A．【分析】先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可.4．【答案】C【解析】【解答】解: 设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC=2，BC=1，则tanα= = ．故答案为：C．【分析】根据勾股定理求出OB，再由tanα=代入求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，设∠C为直角，则sinA=，当把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则sin A=,sin A的值不变。故答案为：A。【分析】考查正弦函数的定义，在直角三角形中，每条边的长度同时扩大相同的倍数，正弦值不变。6．【答案】A【解析】【解答】解：cos60°=故答案为：A．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．7．【答案】C【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴sinA＝＝，tanB＝，a2＋b2＝c2.∵sinA＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2得b＝4x.∴tanB＝＝＝.故答案为：C. 【分析】由于sinA＝＝，可设a＝3x，则c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根据tanB＝即可求解.8．【答案】B【解析】【解答】解：A．在Rt△ABC中，若tanA=，由于没有指明直角，也没有给出具体某条边的长度，所以无法确定边长，故A不符合题意． B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝，故B符合题意．C．tan30°＋tan60°=，故C不符合题意，D．tan75°=tan（45°+30°）==，故D不符合题意．故答案为：B． 【分析】根据锐角三角形函数的定义及特殊角三角函数值逐一解答即可.9．【答案】A【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°.故答案为：A． 【分析】利用解直角三角形的方法可得AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°。10．【答案】C【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，∴BC：AC＝1：2，∵BC＝4m，∴AC＝8m，则 （m）.故答案为：C. 【分析】由坡比可得BC：AC＝1：2，据此求出AC，再利用勾股定理求出AB即可.11．【答案】1【解析】【解答】解：tan45°=1.故答案为：1.【分析】根据特殊角45°的对应正切值即可求解.12．【答案】120【解析】【解答】∵∠A为锐角，sinA= ， ∴∠A=60°，∴2∠A=120°．故答案为120．【分析】根据∠A为锐角，sinA= ，即可得出∠A的度数，从而得解.13．【答案】【解析】【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为2的正方形，∴CD=CE=DF=EF=2，∠C=∠ADF=90°，∵AC=6，BC=8，∴AD=4，BE=6，∴AB=，，，设BG=x，∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，∴20-（10-x）2=40-x2，解得：x=6，，．故答案为：．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由正方形的性质及勾股定理求出AB、BF、AF的长，设BG=x，由勾股定理得FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，据此列出方程并解之，即得BG的长，由=即可求解.14．【答案】（6+4 ）米【解析】【解答】解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE DC＝2(米)，过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴ （米），BD BF x米，DC＝4米，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得： ，解得：x＝4+4 ，则AB＝（6+4 ）米.故答案为：（6+4 ）米.【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得DE=CD=2米，过D作DF⊥AB，交AB于点F，易得△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，根据矩形的性质可得AF＝DE＝2米，则AB＝(x+2)米，根据三角函数的概念可得BC、BD，在Rt△BCD中，根据勾股定理可求出x，进而可得AB.15．【答案】解：原式【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质、负整数指数幂的性质及绝对值的性质分别化简，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.16．【答案】解：原式＝2×﹣4×+2＝-2+2＝【解析】【分析】将特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后合并即可.17．【答案】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF， ∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝km，则AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tanE＝ ，∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m），∴CD＝DF﹣CF＝23.3m，因此，古树CD的高度约为23.3m.【解析】【分析】延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，根据山坡AC的坡度可设CF＝km，则AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理可得k的值，据此可得AF、CF、EF的值，由三角函数的概念可求出DF的值，然后根据CD＝DF-CF进行计算.18．【答案】解：在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，∴BC＝CD＝2.3米，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，∴AC＝BCtan∠ABC＝2.3tan70.5°≈2.3×2.824≈6.5（米），则AD＝AC﹣2.3≈4.3（米），答：像体AD的高度约为4.3米．【解析】【分析】 在Rt△DBC中BC＝CD＝2.3米， 在Rt△ABC中，由AC＝BCtan∠ABC求出AC的长，根据AD=AC-CD即可求解.19．【答案】解：如图，分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则 由图可知，四边形ABGH是矩形，∴ ， ，在直角三角形BCG中，∠GBC=20°，BC=10，∴ ， ，∴ ， ；设 ，则在直角三角形ADH中，有 ，解得： ；∴树木 的高度为11.6米．【解析】【分析】分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则四边形ABGH是矩形，得到AB=GH=1.6，AH=BG，根据三角函数的概念可得BG、CG，进而得到CH，然后在Rt△ADH中，根据∠DAH的正切函数就可求出CD的值.20．【答案】解：在 中， ． ， ． ．过点 作 于点 ． ， ． ．在 中， ．答：山头 之间的距离为 千米．【解析】【分析】先求出∠ACB=90°，再利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。21．【答案】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，∴AE＝2x，∴AC＝ x，∴ x＝ ， 解得x＝1，∴CE＝1，AE＝2．在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，∴∠B＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝1，∴AB＝AE＋BE＝3，答：∠B的度数为45°，AB的值为3（2）解：∵CD为中线，∴BD＝ AB＝1.5， ∴DE＝BD－ BE＝0.5，∴tan∠CDE＝2.【解析】【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，根据正切函数的定义可得AE=2x，利用勾股定理得AC＝ x，从而结合AC=5建立方程，求出x的值，从而得出CE、AE的长，在Rt△BCE中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得△BCE为等腰直角三角形，从而可得BE=CE=1，然后根据AB=AE+BE算出AB的长； （2）根据中线定义求出BD的长，然后根据DE=BD-BE算出DE的长，进而根据正切函数的定义即可求出答案.22．【答案】（1）解：如图，过点O作、的平行线，交于H，由题意可知，点O是的中点，∵，∴，∴点H是的中点，∵，∴，∴，又∵由题意可知：∴，∴，解得，∴点O、M之间的距离等于；（2）解：过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，∵，∴，∵由题意可知：，又∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，，，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴叶片外端离地面的最大高度等于.【解析】【分析】（1）过点O作AC，BD的平行线，交CD于点H，可证得OH∥AC∥BD，利用点O是AB的中点可证得HC=HD，利用点H是CD的中点，可求出CH的长，根据MH=MC+CH，可求出MH的长；利用已知可证得∠OHM=∠BDC=α，利用解直角三角形求出MO的长.（2）过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ于点I，延长MO，使OK=OB，利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠BOI=∠JBI，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BIO∽△JIB，利用相似三角形的性质可表示出BI，OI的长；再证明四边形OHDJ是平行四边形，可求出JO的长，根据OJ=OI+IJ，可求出IJ，BI，OI的长；利用勾股定理求出OB的长，可得到OK的长，然后根据MK=MO+OK，代入计算求出MK的长.23．【答案】（1）解：如图，∵，，∴．∵，∴．又∵，∴点转动到点的路径长（2）解：如图，过点作于点，过点作于点．在中，．在中，．∴．又∵，∴点到直线的距离约为7.3cm．【解析】【分析】（1）由可得，从而求出，再根据弧长公式求出点转动到点的路径长即可；（2）过点作于点，过点作于点．在中， 求出，在中，求出，从而求出DG+EH的长，即得点到直线的距离 .