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2023-2024学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省揭阳市惠来县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各点中，在第四象限的是( )
A. (2,3)B. (1,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)
2.如果x=3y=1是关于x和y的二元一次方程x−my=1的解，那么m的值是( )
A. 1B. −2C. 2D. 3
3.已知△ABC的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. a=5，b=12，c=13
C. ∠A−∠B=∠CD. a2=b2−c2
4.如图，△ABC中，∠A=84°，∠B=60°，则∠C=( )
A. 36°
B. 40°
C. 46°
D. 54°
5.下列计算中，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 3× 3=9C. 3+ 3= 6D. 33+3−3=0
6.在某促销活动前期，商场卖鞋商家对市场进行了一次调研，那么商家应最重视鞋码的( )
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为( )
A. ∠3=∠2+∠1
B. ∠3=∠2+2∠1
C. ∠3+∠2+∠1=180°
D. ∠1+∠3=2∠2
8.将直线y=3x−1平移后，得到直线y=3x+6，则原直线( )
A. 沿y轴向上平移了7个单位B. 沿y轴向下平移了7个单位
C. 沿x轴向左平移了7个单位D. 沿x轴向右平移了7个单位
9.某校九年级参加了“维护小区周边环境”、“维护繁华街道卫生”、“义务指路”等志愿者活动，如图是根据该校九年级六个班的同学某天“义务指路”总人次所绘制的折线统计图，则关于这六个数据中，下列说法正确的是( )
A. 极差是40B. 众数是58C. 中位数是51.5D. 平均数是60
10.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是( )
A. x−y=4.512x−y=1B. y−x=4.5y−2x=1C. x−y=4.5y−12x=1D. x−y=4.52y−x=1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知二元一次方程组2x+y=5x+2y=4，则x+y的值为______ ．
12.命题“若|a|>|b|，则a>b”是______ 命题.(填“真”或“假”)
13.直线y=x+1与直线y=mx+n相交于点M(1,b)，则关于x，y的方程组x+1=yy−mx=n的解为______ ．
14.已知一组数据x1，x2，x3，…x20的方差7，则x1−1，x2−1，…，x20−1的方差为______ ．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，则AD= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列方程组．
(1)x=5−2y①3x−y=1②；
(2)2x−y=−4①4x−5y=−23②．
17.(本小题8分)
计算：
(1) 27− 13+ 3；
(2) 32+ 18 2−8．
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，有A(−2,a+1)，B(a−1,4)，C(b−2,b)三点．
(1)当点C在x轴上时，点C的坐标为______ ．
(2)当点C在y轴上时，点C的坐标为______ ．
(3)当AB//x轴时，A，B两点间的距离为______ ．
(4)当CD⊥x轴于点D，且CD=1时，点C的坐标为______ ．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°．
(1)求证：AD//EF；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠B的度数．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD=8，CE=6，AB=20，求证：∠C=90°；
(2)若∠C=90°，AD=13，AE=6，求△ABC的面积．
21.(本小题9分)
航空航天技术是一个国家综合国力的反映.我国载人航天空间站工程已进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务，为了庆祝我国航天事业的莲勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神⋅拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分(满分10分)，评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种.每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)所抽取作品成绩的众数为______ ，中位数为______ ，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为______ °；
(3)已知该校收到书画作品共1500份，请估计得分为8分(及8分以上)的书画作品大约有多少份？
22.(本小题12分)
如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格(可以重叠覆盖)，设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S1，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为S2．
(1)“T”型阴影覆盖的其它数字分别是______ 、______ 、______ ；(a的代数式表示)
(2)S1的值能否为79？若能，求a的值；若不能，说明理由；
(3)S1+S2值能否为51，若能，求a，b的值；若不能，说明理由．
23.(本小题12分)
如图，一次函数y1=−12x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y2=−32x图象交于点C(−2,n)．
(1)求m和n的值；
(2)求△OAC的面积；
(3)问：在y轴上，是否存在一点P，使得S△BCP=S△OAC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.(2,3)在第一象限，故本选项不符合题意；
B.(1,−1)在第四象限，故本选项符合题意；
C.(−2,1)在第二象限，故本选项不符合题意；
D.(−2,−1)在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据第四象限的点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负，即可作出判断．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵x=3y=1是关于x和y的二元一次方程x−my=1的解，
∴3−m=1．
∴m=2．
故选：C．
把解代入二元一次方程得关于m的一元一次方程，求解即可．
本题考查了二元一次方程，掌握方程解的意义是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A−∠B=∠C
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、a2=b2−c2此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠A=84°，∠B=60°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−84°−60°=36°．
故选：A．
直接根据三角形内角和定理解答即可．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和等于180°是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A． (−3)2= 9=3，故A不符合题意；
B. 3× 3= 9=3，故B不符合题意；
C. 3+ 3=2 3，故C不符合题意；
D.33+3−3=0，故D符合题意；
故选：D．
根据实数的运算逐项计算即可得到答案．
本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根，立方根的意义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴商家更应该关注鞋子尺码的众数．
故选：B．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出商家最关心的数据．
本题主要考查了统计的有关知识，掌握众数的意义是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠3=∠2+∠DAC=∠2+∠BAD，
∵∠1+∠BAD=∠2，
∴∠1+∠3=∠1+∠2+∠BAD=2∠2．
故选：D．
根据外角的性质和角平分线的定义即可求解．
本题考查了外角的性质，角平分线的定义，掌握外角的性质，角平分线的定义是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：将直线y=3x−1沿y轴向上平移了7个单位得到直线y=3x+6，
故选：A．
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求解．
9.【答案】B
【解析】解：A、根据极差的定义可得：极差是80−45=35，故本选项错误；
B、因为58出现了2次，次数最多，所以众数是58，故本选项正确；
C、按照从小到大的顺序排列如下：45、50、58、58、62、80，第3、4两个数都是58，则中位数是58，故本选项错误；
D、根据平均数的定义可得：
平均数=16(50+80+58+45+58+62)=16×353=5856，故本选项错误；
故选：B．
根据极差的定义、众数、中位数、算术平均数的定义，对每一项分别进行解答，再做出判断，即可得出答案．
此题考查了折线统计图的运用，用到的知识点是极差、平均数、中位数、众数的定义，熟记概念并根据折线统计图准确获取数据是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x−y=4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴12x+1=y．
∴所列方程组为x−y=4.512x+1=y，
即x−y=4.5y−x2=1，
故选：C．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：2x+y=5①x+2y=4②，
①+②，得3x+3y=9，
x+y=3，
故答案为：3．
①+②得出3x+3y=9，再方程两边除以3即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
12.【答案】假
【解析】解：若|a|>|b|，则a可能等于、大于、或小于b，
∴|a|>|b|，则a>b是假命题．
故答案为：假．
由绝对值的意义，即可判断．
本题考查命题与定理，绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
13.【答案】x=1y=2
【解析】解：∵直线y=x+1经过点M(1,b)，
∴b=1+1，
解得b=2，
∴M(1,2)，
∵y=mx+n，
∴y−mx=n，
∴关于x的方程组x+1=yy−mx=n的解为x=1y=2，
故答案为：x=1y=2．
首先利用待定系数法求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
14.【答案】7
【解析】解：由题意知，原数据的平均数为x−，新数据的每一个数都减去了1，则平均数变为x−−1，
则原来的方差S12=120[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(x20−x−)2]=7，
现在的方差S22=120[(x1−1−x−+1)2+(x2−1−x−+1)2+…+(x20−1−x−+1)2]
=120[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(x20−x−)2]=7，
所以方差为7．
故答案为：7．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去1所以波动不会变，方差不变．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．
15.【答案】1.4
【解析】解：设AD=x，则CD=5−x，
在直角△ABD中，BD2=AB2−AD2=52−x2．
在直角△BCD中，BD2=BC2−CD2=62−(5−x)2．
所以52−x2=62−(5−x)2．
解得x=1.4．
所以AD=1.4．
故答案为：1.4．
设AD=x，则CD=5−x，在直角△ABD和直角△BCD中，利用勾股定理分别表示出BD的长度，从而得到关于x的方程，求解即可．
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
16.【答案】解：(1)将①代入②得：3(5−2y)−y=1，
整理得：15−7y=1，
解得：y=2，
将y=2代入①得：x=5−4=1，
故原方程组得解为x=1y=2；
(2)①×2−②得：3y=15，
解得：y=5，
将y=5代入①得：2x−5=−4，
解得：x=12，
故原方程组的解为x=12y=5．
【解析】(1)利用代入消元法解方程组即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 3− 33+ 3
=11 33；
(2)原式=4 2+3 2 2−8
=7 2 2−8
=7−8
=−1．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，再合并后进行二次根式的除法运算，然后进行有理数的减法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】(−2,0) (0,2) 4 (−1,1)或(−3,−1)
【解析】解：(1)∵点C在x轴上，
∴b=0，解得b−2=−2，
∴C点坐标为(−2,0)；
(2)∵点C在y轴上，
∴b−2=0，解得b=2，
∴C点坐标为(0,2)；
(3)∵AB//x轴，
∴A、B点的纵坐标相同，
∴a+1=4，解得a=3，
∴A(−2,4)，B(2,4)，
∴A，B两点间的距离=2−(−2)=4；
(4)∵CD⊥x轴，CD=1，
∴|b|=1，解得b=±1，
∴C点坐标为(−1,1)或(−3,−1)．
故答案为：(1)(−2,0)；(2)(0,2)；(3)4；(4)(−1,1)或(−3,−1)．
(1)利用x轴上点的坐标特征得到b=0，求出b得到C点坐标；
(2)利用y轴上点的坐标特征得到b−2=0，求出b得到C点坐标；
(3)利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a+1=4，求出a得到A、B点的坐标，然后计算两点之间的距离；
(4)利用垂直于x轴的直线上点的坐标特征得到|b|=1，然后求出b得到C点坐标．
本题考查两点间的距离公式：设有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则这两点间的距离为AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2.也考查了坐标轴上点的坐标特征．
19.【答案】(1)证明：∵AB//DG，
∴∠1=∠DAE，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠DAE+∠2=180°，
∴AD//EF；
(2)解：∵AD//EF，∠2=140°，
∴∠DAE=180°−∠2=180°−140°=40°，
∵AB//DG，
∴∠1=∠DAE=40°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC=2∠1=2×40°=80°，
∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B=∠ADC−∠BAD=80°−40°=40°．
【解析】本题考查平行线的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
(1)由平行线的性质可得∠1=∠DAE，由∠1+∠2=180°可得∠DAE+∠2=180°，即可证明；
(2)由(1)可知∠DAE=40°，再由平行线的性质可得∠1=40°，由角平分线的定义可得∠ADC=80°，再由三角形外角性质即可求出∠B．
20.【答案】解：(1)∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8，CE=6，
∴AC=2CE=12，BC=2CD=16，
∵AB=20，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
(2)∵E是边AC的中点，AE=6，
∴AC=2AE=12．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，AC=12，AD=13，
∴CD= AD2−AC2= 132−122=5，
∴BC=2CD=10，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×12×10=60．
【解析】(1)根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
(2)根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
21.【答案】8 8 24
【解析】解：(1)随机抽取的总作品数是：36÷30%=120(份)，
8分的作品数是：120−8−24−36−12=40(份)，
补全统计图如下：
(2)∵所抽取作品成绩出现次数最多的是8分，
∴所抽取作品成绩的众数是8；
把这些数从小到大排列，中位数是第60、61个数的平均数，
则中位数是8+82=8，
扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为：360°×8120=24°，
故答案为：8，8，24；
(3)1500×(40+36+12120)=1100(份)，
估计得分为8分(及8分以上)的书画作品大约有1100份．
(1)根据9分的份数和所占的百分比，求出抽取的总作品数，再用总数减去其它份数，求出8分的作品数，从而补全统计图；
(2)根据众数、众数的计算公式分别进行计算，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为360°乘以6分所占总份数的比值；
(3)用该校的总作品数乘以得分为8分(及8分以上)的书画作品所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】a+1 a+2 a+8
【解析】解：(1)根据题意得：“T”型阴影覆盖的其它数字分别是a+1，a+2，a+8．
故答案为：a+1，a+2，a+8；
(2)S1的值不能为79，理由如下：
假设S1的值能为79，则a+a+1+a+2+a+8=79，
解得：a=17，
∵a不能在第6，7列，而17在第6列，
∴a=17不符合题意，舍去，
∴假设不成立，即S1的值不能为79；
(3)假设S1+S2值能为51，则a+a+1+a+2+a+8+b+b+1+b+7+b+8=51，
∴a+b=6．
又∵a，b均为正整数，且a不能在第6，7列，b不能在第7列，
∴假设成立，且a=1b=5或a=5b=1．
答：S1+S2值能为51，a，b的值为1，5或5，1．
(1)观察月历表，根据各数之间的关系，即可用含a的代数式表示出“T”型阴影覆盖的其它数字；
(2)假设S1的值能为79，根据“T”型阴影覆盖的四个数字之和为79，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，结合a不能在第6，7列，可得出a=17不符合题意，进而可得出a=17不符合题意
(3)假设S1+S2值能为51，根据“T”型阴影覆盖的四个数字之和与“田”型阴影覆盖的四个数字之和的和为51，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，且a不能在第6，7列，b不能在第7列，即可求出a，b的值，进而可得出S1+S2值能为51．
本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出“T”型阴影覆盖的其它数字；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】解：(1)∵点C(−2,n)在正比例函数y2=−32x图象上，
∴n=−32×(−2)=3，
∴点C的坐标为(−2,3)．
∵点C(−2,3)在一次函数y=−12x+m的图象上，
∴3=−12×(−2)+m，解得：m=2，
∴一次函数解析式为y=−12x+2．
∴m的值为2，n的值为3．
(2)当y=0时，0=−12x+2，解得x=4，
∴点a的坐标为(4,0)，
∴S△OAC=12OA⋅yC=12×4×3=6．
(3)存在．
当x=0时，y=−12x+2=2，
∴B(0,2)，
∵S△BCP=12PB⋅|xC|=S△OAC=6，
∴12PB⋅2=6，
∴PB=6，
∴点P的坐标为(0,8)或(0,−4)．
【解析】(1)直接利用待定系数法可先确定n的值，然后再把C的坐标代入一次函数y=−12x+m可得m的值；
(2)首先确定A点坐标，进而可得AO的长，再集合C点坐标可得△OAC的面积；
(3)根据题意可得S△BCP=12PB⋅|xC|=S△OAC=6，解出PB的值，进而可得P点的坐标．
此题主要考查了两直线相交问题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
1.下列各点中，在第四象限的是( )
A. (2,3)B. (1,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)
2.如果x=3y=1是关于x和y的二元一次方程x−my=1的解，那么m的值是( )
A. 1B. −2C. 2D. 3
3.已知△ABC的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. a=5，b=12，c=13
C. ∠A−∠B=∠CD. a2=b2−c2
4.如图，△ABC中，∠A=84°，∠B=60°，则∠C=( )
A. 36°
B. 40°
C. 46°
D. 54°
5.下列计算中，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 3× 3=9C. 3+ 3= 6D. 33+3−3=0
6.在某促销活动前期，商场卖鞋商家对市场进行了一次调研，那么商家应最重视鞋码的( )
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为( )
A. ∠3=∠2+∠1
B. ∠3=∠2+2∠1
C. ∠3+∠2+∠1=180°
D. ∠1+∠3=2∠2
8.将直线y=3x−1平移后，得到直线y=3x+6，则原直线( )
A. 沿y轴向上平移了7个单位B. 沿y轴向下平移了7个单位
C. 沿x轴向左平移了7个单位D. 沿x轴向右平移了7个单位
9.某校九年级参加了“维护小区周边环境”、“维护繁华街道卫生”、“义务指路”等志愿者活动，如图是根据该校九年级六个班的同学某天“义务指路”总人次所绘制的折线统计图，则关于这六个数据中，下列说法正确的是( )
A. 极差是40B. 众数是58C. 中位数是51.5D. 平均数是60
10.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是( )
A. x−y=4.512x−y=1B. y−x=4.5y−2x=1C. x−y=4.5y−12x=1D. x−y=4.52y−x=1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知二元一次方程组2x+y=5x+2y=4，则x+y的值为______ ．
12.命题“若|a|>|b|，则a>b”是______ 命题.(填“真”或“假”)
13.直线y=x+1与直线y=mx+n相交于点M(1,b)，则关于x，y的方程组x+1=yy−mx=n的解为______ ．
14.已知一组数据x1，x2，x3，…x20的方差7，则x1−1，x2−1，…，x20−1的方差为______ ．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，则AD= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列方程组．
(1)x=5−2y①3x−y=1②；
(2)2x−y=−4①4x−5y=−23②．
17.(本小题8分)
计算：
(1) 27− 13+ 3；
(2) 32+ 18 2−8．
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，有A(−2,a+1)，B(a−1,4)，C(b−2,b)三点．
(1)当点C在x轴上时，点C的坐标为______ ．
(2)当点C在y轴上时，点C的坐标为______ ．
(3)当AB//x轴时，A，B两点间的距离为______ ．
(4)当CD⊥x轴于点D，且CD=1时，点C的坐标为______ ．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°．
(1)求证：AD//EF；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠B的度数．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD=8，CE=6，AB=20，求证：∠C=90°；
(2)若∠C=90°，AD=13，AE=6，求△ABC的面积．
21.(本小题9分)
航空航天技术是一个国家综合国力的反映.我国载人航天空间站工程已进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务，为了庆祝我国航天事业的莲勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神⋅拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分(满分10分)，评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种.每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)所抽取作品成绩的众数为______ ，中位数为______ ，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为______ °；
(3)已知该校收到书画作品共1500份，请估计得分为8分(及8分以上)的书画作品大约有多少份？
22.(本小题12分)
如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格(可以重叠覆盖)，设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S1，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为S2．
(1)“T”型阴影覆盖的其它数字分别是______ 、______ 、______ ；(a的代数式表示)
(2)S1的值能否为79？若能，求a的值；若不能，说明理由；
(3)S1+S2值能否为51，若能，求a，b的值；若不能，说明理由．
23.(本小题12分)
如图，一次函数y1=−12x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y2=−32x图象交于点C(−2,n)．
(1)求m和n的值；
(2)求△OAC的面积；
(3)问：在y轴上，是否存在一点P，使得S△BCP=S△OAC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.(2,3)在第一象限，故本选项不符合题意；
B.(1,−1)在第四象限，故本选项符合题意；
C.(−2,1)在第二象限，故本选项不符合题意；
D.(−2,−1)在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据第四象限的点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负，即可作出判断．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵x=3y=1是关于x和y的二元一次方程x−my=1的解，
∴3−m=1．
∴m=2．
故选：C．
把解代入二元一次方程得关于m的一元一次方程，求解即可．
本题考查了二元一次方程，掌握方程解的意义是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A−∠B=∠C
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、a2=b2−c2此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠A=84°，∠B=60°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−84°−60°=36°．
故选：A．
直接根据三角形内角和定理解答即可．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和等于180°是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A． (−3)2= 9=3，故A不符合题意；
B. 3× 3= 9=3，故B不符合题意；
C. 3+ 3=2 3，故C不符合题意；
D.33+3−3=0，故D符合题意；
故选：D．
根据实数的运算逐项计算即可得到答案．
本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根，立方根的意义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴商家更应该关注鞋子尺码的众数．
故选：B．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出商家最关心的数据．
本题主要考查了统计的有关知识，掌握众数的意义是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠3=∠2+∠DAC=∠2+∠BAD，
∵∠1+∠BAD=∠2，
∴∠1+∠3=∠1+∠2+∠BAD=2∠2．
故选：D．
根据外角的性质和角平分线的定义即可求解．
本题考查了外角的性质，角平分线的定义，掌握外角的性质，角平分线的定义是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：将直线y=3x−1沿y轴向上平移了7个单位得到直线y=3x+6，
故选：A．
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求解．
9.【答案】B
【解析】解：A、根据极差的定义可得：极差是80−45=35，故本选项错误；
B、因为58出现了2次，次数最多，所以众数是58，故本选项正确；
C、按照从小到大的顺序排列如下：45、50、58、58、62、80，第3、4两个数都是58，则中位数是58，故本选项错误；
D、根据平均数的定义可得：
平均数=16(50+80+58+45+58+62)=16×353=5856，故本选项错误；
故选：B．
根据极差的定义、众数、中位数、算术平均数的定义，对每一项分别进行解答，再做出判断，即可得出答案．
此题考查了折线统计图的运用，用到的知识点是极差、平均数、中位数、众数的定义，熟记概念并根据折线统计图准确获取数据是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x−y=4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴12x+1=y．
∴所列方程组为x−y=4.512x+1=y，
即x−y=4.5y−x2=1，
故选：C．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：2x+y=5①x+2y=4②，
①+②，得3x+3y=9，
x+y=3，
故答案为：3．
①+②得出3x+3y=9，再方程两边除以3即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
12.【答案】假
【解析】解：若|a|>|b|，则a可能等于、大于、或小于b，
∴|a|>|b|，则a>b是假命题．
故答案为：假．
由绝对值的意义，即可判断．
本题考查命题与定理，绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
13.【答案】x=1y=2
【解析】解：∵直线y=x+1经过点M(1,b)，
∴b=1+1，
解得b=2，
∴M(1,2)，
∵y=mx+n，
∴y−mx=n，
∴关于x的方程组x+1=yy−mx=n的解为x=1y=2，
故答案为：x=1y=2．
首先利用待定系数法求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
14.【答案】7
【解析】解：由题意知，原数据的平均数为x−，新数据的每一个数都减去了1，则平均数变为x−−1，
则原来的方差S12=120[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(x20−x−)2]=7，
现在的方差S22=120[(x1−1−x−+1)2+(x2−1−x−+1)2+…+(x20−1−x−+1)2]
=120[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(x20−x−)2]=7，
所以方差为7．
故答案为：7．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去1所以波动不会变，方差不变．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．
15.【答案】1.4
【解析】解：设AD=x，则CD=5−x，
在直角△ABD中，BD2=AB2−AD2=52−x2．
在直角△BCD中，BD2=BC2−CD2=62−(5−x)2．
所以52−x2=62−(5−x)2．
解得x=1.4．
所以AD=1.4．
故答案为：1.4．
设AD=x，则CD=5−x，在直角△ABD和直角△BCD中，利用勾股定理分别表示出BD的长度，从而得到关于x的方程，求解即可．
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
16.【答案】解：(1)将①代入②得：3(5−2y)−y=1，
整理得：15−7y=1，
解得：y=2，
将y=2代入①得：x=5−4=1，
故原方程组得解为x=1y=2；
(2)①×2−②得：3y=15，
解得：y=5，
将y=5代入①得：2x−5=−4，
解得：x=12，
故原方程组的解为x=12y=5．
【解析】(1)利用代入消元法解方程组即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 3− 33+ 3
=11 33；
(2)原式=4 2+3 2 2−8
=7 2 2−8
=7−8
=−1．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，再合并后进行二次根式的除法运算，然后进行有理数的减法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】(−2,0) (0,2) 4 (−1,1)或(−3,−1)
【解析】解：(1)∵点C在x轴上，
∴b=0，解得b−2=−2，
∴C点坐标为(−2,0)；
(2)∵点C在y轴上，
∴b−2=0，解得b=2，
∴C点坐标为(0,2)；
(3)∵AB//x轴，
∴A、B点的纵坐标相同，
∴a+1=4，解得a=3，
∴A(−2,4)，B(2,4)，
∴A，B两点间的距离=2−(−2)=4；
(4)∵CD⊥x轴，CD=1，
∴|b|=1，解得b=±1，
∴C点坐标为(−1,1)或(−3,−1)．
故答案为：(1)(−2,0)；(2)(0,2)；(3)4；(4)(−1,1)或(−3,−1)．
(1)利用x轴上点的坐标特征得到b=0，求出b得到C点坐标；
(2)利用y轴上点的坐标特征得到b−2=0，求出b得到C点坐标；
(3)利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a+1=4，求出a得到A、B点的坐标，然后计算两点之间的距离；
(4)利用垂直于x轴的直线上点的坐标特征得到|b|=1，然后求出b得到C点坐标．
本题考查两点间的距离公式：设有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则这两点间的距离为AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2.也考查了坐标轴上点的坐标特征．
19.【答案】(1)证明：∵AB//DG，
∴∠1=∠DAE，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠DAE+∠2=180°，
∴AD//EF；
(2)解：∵AD//EF，∠2=140°，
∴∠DAE=180°−∠2=180°−140°=40°，
∵AB//DG，
∴∠1=∠DAE=40°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC=2∠1=2×40°=80°，
∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B=∠ADC−∠BAD=80°−40°=40°．
【解析】本题考查平行线的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
(1)由平行线的性质可得∠1=∠DAE，由∠1+∠2=180°可得∠DAE+∠2=180°，即可证明；
(2)由(1)可知∠DAE=40°，再由平行线的性质可得∠1=40°，由角平分线的定义可得∠ADC=80°，再由三角形外角性质即可求出∠B．
20.【答案】解：(1)∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8，CE=6，
∴AC=2CE=12，BC=2CD=16，
∵AB=20，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
(2)∵E是边AC的中点，AE=6，
∴AC=2AE=12．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，AC=12，AD=13，
∴CD= AD2−AC2= 132−122=5，
∴BC=2CD=10，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×12×10=60．
【解析】(1)根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
(2)根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
21.【答案】8 8 24
【解析】解：(1)随机抽取的总作品数是：36÷30%=120(份)，
8分的作品数是：120−8−24−36−12=40(份)，
补全统计图如下：
(2)∵所抽取作品成绩出现次数最多的是8分，
∴所抽取作品成绩的众数是8；
把这些数从小到大排列，中位数是第60、61个数的平均数，
则中位数是8+82=8，
扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为：360°×8120=24°，
故答案为：8，8，24；
(3)1500×(40+36+12120)=1100(份)，
估计得分为8分(及8分以上)的书画作品大约有1100份．
(1)根据9分的份数和所占的百分比，求出抽取的总作品数，再用总数减去其它份数，求出8分的作品数，从而补全统计图；
(2)根据众数、众数的计算公式分别进行计算，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为360°乘以6分所占总份数的比值；
(3)用该校的总作品数乘以得分为8分(及8分以上)的书画作品所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】a+1 a+2 a+8
【解析】解：(1)根据题意得：“T”型阴影覆盖的其它数字分别是a+1，a+2，a+8．
故答案为：a+1，a+2，a+8；
(2)S1的值不能为79，理由如下：
假设S1的值能为79，则a+a+1+a+2+a+8=79，
解得：a=17，
∵a不能在第6，7列，而17在第6列，
∴a=17不符合题意，舍去，
∴假设不成立，即S1的值不能为79；
(3)假设S1+S2值能为51，则a+a+1+a+2+a+8+b+b+1+b+7+b+8=51，
∴a+b=6．
又∵a，b均为正整数，且a不能在第6，7列，b不能在第7列，
∴假设成立，且a=1b=5或a=5b=1．
答：S1+S2值能为51，a，b的值为1，5或5，1．
(1)观察月历表，根据各数之间的关系，即可用含a的代数式表示出“T”型阴影覆盖的其它数字；
(2)假设S1的值能为79，根据“T”型阴影覆盖的四个数字之和为79，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，结合a不能在第6，7列，可得出a=17不符合题意，进而可得出a=17不符合题意
(3)假设S1+S2值能为51，根据“T”型阴影覆盖的四个数字之和与“田”型阴影覆盖的四个数字之和的和为51，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，且a不能在第6，7列，b不能在第7列，即可求出a，b的值，进而可得出S1+S2值能为51．
本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出“T”型阴影覆盖的其它数字；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】解：(1)∵点C(−2,n)在正比例函数y2=−32x图象上，
∴n=−32×(−2)=3，
∴点C的坐标为(−2,3)．
∵点C(−2,3)在一次函数y=−12x+m的图象上，
∴3=−12×(−2)+m，解得：m=2，
∴一次函数解析式为y=−12x+2．
∴m的值为2，n的值为3．
(2)当y=0时，0=−12x+2，解得x=4，
∴点a的坐标为(4,0)，
∴S△OAC=12OA⋅yC=12×4×3=6．
(3)存在．
当x=0时，y=−12x+2=2，
∴B(0,2)，
∵S△BCP=12PB⋅|xC|=S△OAC=6，
∴12PB⋅2=6，
∴PB=6，
∴点P的坐标为(0,8)或(0,−4)．
【解析】(1)直接利用待定系数法可先确定n的值，然后再把C的坐标代入一次函数y=−12x+m可得m的值；
(2)首先确定A点坐标，进而可得AO的长，再集合C点坐标可得△OAC的面积；
(3)根据题意可得S△BCP=12PB⋅|xC|=S△OAC=6，解出PB的值，进而可得P点的坐标．
此题主要考查了两直线相交问题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
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