6.5-6.6 一次函数与二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.将一次函数y=2x-1写成二元一次方程组的形式；将二元一次方程3x+4y-5=0写成一次函数的形式。

2.将上题中的一次函数y=2x-1的图像画出来，观察图像，找出它和求出的二元一次方程的解有什么关系？
我们发现，一次函数y=2x-1的图像上的点的坐标都是所求出二元一次方程的解；以所求的二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数y=2x-1的图像上。
因此，一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上。
3.求出二元一次方程组的解，与一次函数与的图像有什么关系？
的解为，而(3，－2)正好在一次函数与的图像上，并且是它们的交点。
因此，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。而用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法。
注：
（1）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解..
（2）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
4.一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解是（ D ）
A．（﹣2，0）B．（0，2）C．x＝2D．x＝﹣2
从上题中我们发现，一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
5.一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式kx+b＜1的解集是（ D ）
A．x＜﹣2B．x＜1C．x＞﹣2D．x＜0
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
注：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
我们发现，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系。已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围。
【解惑】
例1：如果直线与交点坐标是，则是下面哪个方程组的解（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标．
【详解】解：直线与交点坐标为，
解为的方程组是，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
例2：函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组 有（ ）
A．无数解B．无解C．唯一解D．不能确定
【答案】C
【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．
【详解】解：∵直线的交点即方程组的解，
∴函数与函数的图象只有一个交点，则二元一次方程组 有唯一解．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键．
例3：一次函数 的图象如图所示，点在该函数的图象上，则不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】此题考查了利用函数图象求不等式的解集,正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
例4：如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是

【答案】
【分析】根据图象直接得到答案即可．
【详解】解：∵函数与函数的图象交于点，
∴由图象得，不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用一次函数图象的交点求不等式的解集，正确理解一次函数图象交点与不等式解集的关系是解题的关键．
例5：如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
(1)求一次函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)求的面积；
(4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解；
（2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解；
（3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴，解得：，
∴，
把和代入一次函数，得：
，解得， ，
∴ 一次函数解析式是．
（2）解：由（1）知一次函数表达式是 ，
令，则，
∴点．
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，，解得： ，
∴点，
∴，
∵，
∴的面积．
（4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，一次函数与的图象的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴一次函数与的图象的交点坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数图象的交点写出方程组的解即可．
【详解】解：∵解二元一次方程组时所画的图象交点为，
∴方程组的解为，
故选：A
【点睛】此题考查了图象法解二元一次方程组，熟知根据图象交点即可得到方程组的解是解题的关键．
3.（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，直线与的交点的横坐标为，两直线与轴交点的横坐标分别是，，则关于的不等式的解集是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和图形可以求得不等式的解集，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为，
∴ 关于x的不等式的解集就是直线位于直线上方的部分，
∴x取值范围是，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2022秋·八年级单元测试）一次函数与图象的交点是，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．
【详解】解：∵一次函数与图象的交点是，
∴方程组（即）的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
5．（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则方程组的解是 ．

【答案】
【分析】根据图象即可确定方程组的解．
【详解】解：根据图象可知，方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，熟练掌握两条直线的交点坐标与二元一次方程解的关系，是解题的关键．
6．（2023春·河南洛阳·八年级洛阳市第二外国语学校校考阶段练习）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ．

【答案】
【分析】观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
【详解】解：由图象可知：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校联考阶段练习）同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的取值范围是 ．

【答案】
【分析】观察图象，直线都在直线的下方，则满足，从而可得不等式的解集．
【详解】解：当时，直线都在直线的下方，即．
满足的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用直线的交点坐标确定不等式的解集，掌握数形结合的方法是解题的关键．
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积．
【答案】
【分析】根据两条直线相交，可联立方程组求得点的坐标，根据直线与坐标轴有交点可求得点的坐标，如图所示，可得，过点作于点，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得方程组，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
如图所示，过点作于点，

∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中直线与坐标轴围成的面积，掌握一次函数交点的计算方法，图形面积的计算方法是解题的关键．
9．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，直线经过点，与直线相交于点，并与轴相交于点，其中点的横坐标为2．

(1)求点的坐标和，的值；
(2)直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（1）把代入求出点B的坐标，将点A，B的坐标分别代入，求得k、b的值即可求解．
（2）观察函数图象得到结论．
【详解】（1）∵直线经过点B，点B的横坐标为2，
∴当时，，
∴点B的坐标是．
将点A，B的坐标分别代入得到，
解得
∴点B的坐标为，，．
（2）观察图象，当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．
10．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：

(1)关于x的方程的解是______；
关于x的不等式的解集是______；
(2)直接写出：关于x的不等式组的解集是______；
(3)若点C坐标为，
①关于x的不等式的解集是______；
②请求出的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（2）根据图象找到两函数图象在x轴上方部分对应的x的范围即可；
（3）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围即可；利用三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：∵一次函数和的图象，分别与轴交于点、，
∴关于的方程的解是，
关于的不等式的解集，为，
故答案为：，；
（2）解：根据图象可以得到关于的不等式组的解集；
故答案为：；
（3）解：①∵点，
∴由图象可知，不等式的解集是；
②∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
【知不足】
1．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）一次函数的与的部分对应值如表所示，根据表中数值分析，下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而增大
B．一次函数的图像不经过第一象限
C．是方程的解
D．一次函数的图像与轴交于点
【答案】C
【分析】根据题意，运用待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数解析式，图像的性质即可求解．
【详解】解：一次函数中，，；，；
∴，解得，，
∴一次函数解析式为，
∴选项，，则随的增大而减小，故选项错误，不符合题意；
选项，一次函数的图像经过第一、二、四象限，故选项错误，不符合题意；
选项，是方程的解，故选项正确，符合题意；
选项，一次函数的图像与轴交于点，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握待定系数法求解析式，由解析式判定函数图像的性质是解题的关键．
2．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得函数图象在轴的下方，再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为，
故选B
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练的运用数形结合分析是解题关键．
3．（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，当时，．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）如图，直线与交点的横坐标为1，则_______（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【分析】首先根据题意求出两条直线的交点坐标为，然后代入求解即可．
【详解】∵与交点的横坐标为1，
∴将代入，得
∴两条直线的交点坐标为
∴将代入，得．
故选：C．
【点睛】此题主要考查函数与坐标，解题的关键是把代入求出交点坐标．
5．（2023春·上海松江·八年级统考期末）如图：点在直线上，则不等式关于的解集是 ．

【答案】
【分析】由图象即可知不等式的解集．
【详解】由图象可知：当时，直线的图象在直线的上方，
当时，不等式，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想通过一次函数的图象解一元一次不等式是解题的关键．
6．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）若函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．

【答案】
【分析】根据一次函数的性质，结合函数图象，可以写出不等式的解集．
【详解】解：由图象可得，函数与x轴的交点为，y随x的增大而减小，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2023春·北京西城·八年级期末）如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是 ．

【答案】
【分析】根据两条直线的交点的意义即可解答．
【详解】解：由函数图像可知：直线与直线的交点为，
方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键．
8．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）如图是在同一坐标系内作出的一次函数，的图象，，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】直接根据图象作答即可．
【详解】∵，
∴方程组的解即为，的交点，
由图象可知，相交于，
∴方程组的解为，
故答案为．
【点睛】本题考查了根据图象求方程组的解，能够正确转换方程组的解与一次函数交点问题是解题的关键．
9．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、，一次函数的图像经过点，且交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若将的面积分为两部分，求点的坐标；
(3)作点关于轴的对称点，若一次函数的图像与线段没有交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)的取值范围为或
【分析】（1）已知、，运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）如图，过点、分别作轴的垂线、，分别交轴于点、，根据题意先求出直线的解析式，分别表示出，再根据将的面积分为两部分，分类讨论：①；②；根据分式的运算即可求解；
（3）根据题意，先求出点的坐标，分类讨论：①当一次函数的图像经过点，时；②当一次函数的图像经过点，时；图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵、，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图，过点、分别作轴的垂线、，分别交轴于点、，
设直线的解析式为，将点代入，可得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵、，
∴，，
∴，，
∴，
①，
∴，解得，，即点的纵坐标为，
∵点在直线的图像上，且直线的解析式为，
∴点的坐标为；
②，
∴，解得，，即点的纵坐标为，
同理，点的坐标为；
当一次函数经过点，时，
∵一次函数中，
∴时，一次函数不存在，
∴舍去，
∴点的坐标为．
（3）解：的取值范围为或，理由如下，
∵，
∴点关于轴的对称点的坐标为，
∵一次函数的图像经过点，线段没有交点，
①当一次函数的图像经过点，时，如图所示，
∴，解得，，
∴一次函数解析式为，
∵越大，与轴越近，
∴当时，一次函数的图像与线段有交点，
∴当时，一次函数的图像与线段没有交点；
②当一次函数的图像经过点，时，
由（1）可知，直线的解析式为，
∴当时，一次函数的图像与线段有交点，
∴当时，一次函数的图像与线段没有交点；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，几何图形面积的计算方法，两直线交点坐标的计算方法等知识的综合运用是解题的关键．
10．（2023春·北京密云·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过待定系数法将，代入解析式求解．
（2）解不等式
【详解】（1）解：将，代入解得，
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：不等式得，，
当时， （不合题意，舍去）不合题意，舍去；
当时，，
，
解得：．
【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
【一览众山小】
1．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）如图，一次函数和的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标进行求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点，
∴关于，的方程组的解是．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】方程组的解即为直线和直线相交于点的横、纵坐标．
【详解】解：∵直线和直线相交于点，
∴方程组的解是．
故选：A
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
3．（2023春·云南昭通·八年级校考期末）如图，一次函数与的图像相，交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
【详解】解：把代入得，
解得，即点坐标为，
∴二元一次方程组的解为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）已知二元一次方程组的解为，则函数和的图象的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】由二元一次方程组的解为，得出二元一次方程组的解为，从而可得出交点坐标．
【详解】二元一次方程组的解为，
即二元一次方程组的解为，
函数和的图象的交点坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】根据两条直线的交点的意义，结合图形即可求解．
【详解】解：直线与直线相交于点，
方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义，结合图像分析是解题的关键．
6．（2023春·浙江·九年级阶段练习）直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】根据两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查两直线的交点问题，熟练掌握两直线的交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解答的关键．
7．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，已知一次函数图象分别与坐标轴交于A，B两点，则不等式的解集是 ．

【答案】
【分析】根据一次函数的性质得出 随 的增大而减小， 当 时，，即可求出答案；
【详解】∵一次函数的图象与轴交于点 ，与轴交于点
∴随的增大而减小，且 时，
当 时，，即
∴不等式 的解集为
故答案为：
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于 (或小于) 0 的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在轴上 (或下) 方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8.（2023春·江苏南通·八年级统考期末）如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．

【答案】/
【分析】利用A点坐标，再根据函数图象进行解答即可．
【详解】解：由函数图象可知，当时，直线的图象在直线的图象的下方，
∴的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
9．（2023春·吉林·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中点O为坐标原点，直线与轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点A．

(1)求直线的解析式；
(2)判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】（1）用待定系数法可得直线函数表达式为；
（2）求出，即可得，，，故，是等边三角形．
【详解】（1）解：设直线函数表达式为，把，，代入得：
，
解得，
直线函数表达式为；
（2）是等边三角形，理由如下：
联立，
解得，
，
，，
，，，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，勾股定理，等边三角形的判定及应用等知识，解题的关键是正确求出两条直线的交点．
10．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）直线与x轴、y轴分别交于点，，直线与直线相交于点．

(1)求直线和的解析式．
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为
(2)
【分析】（1）将，代入即可求出、，从而得到直线的解析式，根据直线解析式可求出，得到坐标，将坐标代入可求的解析式；
（2）的面积用作底，作高即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
将代入得：，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵，，则，
∴的面积为：
．
【点睛】本题考查利用待定系数法求得函数解析式、三角形面积，解题的关键是利用待定系数法求得函数解析式．
11．（2023春·四川南充·八年级统考期末）如图，直线经过点，与x轴交于点，直线与直线交于点B，与x轴交于点C．

(1)求直线的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立，求得点B的坐标，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）解：设直线的解析式为，把点，代入得
,解得,
∴直线的解析式为;
（2）解：在中，当时，，则点C为．
联立，解析式：,解得,
∴点B为．
由点得．
．
答：的面积为．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算等，解题的关键：（1）熟练掌握待定系数法，（2）求点B的坐标．
12．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该图像的性质．
(1)列表，请直接写出表中m和n的值；
(2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图像；
(3)在所给的平面直角坐标系中，过点（0，3）和（2，2）两点画出直线，结合你所画的函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)m＝6，n＝2；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析，．
【分析】（1）代入求值即可；
（2）描点，作图即可；
（3）先描点作图，观察图像即可得．
【详解】（1）解：将代入中，得；
将代入中，得．
，．
（2）如图所示：图像即为所求．

（3）如图所示图像即为所求．

由图像可知的解集为．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握用描点法画出函数图像，利用数形结合思想，解一元一次不等式是解题的关键．
13．（2023·河南周口·校联考三模）某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下：

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
填空：______，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______；
(4)点是该函数图象上一点，现已知点在直线的下方，且，那么的取值范围是______．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值(答案不唯一)
(4)或
【分析】（1）分别求出和时对应的y值即可；
（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；
（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；
（4）分别求得与时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）当时，，
当时，，
故答案为：，．
（2）解：根据描点连线，如图所示．

（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)．
故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)．
（4）解：当时，即，
解得：或，
当时，
解得或，
根据函数图象可得，点在直线的下方，且，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
14．（2023春·北京密云·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B．

(1)求A、B两点的坐标；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)结合图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A，B的坐标；
（2）描点、连线，画出函数图象；
（3）观察函数图象，找出当时（即图象在轴上方时）的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）在图中描出点A，B，连接，直线即为所求．

（3）观察函数图象，可知：当时，的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）描点、连线，画出直线；（3）观察函数图象，找出结论．
15．（2023春·辽宁大连·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点A．

(1)求点A的坐标；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段的中点时，求b的值；
②当时，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或．
【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，求出方程组的解，即可得到点A的坐标；
（2）首先求出点B、C、D的坐标．①根据线段中点坐标公式列方程求出b的值；②利用两点间距离公式求出和，根据得出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：联立，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知，
当时，
解得：，
∴；
联立，
解得：，
∴；
当时，
解得：，
∴；
①当点C是线段的中点时，可得，
解得：；
②∵，，且，
∴，
∴
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数图象的交点问题，线段中点坐标公式，两点间距离公式，熟练掌握两条直线交点坐标的求法是解题的关键．
16．（2023春·广西北海·八年级统考期末）如图，直线的表达式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线交于点．

(1)求点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)点是轴上的一个动点，当的面积为6时，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）当时，即可求解；
（2）设直线的表达式为，由，即可求解；
（3）可求，设，分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧时，由面积即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
当时，，
解得：，
．
（2）解：设直线的表达式为，则有
，
解得：，
直线的表达式为．
（3）解：由，
解得：，
；
设，
①在的左侧时，
，
解得：，
；
②在的右侧时，
，
解得：，
；
综上所述：的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法，待定系数法，由面积求动点坐标问题，掌握解法，“化动为静”是解题的关键．
17．（北京市燕山地区2022--2023学年八年级下学期期末数学试题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数与进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)绘制函数图象
①列表：下表是与，的几组对应值；
其中，b=________；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象．

(2)结合函数图象，探究函数性质
①函数，的图象的交点坐标为______，则关于x，y的二元一次方程组的解是________；
②过点作垂直于x轴的直线与函数，的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，的取值范围是_________．
【答案】(1)①6；②见解析；
(2)①，；②．
【分析】（1）①依据题意，通过解析式代入可以得解；
②依据题意，结合①可以得解；
（2）①借助图象可得交点坐标，再结合方程组的解即对应交点坐标，进而得解；
②依据题意画出图象分析即可得解；
【详解】（1）①当时，
故；
②画出函数，的图象如下图；

（2）①由（1）中图像可知：函数，的图象的交点坐标为
则方程组的解为：
故答案为：，
②如图：显然在A左侧时点P位于点Q下方，
又
故答案为

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数与二元一次方程，解题时要熟练掌握并理解．
…
…
…
…
x
．．．
-6
-4
-2
0
2
4
6
．．．
．．．
m
4
2
0
n
4
6
．．．
…
0
1
…
…
0
2
…
…
b
5
…