北京市海淀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份北京市海淀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为，将用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点E，C，F，B在一条直线上，，添加下列条件判定的是（ ）
A． B． C．D．
5．一个多边形每个外角都是，则该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）.
A．B．C．D．
7．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．分解因式：
11．在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点的坐标为 ．
12．计算： ．
13．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ．
14．如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为 ．
15．把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则 °．
16．请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
三、解答题
17．计算：．
18．（1）已知，求代数式的值．
（2）计算：．
19．小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．
20．如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵，
∴_________．
∵平分，
∴．
∴．
∴_________．
在中，，
∴（____________________________________________）（填推理依据）．
∴．
21．如图所示的网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，为格点三角形．
(1)__________；
(2)在图2和图3中分别画出一个以点，为顶点，与全等，且位置互不相同的格点三角形．
22．列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
23．如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
25．如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
26．在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点．
(1)如图1，若点，，点为，的点，连接，．
①；
②求点的纵坐标；
(2)已知点，．
①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则；
②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________．
方案
编号
第一次过滤
用净水材料的单位量
第一次过滤后
水中杂质含量
第二次过滤
用净水材料的单位量
第二次过滤后
水中杂质含量
A
6a
B
5a
a
C
4a
2a
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，故符合要求；
D中不是轴对称图形，故不符合要求；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n为整数，n的值与小数点移动位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答．
【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意；
B. ，故B选计算错误，不符合题意；
C. ，故C选计算错误，不符合题意；
D. ，故D选计算错误，不符合题意．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，此时无法证明，故A符合要求；
当时，，故B不符合要求；
当时，则，，故C不符合要求；
当时，，故D不符合要求；
故选：A．
5．B
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
【详解】解：边数n＝360°÷72°＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形，熟知多边形的外角和为360°是解答本题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：如图：∵，
∴,即，
∴只有D选项符合题意．
故选D．
7．C
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形正确，符合题意；
D、，原式变形错误，不符合题意；
故选C．
8．A
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形计算即可．
【详解】连接、、，如图，
∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，
∴垂直平分，垂直平分，垂直平分，
∴，，，，，，
∴，故①正确，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，，
∴，，
∴，
同理，，
∴，故③错误；
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键
直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵数式有意义，
∴，即．
故答案为．
10．．
【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】．
11．
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据关于轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：∵点关于轴的对称点为点，
∴点的坐标为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了整式的混合运算， 熟练掌握运算法则是解本题的关键；
原式运用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
，
故答案为：
13．或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，分度数为的角为顶角和底角两种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为的角是顶角时，则顶角的度数为；
当度数为的角为底角时，则顶角的度数为；
综上所述，顶角的度数为或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知，进而可求出的周长．
【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可．
【详解】解：如图，由题意，得，，
，
，
，
，
故答案为：
16． 不是 （答案不唯一）
【分析】本题考查了了分式的定义，因式分解的应用．
（1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可．
【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，，
故不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，
由题意得，
整理得，即，
∵，为正整数，
∴或5或10，
∴或4或9（舍去），
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或．
故答案为：不是，．
17．12
【分析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简，再进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，相关公式有：，，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（1）13（2）
【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键．
（1）先去括号，在合并同类项，然后把代入化简后的式子计算即可；
（2）先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式=
=；
∵，
∴．
∴．
∴原式=．
（2）原式=
=
=．
19．C；D；证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
【详解】解：C，D；理由如下：
连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴点与点的距离为该花瓶内底的宽．
20．(1)见解析
(2)；；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线定义得．则．由等角对等边得到．则根据直角三角形的性质得到，即可得到结论．
此题考查了角平分线的作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，根据性质进行正确推理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）．
∴．
故答案为：；；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
21．(1)90
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，
（1）由勾股定理分别求出，，，再利用勾股定逆定理，得出是直角三角形，即可得到的度数；
（2）根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可．
【详解】（1）解：由勾股定理，，，，
，
是直角三角形，
，
故答案为：；
（2）解：如图，和即为所求作．
22．件
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得：，解得：．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
23．(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，运用证得是解题的关键．
（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论；
（2）先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵于点F，平分，
∴．
（2）解：∵于点F，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
24．(1)
(2)①，②方案C
(3)
【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算，
（1）根据水中的杂质含量为计算即可；
（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：，
第二次过滤后水中杂质含量为：，
故答案为：，；
② 解：=．
∵，
∴，．
∴．
∴．
同理，可得．
∴．
∴方案C的最终过滤效果最好．
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为：，
∴第二次净水后，杂质含量为：，
∵
，
∵，
∴，
当，即时，有最大值为，
∴此时分数有最小值，
即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故答案为：．
25．(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）根据题中要求补全图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可；
（3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论．
【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示：
（2）解：∵于D，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．
证明：如图，在延长线上取点F，使，连接．
∵，，
∴，则，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵， ，，
∴．
26．(1)①30；②
(2)①；②或
【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，得出与轴的夹角为,即，则即可得出；
②过点作轴于，过点作轴于，证明．根据是等边三角形，点，，点，，得出，即可求解；
（2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，根据定义得出是等边三角形，证明轴，得出，分别求得，解方程，即可得出；
②当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，根据含度角的直角三角形的性质得出；当时，点在点的左侧，根据，解方程，即可求解．
【详解】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点，
∵为等边三角形，，，则
,
∵点为，的点，
∴与轴的夹角为,即
∴，
∴，
故答案为：30；
②解：过点作轴于，过点作轴于，
．
点为线段的点，
，，．
．
在和中，
．
．
是等边三角形，点，，点，，
．
，
．
．
点纵坐标为．
（2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，
∵点为，的点，
∴，
则是等边三角形，
过点作轴于点，则，
∴
∵关于对称，
∴，则，
∴轴，
∵点的横坐标为
∴，
∵，则，
∵，， 则，
∴
解得：
故答案为：．
②当时，点，
当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，
∵,，，则()
∴，
∴
∵
∴
当时，点在点的左侧，
同理可得，，则，
∴，
解得：，
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．