北京市景山学校2023~2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市景山学校2023~2024学年八年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B． C． D．
3．一次函数的图象不经过的象限是 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ）

A．①B．②C．③D．④
5．5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
6．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．如图1，在边长为4的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为的函数，使得与符合如图2所示的函数关系（ ）
A．的面积B．的周长
C．的面积D．的周长
8．如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①；②；③对于直线上任意两点、，若，则；④是不等式的解集．其中所有正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②④
二、填空题
9．函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 ．
11．某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为分，分，分，若将三项得分依次按的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为 ．
12．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
13．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是 ．

14．已知，为直角三角形的直角边，是斜边，那么关于的方程的根的情况是 ．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，，则：
（1）点的坐标为 ；
（2）落在轴正半轴上的点坐标是 ．
三、解答题
17．选择适当方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，

(1)画出和；
(2)经旋转后点的对应点分别为，是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请写出点，，的坐标；
19．已知是方程的一个根，求代数式的值．
20．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形.
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
22．某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长，宽的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为，求空白区域的宽度．
23．设一次函数（，为常数，的图象过，两点．
(1)求该函数表达式，并画出该函数的图象；
(2)若点在该函数图象上，求的值；
(3)设点在轴上，若，求点的坐标．
24．某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，________；
(2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察图象，写出该函数的两条性质：
①________；
②________；
(4)进一步探究函数图象发现：
①方程的解是________；
②关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是________．
25．A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂．运费标准（单位：元/吨）如下表：
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型：设从A地运到C厂x吨垃圾．从A，B两地运到C厂的总运费为元，运到D厂的总运费为元．分别求出关于x的函数关系式；
(2)根据函数的图象与性质，解决问题：当时，求x的取值范围．
26．某研究所甲、乙试验田各有水稻穗4万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：
甲试验田穗长频数分布表
c．乙试验田穗长在这一组的是：
6.3 6.4 6.3 6.3 6.2 6.2 6.1 6.2 6.4
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中的值为 ，的值为 ；
(2)表2中的值为 ：
(3)根据考察的结果，将稻穗按穗长从长到短进行排序后，穗长为的稻穗的穗长排名更靠前的试验田是 ，穗长较稳定的试验田是
(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为 个．
27．如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当是的角平分线时，
①求证：；
②直接写出_______°．
(2)依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”．
解决问题：
(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）；
(2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____．
(3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____；
(4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____；
(5)已知实数，满足，求的最小值．
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
目的地
始发地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
分组
频数
频率
4
0.08
9
0.18
11
0.22
0.20
2
合计
50
1.00
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
5.8
5.8
0.454
乙
5.924
6.5
0.608
参考答案：
1．B
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
3．A
【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，此题得解．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数的图象不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
4．C
【详解】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故选C．
5．B
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
6．B
【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查动点的函数图象，由图象可知，随着的增大而减小，当时，，逐一进行判断即可；
【详解】解：A、的面积随着的增大而增大，不符合题意；
B、当时，即点与点重合时，的周长最大，不为0，不符合题意；
C、的面积随着的增大而减小，当重合时，取得最大值，当重合时，面积为0，符合题意；
D、的周长随着的增大而减小，当重合时，周长不为0，不符合题意；
故选C．
8．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据两条直线的交点求不等式的解集．熟练掌握一次函数的图象与性质，根据两条直线的交点求不等式的解集是解题的关键．
由经过第一、第二、第四象限，可知，可判断①的正误；由经过第一、第三、第四象限，可知，随着的增大而增大，可判断②的正误；对于直线上任意两点、，若，则，可判断③的正误；当时，，可判断④的正误．
【详解】解：∵经过第一、第二、第四象限，
∴，①正确，故符合要求；
∵经过第一、第三、第四象限，
∴，随着的增大而增大，②正确，故符合要求；
对于直线上任意两点、，若，则，③错误，故不符合要求；
当时，，
∴是不等式的解集，④正确，故符合要求；
故选：D．
9．且
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，是解题的关键．
10．
【分析】将代入原方程求解即可；
【详解】解；将代入得：

解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根与方程的关系是解题的关键．
11．
【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【详解】解：该企业的总成绩为：，
故答案为：．
12．x＜-2
【分析】根据图象，找出在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可得答案．
【详解】∵点A坐标为（-2，0），
∴关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜-2，
故答案为：x＜-2
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合；熟练掌握函数图象法是解题关键．
13．点
【分析】本题考查了旋转的定义和必抽，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质长到旋转中心即可得到答案．
【详解】解：由图可知，各对应点到点的距离相等，
∴点为旋转中心，
故答案为：点．
14．有两个相等的实数根
【分析】本题考查了勾股定理与一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，则方程有两个不相等的实数根；②，则方程有两个相等的实数根；③，则方程无实数根”． 根据直角三角形中的勾股定理与一元二次方程根的判别式解答．
【详解】解：直角三角形的三个边长为、、，且是斜边，
，
，
关于的方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
15．且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根是解答本题的关键．
16．
【分析】考查坐标的旋转问题，得到相应的旋转规律及的长度的规律是解决本题的关键．
（1）易得在第三象限的角平分线上，先得到的长度，进而判断的坐标即可；
（2）易得轴正半轴上的点横坐标与底数为的幂相关．
【详解】解：（1）由图可得在第三象限的角平分线上，
，，
，作轴，轴，
，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）通过旋转最后落在轴正半轴上，而每次旋转，
需要旋转次才能落在轴正半轴上，并且每旋转一次扩大一倍，
，
旋转到点的坐标为，其中满足的条件是（，，的整数），
故答案为：．
17．(1)，
(2)
【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
解得，，；
（2）解：，
，
∴，
解得，．
18．(1)见解析
(2)，，
【分析】本题主要考查了作图—旋转变换、平移变换，旋转的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用网格特点，旋转的性质和平移的性质画出图形即可；
（2）根据所画图形即可得出点的坐标，根据旋转和平移的性质可得，的坐标．
【详解】（1）解：如图，和即为所作，
；
（2）解：由图可得：，
由旋转和平移的性质可得：，．
19．3
【分析】把代入方程，求出，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可．
【详解】19．解：∵是方程的一个根，
∴．
∴．
原式


．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
20．见解析
【分析】由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形．
【详解】证明：由旋转知∠D=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠D，AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
又∵∠A=∠E，
∴∠ACB=∠A，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，灵活掌握旋转的性质是解答本题的关键.
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：
（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：证明：
，
此方程总有两个实数根；
（2），
，，
此方程恰有一个根小于，
，
解得，
即的取值范围为．
22．
【分析】设空白区域的宽度为，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设空白区域的宽度为，根据题意可得，
，
解得（舍去），，
答：空白区域的宽度应是．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出一元二次方程．
23．(1)，图象见解析
(2)
(3)点坐标或
【分析】（1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式；
（2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值；
（3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标．
【详解】（1）根据题意得：
解得：
函数表达式为
函数图象如下：
（2）点在该函数图象上，
；
（3）设点
直线与轴相交
交点坐标为
或
点坐标或
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
24．(1)
(2)见解析
(3)①函数值；②当时，随的增大而增大；
(4)①；②
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）求出时的函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）结合图像写出两个性质即可；
（4）分别求出方程的解即可解决问题；
【详解】（1）解：时，，
，
故答案为：；
（2）函数图像如图所示：
（3）①函数值；
②当时，随的增大而增大；
故答案为：函数值；当时，随的增大而增大；
（4）①方程的解是；
②关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是，
故答案为：，．
25．(1)，
(2)
【分析】（1）根据运费垃圾数量每吨的运费进行求解即可；
（2）根据（1）所求，列出对应的不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
；
（2）解：当时，则，
解得，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
26．(1)14，10
(2)
(3)甲，甲
(4)万
【分析】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得的值；
（2）根据中位数的意义进行计算；
（3）根据中位数和方差的意义分别进行判断即可；
（4）根据样本估计总体即可求解．
【详解】（1）∵这一组对应的频率为，
∴，
∵这一组的频数为，
∴频率为，
这一组的频率为：，
∴，
故答案为：；
（2）由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数，
故中位数为：，
故答案为：；
（3）由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，
因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲．
故答案为：甲，甲；
（4）甲试验田中穗长在范围内频率为，
故甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个），
答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．
【点睛】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
27．(1)①见解析；②45；
(2)图见解析，，证明见解析．
【分析】（1）①利用等腰直角三角形，再由角平分线的定义得．然后由三角形外角性质得，，从而得，即可由等角对等边得出结论；
②过点C作于点C，交的延长线于点M．则，即可得，再证明．即可得．
（2）过点C作于点C，交的延长线于点M．由可证得．则．再证明，得，即可由．得出结论．
【详解】（1）①证明：∵在中，，，
∴，
∵是边上的高，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
∵，．
∴．
∴．
②过点C作于点C，交的延长线于点M．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：依题意补全图形．
数量关系：．
证明：过点C作于点C，交的延长线于点M．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
28．(1)4；是
(2)12
(3)
(4)
(5)当时，的最小值为9
【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键；
（1）根据“平和数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“平和数”的定义证明结论；
（5）根据题中结论求解；
【详解】（1）4是“平和数”，
理由：因为；
29是“平和数”，
理由：因为．
故答案为：4(答案不唯一)，是；
（2）
故答案为：12；
（3）
．
故答案为：；
（4）
由题意得：，
（5），
∴当时，的最小值为9．