6.4 用一次函数解决问题-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

6.4用一次函数解决问题【推本溯源】根据图像解决下列问题（收费问题）1.某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示．（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费　45　元；（2）当用水18立方米以上时，每立方米应交水费　3　元；（3）若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？【解答】解：（1）由图象可得，某月用水量为18立方米，则应交水费为45元，故答案为：45；由图象可得，当用水18立方米以上时，每立方米应交水费（75﹣45）÷（28﹣18）＝3（元），故答案为：3；（3）∵81＞45，∴这个月用水量超过18立方米，∴这个月的用水量为：（81﹣45）÷3+18＝30（立方米），即这个月用水量为30立方米（方案问题）2.某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为240元，两家旅行社的服务质量相同．假如校长带领x名学生去旅游，甲、乙旅行社的收费分别为，元．(1)写出，与的函数关系式．(2)三好学生人数在什么情况下，选择哪个旅行社合算？【答案】(1)，(2)当学生人数小于4人时，选择乙旅行社合算；当学生人数等于4人时，选择甲乙旅行社一样；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社合算【分析】（1）根据题意直接得出该校向甲乙两家旅行社支付的旅游费y（元）与“三好学生”的人数x人之间的关系式；（2）通过两家旅行社费用的比较即可得出结论．【详解】（1）解：由题意可知：，；（2）解：当时，，解得，∴当学生人数小于4人时，选择乙旅行社合算；当时，，解得，∴当学生人数等于4人时，选择甲乙旅行社一样；当时，，解得，∴当学生人数大于4人时，选择甲旅行社合算．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，明确题意，列出关系式是解题的关键．（行程问题）3.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．(1)B品牌10分钟后，每分钟收费 　　元；(2)写出A品牌的函数关系式为 ；(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？(4)直接写出两种收费相差1.4元时x的值是 ．【答案】(1)0.1(2)y1＝0.2x（x≥0）(3)A品牌(4)8分钟或34分钟【分析】（1）根据B品牌的电动车在10分钟后， 10分钟收费为1元，即可求出B品牌的电动车10分钟后每分钟的收费；（2）设A品牌的函数关系式为y=kx+b（x≥0），然后代入点(0,0)和点(20,4)即可求解；（3）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱；（4）当x＝20min时两种收费相同，两种收费相差1．4元时，分20min前和20min后两种情况讨论|y1-y2|=1.4，分别解方程即可．【详解】（1）解：由图像可知：B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元，故B品牌电动车在10分钟后每分钟收费为1÷10=0.1元．故答案为：0.1（2）解：设A品牌的函数关系式为y1=kx+b（x≥0），代入点(0,0)和点(20,4)得：b=0，k=0.2，∴y1＝0.2x（x≥0），故答案为：y1＝0.2x（x≥0）；（3）解：∵6÷20＝0.3（h），0.3h＝18 min，又∵18＜20，由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱，∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱；（4）解：∵当x＝20min时两种收费相同，∴两种收费相差1.4元时，分20min前和20min后两种情况，①当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，当x＝10时，y1＝0．2×10＝2，y2＝3，y2﹣y1＝3﹣2＝1，∴要使两种收费相差1.4元，x应小于10，∴y2﹣y1＝3﹣0.2x＝1.4，解得：x＝8；②设B品牌在x>10的函数关系式为y2=kx+b，代入点(10,3)和点(20,4)，∴，解出，∴ (x>10)，当x＞20时，0.2x﹣（0.1x+2）＝1.4，解得：x＝34．∴在8分钟或34分钟，两种收费相差1.4元．故答案为：8分钟或34分钟．【点睛】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式，在解题时注意分类讨论．因此，用一次函数解决问题，我们只需要分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【解惑】例1：一蓄水池中有的水，打开排水阀门开始放水后水池中的水量与放水时间有如下关系：下列说法不正确的是（ ）A．蓄水池每分钟放水 B．放水18分钟后，水池中的水量为C．放水25分钟后，水池中的水量为 D．放水12分钟后，水池中的水量为【答案】D【分析】根据题意可得蓄水量，从而进行各选项的判断即可．【详解】解：设蓄水量为y，时间为t，设关系式为，将，代入得，解得则可得，A、蓄水池每分钟放水，故本选项不合题意；B、放水18分钟后，水池中水量为：，故本选项不合题意；C、放水25分钟后，水池中水量为：，故本选项不合题意；D、放水12分钟后，水池中水量为：，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数关系式的知识，解题的关键是根据题意确定函数关系式．例2：如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（   ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】根据矩形的周长得出，再移项即可得出答案．【详解】根据题意可得故选A．【点睛】本题考查了一次函数的应用，理清题中的数量关系式是解题的关键．例3：一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度 (厘米)与燃烧时间 (小时)()之间的关系是 ．【答案】【分析】根据题意可得等量关系：燃烧的高度剩余的高度，根据等量关系列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得：，整理得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．例4：小明和小亮的家分别位于新华书店的东西两边，他们相约同时出发到新华书店购买书籍，小明骑车小亮步行．小明、小亮到新华书店的距离（m），（m）与时间（min）之间的关系如图所示，经过 min，他们途中到书店的距离相等．【答案】1.5【分析】分别求出函数的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．【详解】解：设函数，∴，∴，∴，联立，解得，∴经过1.5分钟，他们途中到书店的距离相等，故答案为：1.5．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．例5：城有肥料吨，城有肥料吨，现全部运往，两乡，从城往，两乡运送肥料的费用分别是每吨元和元，从城运往，两乡的运输费用分别是元和元，乡需吨，乡需吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元．(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？【答案】(1)与的函数关系式为(2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元【分析】（1）设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往、乡的肥料量分别为吨和吨，然后根据总运费和运输量的关系列出方程式，就可以求出解析式；（2）根据（1）的解析式，由一次函数的性质就看由求出结论．【详解】（1）解：设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往、乡的肥料量分别为吨和吨，∴，自变量的取值范围为，与的函数关系式为．（2）解：由（1）知，，∵，∴随的增大而增大，∴当时，运费最少，最少为，∴从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元．【点睛】本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用．解答时求出一次函数的解析式是关键【摩拳擦掌】1．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（    ）A． B． C． D．且【答案】C【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．【详解】解：如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，解得．故选：C．【点睛】一次函数的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b的关系：①时，y随x的增大而增大．这时，若，则直线经过一、二、三象限；若，则直线经过一、三、四象限；若，直线经过一、三象限和原点（此为正比例函数的图象）；②时，y随x的增大而减小．这时，若，则直线经过一、二、四象限；若，则直线经过二、三、四象限；若，直线经过二、四象限和原点（此为正比例函数的图象）．2．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）直线的图象经过第一、二、四象限，那么k的取值范围是(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】由一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，解不等式组即可．【详解】解：直线的图象经过第一、二、四象限，∴，由①得：，由②得：，∴．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“由的图象与k、b的符号的关系”是解题的关键．3．（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）某学校劳动实践基地要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米，如图．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的关系式是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据长方形的周长（长宽），设的边长为x米，边的长为y米，即可作答．【详解】解：设的边长为x米，边的长为y米，∴，即．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确地理解题意找出等量关系是列出函数关系式的关键．4．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）某商场举行“迎端午，庆佳节”活动，销售某商品在保持销售价80元/件不变的前提下，规定凡购买超过5件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买件，应付元，则与间的关系式是 ．【答案】【分析】根据题目条件，将5件全价的钱数与超过5件部分打5折的钱数加起来，即可得到答案．【详解】解：由条件可得，∴与间的关系式是．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的应用问题，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语．5．（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）某种苹果的销售数量与售价之间的关系如表所示，若购买售价为元，则与的关系式为 ．【答案】【分析】观察表格数据，发现增加1，则增加8，符合一次函数，然后待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：设与的关系式为，将；代入，得，解得：∴与的关系式为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．6．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）一号探测气球从海拔10千米处出发，与此同时，二号探测气球从海拔30千米处出发．两只气球所在位置的海拔y（千米）与上升时间x（分）的函数图象如图所示．在上升40分时，两只气球位于同一高度，则这个高度是 千米．  【答案】50【分析】设上升40分时，两只气球位于同一高度千米，两只气球都不再上升的高度为千米，然后分别根据两个气球上升的速度列出方程组，消掉解方程即可．【详解】解：设上升40分时，两只气球位于同一高度千米，两只气球都不再上升的高度为千米，由题意得：，由①得，由②得，消掉得，解得．故两只气球位于同一高度，这个高度是50千米．故答案为：50．【点睛】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图形，根据气球的速度列出方程组是解题的关键．7．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为 ．【答案】【分析】根据题意可得，，代入不等式，即可求解．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，∴，，则∵∴即，，又∴， 解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标，一次函数的性质，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（2023春·八年级单元测试）某水电站的蓄水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图（甲）所示，出水口出水提与时间的关系如图（乙）所示．已知某天点到点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图（丙）所示，根据图像说明：(1)进水口单位时间内进水量是多少？出水口单位时间内出水量是多少？(2)求点到点这段时间水池内水量与时间的函数解析式及定义域；(3)试说明点到点和点到点这个时间段内进出水口的开放情况．【答案】(1)（万立方米/时），（万立方米/时）(2)(3)点到点时一只进水管进水，一只出水管出水；点到点时两只进水管进水，一只出水管出水【分析】（1）根据图甲，乙可知进水口的进水量，出水口的出水量，由此即可求解；（2）根据图丙，可知点到点只有进水管进水，由此即可求解；（3）根据图丙，从点开始水量下降，到点时保持不变，从点到点时水池水量保持不变，由此即可求解．【详解】（1）解：由图甲可知，当时间是小时时，进水量为万立方米，从图乙可知，当时间是小时时，出水量为万立方米，∴进水口单位时间内进水量是（万立方米/时），出水口单位时间内出水量是（万立方米/时）．（2）解：点到点，则有，，根据图丙，设水量与时间的函数解析式为，∴，则，∴水量与时间的函数解析式为，定义域为．（3）解：点到点，根据图丙得，，，设直线方程的解析式为，∴，解方程组得，，∴点到点时的直线方程为，即一只进水管进水，一只出水管出水；当时间从点到点时，若一只进水管进水，一只出水管出水，则水池的水量，从图丙可知，水位恒定在万立方米，则两只进水管进水，一只出水管出水．【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，理解函数图形的性质，对图形上数据分分析，结合实际情况得出结论是解题的关键．9．（2023春·河北秦皇岛·八年级统考期末）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题：(1)“龟兔再次赛跑”路程为 米；(2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟；(3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分．【答案】(1)1000(2)乌龟，40(3)60，10，，100【分析】（1）根据图象直接得出结论；（2）根据图象直接得出结论；（3）根据图象直接得出乌龟和兔子所用的时间，再用路程除以时间求出所用速度．【详解】（1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，故答案为：1000（2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟，故答案为：乌龟，40（3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程，乌龟的平均速度为＝（米/分），兔子的平均速度为＝100（米/分），故答案为：60，10，，100【点睛】本题考查了一次函数的应用，具备在直角坐标系中的读图能力是解题的关键．10．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元．(1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围：(2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)，且是整数(2)生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元【分析】（1）本题的等量关系是：总利润生产甲吉祥物的利润生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，来列出不等式组求出自变量的取值范围；（2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案．【详解】（1）解：根据题意得，，由题意，解得：，自变量的取值范围是且是整数；（2）由（1），，随的增大而减小，又且是整数，当时，有最大值，最大值是（元），生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法．【知不足】1．（2023春·全国·八年级专题练习）一水池蓄水，打开阀门后每小时流出，放水后池内剩余的水量Q与放水时间t（时）的函数关系用图象表示为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．另外，池内剩下的水的立方数Q 与放水时间t（时）都应该是非负数．【详解】选项A，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而增长，选项错误；选项B，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q的量不变，选项错误；选项C，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了，选项错误；选项D，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而减少，选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的应用，注意图象所反映的信息．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若直线经过第一、二、三象限，则下列结论正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的增减性和与y轴的交点与系数的关系求解即可．【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限，∴y随x的增大而增大，函数与y轴交于正半轴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，k≠0），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当，图像与y轴的正半轴相交，当，图像与y轴的负半轴相交．3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（    ）A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h．C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地．【答案】C【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻．【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确．乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确．设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误．乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确．故选C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．4．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）已知一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，那么m的取值范围是 ．【答案】【分析】根据题意和一次函数的性质得，解不等式组即可．【详解】∵一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，∴一次函数的图象经过平面直角坐标系中的第一、三象限或一、二、三象限，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．5．（2023春·河南周口·八年级校联考阶段练习）甲、乙两人约好沿同一条路同时（不同地）出发去博物馆，已知甲开车从地出发，乙在地和博物馆之间距地处骑电动车出发，甲在中途停车加油后又以原来的速度前进，他们距离地的路程与甲出发的时间之间的函数图像如图所示，则有下列说法：①乙的总路程比甲少；②甲加油时共停车了；③甲全程的平均速度为；④乙的平均速度为；⑤甲在出发时第一次与乙相遇．其中正确的说法有 ．（填序号）【答案】①④⑤【分析】根据题意可得乙的总路程比甲少，可判断①；根据路程、速度与时间的关系可得甲的速度为，根据甲在中途加油的地点距博物馆，可得，从而求出，可得甲加油时共停车了，可判断②；根据速度＝路程÷时间，可得甲全程的平均速度为，可判断③；乙的平均速度为，可判断④；用待定系数法确定段的解析式为，乙所对应的解析式为，解联立方程组后可判断⑤．【详解】解：∵甲、乙两人约好沿同一条路同时（不同地）出发去博物馆，已知甲开车从地出发，乙在地和博物馆之间距地处骑电动车出发，∴乙的总路程比甲少，故说法①正确；根据图形可知：甲的速度为，∵甲在中途停车加油后又以原来的速度前进，且甲在中途加油的地点距博物馆，∴，∴，∴，∴，∴甲加油时共停车了，故说法②错误；根据图形可知：甲全程的平均速度为，故说法③错误；乙的平均速度为，故说法④正确；设段的解析式为，过点，∴，解得：，∴段的解析式为，设乙所对应的解析式为，过点，点，∴，解得：，∴乙所对应的解析式为，联立方程组得：，解得：，∴甲在出发时第一次与乙相遇，故说法⑤正确；综上所述，正确的说法有①④⑤，故答案为：①④⑤．  【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据图像得到相关信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．6．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围为 ．【答案】【分析】若函数的图象经过第一、二、四象限，则，由此可以确定m的取值范围．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次图象经过第一、二、四象限，则是关键．7．（2023春·全国·八年级专题练习）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示．(1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式；(2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？【答案】(1)(2)小时【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可．（2）令，代入一次函数解析式求解即可．【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为，由图可知，，，将，代入，得，解得，．（2）解：由图可知，服务区在（段），令，则，解得，赵叔叔出发小时到达服务区．【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．8．（2023春·吉林·八年级校联考阶段练习）某快递公司甲、乙两名快递员某月连续10天里派送快递，工作期间甲快递员因事停工3天，乙比甲晚工作一段时间，派送快递的数量与甲相同时因事停工、甲、乙各自的工作效率一定．设甲、乙两人各自派送快递的数量为y(件)，甲工作的时间为x(天)，y与x之间的函数图象如图所示．  (1)甲快递员每天派送快递 件；(2)求乙快递员工作时y与x之间的函数关系式：(3)求甲、乙两名快递员这10天派送快递的总数量．【答案】(1)60(2)(3)720件【分析】（1）甲的工作效率为：（件天）；（2）甲8天共派送快递（件），可得乙的工作效率为50件天，即可得乙快递员工作时与之间的函数关系式为，，为整数）；（3）甲快递员这10天派送快递（件），乙快递员派送快递300件，即得甲、乙两名快递员这10天派送快递720件．【详解】（1）解：由图象可以看出，甲工作3天后停工3天，甲的工作效率为：（件天），故答案为：60；（2）当时，甲派送快递（件），乙的工作效率为（件天），乙快递员工作时与之间的函数关系式为，即，，为整数）；（3）甲快递员派送快递（件），乙快递员派送快递300件，甲、乙两名快递员这10天派送快递的总数量是（件），答：甲、乙两名快递员这10天派送快递720件．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题是关键是读懂题意，能从图中获取有用信息．9．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付元，去乙书店购书应付元．(1)分别写出付款金额、与x的关系式；(2)若小红当天购书的标价为120元，你帮小红算一下她去哪家书店买书更划算？【答案】(1)；；(2)甲书店【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案；（2）当时，计算出、的值，比较即可求解．【详解】（1）解：由题意知：，当x时，， ∴；（2）解：当时，，，因为．所以小红算去甲书店买书更划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．10．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某百货公司计划购买A型和B型两种环保节能灯．共购买50盏，且当天全部售出．其生产成本及销售单价如下表所示：设该百货公司每天购买A型节能灯盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为y元．(1)求出y与之间的函数关系式；(2)若该百货公司计划每天采购这两种节能灯的总成本不超过1900元，要使得每天所获利润最大，求每天应各购买多少盏A型和B型环保节能灯？并求出最大利润．【答案】(1)(2)该厂每天购买30盏A型环保节能灯和20盏B型两种环保节能灯，可使所获利润最大，最大利润为460元【分析】（1）根据利润A型节能灯利润B 型节能灯利润即可求解；（2）根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：由题意得，解得，∵，∴y随x的增大而增大，∴时，答：该厂每天购买30盏A型环保节能灯和20盏B型两种环保节能灯，可使所获利润最大，最大利润为460元．【点睛】本题考查一次函数在实际问题中的应用．一元一次不等式的应用，根据题意建立一次函数模型是解题关键．【一览众山小】1．（2023春·山西吕梁·八年级校联考阶段练习）某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（   ）  A．17000无 B．18000元 C．19000元 D．20000元【答案】C【分析】设y与x的函数关系式为，由图可知，函数经过点和点，列方程组求解，即可求得函数关系式；当时，代入函数关系式计算即可求得收入．【详解】设所求的函数关系式为：，∵函数图象过和两点，根据题意得：，解得．∴所求的函数关系式为．当时，，∴营销人员月销售3万件的收入是19000元．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是能够运用待定系数法准确求出一次函数的关系式．2．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度y与维修的天数x之间的函数关系图象如图所示，下列结论不正确的是（    ）  A．甲队维修道路长度为700m，乙队所维修的道路长度为900mB．开工天，甲、乙两队所维修道路长度相等C．开工2天，甲队比乙队多维修100mD．乙队每天的工作效率都比甲队每天的工作效率高【答案】D【分析】根据图象数据直接分析A选项正确；进而求得甲队在的时段内，与之间的函数关系式是；乙队在的时段内，与之间的函数关系式是；据此逐项分析即可求解．【详解】解：由图象可得，甲队维修道路长度为700m，乙队所维修的道路长度为900m，故选项A正确；甲队在的时段内，设与之间的函数关系式为，∵点在该函数图象上，∴，解得，即甲队在的时段内，与之间的函数关系式是；乙队在的时段内，设与之间的函数关系式为，∵点在该函数图象上，∴，解得，即乙队在的时段内，与之间的函数关系式是；当时，解得，∴开工天，甲、乙两队所维修道路长度相等，故选项B正确；当时，解得，∴，∴开工2天，甲队比乙队多维修100m，故选项C正确；开工2天之内，甲队每天的工作效率比乙队每天的工作效率高，故选项D不正确；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式结合图象分析是解题的关键．3．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图是某地出租车的乘车里程和所付车费之间的关系图象，分别由线段和射线组成．张老师乘坐出租车里程是．他应该付的车费是 元．  【答案】【分析】利用待定系数法求出段的函数解析式，再把代入求解即可．【详解】解：设段的函数解析式为，把代入得：，解得，∴段的函数解析式为，当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的一次函数解析式是解题的关键．4．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）五一节期间，重百商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超过元者，超过元的部分打七折，小明到该商场一次性购买单价为元的礼盒件，则应付款（元）与（件）之间的关系式，化简后的结果是 ．【答案】【分析】根据“凡在本商场一次性购买商品超过元者，超过元的部分打七折”列代数式即可解答．【详解】解：∵小明到该商场一次性购买单价为元的礼盒件，∴超出元的部分为元，∴应付款，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，根据题意找准数量关系是解题的关键．5．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）某水果店购进凤梨和榴莲两种水果共100，两种水果的进价和售价如下表所示(1)若水果店购进两种水果共花费1116元，求购进凤梨和榴莲分别多少千克；(2)若购进凤梨重量不小于榴莲重量的，且全部销售完，则应如何进货才能使得总利润最大，最大利润为多少？【答案】(1)购进凤梨42kg，榴莲58kg(2)当购进凤梨25kg，榴莲75kg时，总利润最大为725元【分析】(1)设购进凤梨，则购进榴莲，然后各自用进价乘以购买的千克数算出两种水果进货花费的费用，最后相加等于1116元得出方程，解方程即可．(2)根据题干求得凤梨的重量范围，然后列出利润的一次函数式，并根据函数的增减性来判断即可．【详解】（1）设购进凤梨，则购进榴莲解得∴答：购进凤梨，榴莲（2）设总利润为元解得      ∵∴随增大而减小∴当时，最大为∴当购进凤梨，榴莲时，总利润最大为725元．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用及一次函数的增减性等知识点，解题的关键是对这些知识点能够灵活运用．6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考期中）某种优质蚊香一盘长为，小海点燃后观察发现每小时缩短．(1)写出蚊香点燃后的剩余长度（单位：与点燃时间（单位：）之间的函数关系式；(2)该盘蚊香可使用多长时间？【答案】(1)(2)该盘蚊香可使用【分析】（1）根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度用t表示出y即可；（2）当蚊香的长度y为0时，即蚊香燃尽的时候求出相应的时间即可．【详解】（1）解：由题意可得，．（2）解：令，即，解得，所以该盘蚊香可使用．【点睛】本题考查了一次函数的应用及一次函数与一元一次方程的知识，解题时从实际问题中整理出函数模型并利用函数的知识解决实际问题．7．（辽宁省鞍山市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）高速公路上，两地相距760千米，一辆货车从地开往地，同时一辆客车从地开往地，已知货车的行驶速度为每小时90千米，客车的行驶速度为每小时100千米，设货车与地的距离为（单位：千米），客车与地的距离为（单位：千米）；(1)分别写出，与出发时间的函数关系式；(2)若距离地400千米处有一服务区，两车均需要在此处加油和休息，请判断两车是否会同时进入服务区，并说明理由．【答案】(1)，(2)两车会同时进入服务区，理由见详解【分析】（1）根据：货车与距离小时行驶的路程，客车与距离小时行驶的路程，即可求解；（2）当时，分别求出时间，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，．（2）解：两车会同时进入服务区，理由如下：当时，解得：，解得：，，两车会同时进入服务区．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，列出函数关系式，理解自变量和因变量的实际意义是解题的关键．8．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费，超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费，该市某户今年4、5月份的用水量和所交水费如下表所示：设某户每月用水量x（立方米），应交水费y（元）．(1)则______，______；(2)直接写出y关于x的函数关系式；(3)该户6月份的水费是27元，求该户6月份的用水量？【答案】(1)2，(2)时，；时，；(3)该户6月份的用水量9立方米．【分析】（1）根据4月份的收费列式计算即可得到a，再根据5月份的收费分两个部分列式计算即可得解；（2）根据a、c的值分别写出y与x的关系式即可；（3）把代入函数关系式计算即可得解．【详解】（1）解：由表可知，，，解得．故答案为：2，；（2）解：时，；时，，即；（3）解：，则，解得，答：该户6月份的用水量9立方米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解收费=单价×数量并读懂图表信息是解题的关键．9．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，矩形中，，，点从点A出发，沿折线A→→→运动（不包含点A，点）．设点运动的路程为，其中的面积为，(1)直接写出与之间的函数关系式，注明的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图像；(2)观察函数图像填空：①该函数图像_________轴对称图形（填“是”或“不是”）；②当_____________时，该函数取得最大值为_______③当随的增大而增大时，自变量的取值范围为________(3)当时，的值为__________【答案】(1)，图见解析(2)①是；②，6；③(3)2或8【分析】（1）根据题意三种情况写出与之间的函数关系式，并注明的取值范围，再画出函数图像即可；（2）根据图像进行回答即可；（3）分和两种情况求出自变x的值．【详解】（1）解：矩形中，，，∴，，当时，，当时，，当时，，∴与之间的函数关系式为，函数的图像如下：（2）由函数图像可知，①该函数图像是轴对称图形；②当时，该函数取得最大值为6；③当随的增大而增大时，自变量的取值范围为；故答案为：①是；②，6；③（3）当时，时，，解得，符合题意；当时，时，，解得，符合题意；∴当时，的值为2或8．故答案为：2或8【点睛】此题考查了函数解析式、从函数图像获取信息、求自变量的值等知识，读懂题意，正确求出函数解析式是解题的关键．10．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）公交是一种绿色的出行方式，今年某县全面开通环保电动公交车．公交车在每天发车前需先将蓄电池充满，然后立即开始不间断运行．为保障行车安全，当蓄电池剩余电量低于时，需停止运行．在充电和运行过程中，蓄电池的电量y（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．已知当该电动公交车运行时，y与x的函数表达式为．  (1)该电动公交车每小时充电量为________；(2)当该电动公交车运行时，求y关于x的函数表达式；(3)当蓄电池的电量为时，求该电动公交车运行了多长时间？【答案】(1)30(2)(3)【分析】（1）根据点与的含义列式计算即可；（2）由公交车运行时y关于x的函数表达式为，图象经过点，将其代入得：，从而可得答案；（3）将代入，得：，再解方程，从而可得答案．【详解】（1）解：该电动公交车每小时充电量为（）（2）∵公交车运行时y关于x的函数表达式为，图象经过点，将其代入得：，解得：，∴∴公交车运行时y关于x的函数表达式为： ．（3）当蓄电池的电量为时，将代入，得：，解得：，∴，∴电动公交车运行了9小时．【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中获取信息，理解题意，利用待定系数法求解一次函数的解析式是解本题的关键．11．（2023秋·山西运城·八年级统考期末）如图，已知一次函数与x轴交于点A， y轴交于点B， 点C与点A关于y轴对称．(1)求直线的函数关系式；(2)若点M在线段上，过点M作y轴的平行线，交直线于P，交直线 于点Q； ①如图，当点在线段上时，的面积为S，求S与a之间 的函数关系式； ②连接，若，求点P的坐标．【答案】(1)直线BC的函数解析式为(2)①；②点P的坐标为或【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解．【详解】（1）解：对于，由得：，．由得：，解得，，点与点关于轴对称．，设直线的函数解析式为，，解得，直线的函数解析式为；（2）解：①点，则点，点，过点作与点，则，，则的面积，故与之间的函数关系式为；②如图，当点在轴的右侧时，点与点关于轴对称，，，，，，，，设，则，，，，，解得，∴，当点在轴的左侧时，同理可得，综上，点的坐标为或．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形12．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：  (1)点P在上运动的时间为 ，在上运动的速度为 ，的面积S的最大值为 ．(2)求出点P在上运动时S与t之间的函数解析式．(3)当t为何值时，的面积为．【答案】(1)6，2，18(2)(3)当t为、时，的面积为【分析】（1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解；（2）用t表示，代入面积公式即可求解；（3）通过图象可知，的面积为．即，分别在和，上代入即可求得答案．【详解】（1）解：由图象可知，点P在上运动的时间为，在上运动的速度为，当点P运动在时，的面积S最大，最大值是；故答案为：6，2，18；（2）点P在上运动时，，，；即：；（3）当P在上运动，即时，速度为，则，，的面积为，即时，∴，∴，当P在上运动，的面积为，不符合题意，当P在上运动，即时，，的面积为，即时，∴，∴，所以当t为、时，的面积为．【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．现根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力．13．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图， 一次函数 图象与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，一次函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，与 轴交于点  (1)求直线 的函数表达式．(2)求四边形 的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点在的图象上得出点的坐标，将点和点代入，即可求得直线的函数表达式；（2）根据题意把代入得到点的坐标，过点作轴于点，即可求解．【详解】（1）因为点在的图象上所以，即点的坐标为将点和点代入，得 解得所以直线的函数表达式为；（2）(解法不唯一)把代入，得，所以点的坐标为，所以如图，过点作轴于点因为点的坐标为所以所以四边形的面积为．  【点睛】该题主要考查了一次函数解析式的求法以及一次函数表与图形面积计算，解答的关键是掌握函数待定系数法求解解析式．放水时间/分1234…水池中的水量/48464442…某种苹果数量售价元种材料（）种材料（）所获利润（元）每个甲种吉祥物每个乙种吉祥物节能灯生产成本（元/盏）销售单价（元/盏）A型4050B型3543水果进价（元/）售价（元/）凤梨1015榴莲1220月份用水量（m3）收费（元）45105921