2023-2024学年广东省数学九年级第一学期期末综合测试试题

这是一份2023-2024学年广东省数学九年级第一学期期末综合测试试题，共17页。试卷主要包含了已知点A等内容，欢迎下载使用。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝6，BC＝8，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（ ）
A．红球比白球多B．白球比红球多C．红球，白球一样多D．无法估计
5．已知点A（-2，m），B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝xB．y＝﹣C．y＝x2D．y＝﹣x2
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝35°，那么∠BAD等于（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
7．将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ）
A．y=2(x+1)2+1B．y=2(x+1)2+3C．y=2(x-3)2+1D．y=-2(x-3)2+3
8．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）
A．5%B．20%C．15%D．10%
9．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．圆C．等边三角形D．正五边形
10．在一个不透明的盒子中有大小均匀的黄球与白球共12个，若从盒子中随机取出一个球，若取出的球是白球的概率是，则盒子中白球的个数是（ ）.
A．3B．4C．6D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在菱形中，与交于点，若，则菱形的面积为_____．
12．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，BC＝6，则△ABC的面积是__________．
13．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为_____．
14．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．
15．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________．
16．将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于__________.
17．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k，则既能使函数y＝的图象经过第一、第三象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根的概率为_____．
18．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先化简，再求值：(1+)，其中，x＝﹣1．
20．（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝x m．
（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求 x的值；
（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．
21．（6分）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．
（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．
22．（8分）关于的一元二次方程
（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和的值
（2）求证：不论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
23．（8分）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．
①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四边形ABCD中，____________．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
24．（8分）将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是 ；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率．
25．（10分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，4)，OA＝OB，点C(﹣3，n)在直线l1上.
(1)求直线l1和直线OC的解析式；
(2)点D是点A关于y轴的对称点，将直线OC沿y轴向下平移，记为l2，若直线l2过点D，与直线l1交于点E，求△BDE的面积.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】利用勾股定理求出AB，根据余弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
在中，，，
，
，
故选：C．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2、C
【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】如图所示，该几何体的左视图是：
．
故选C．
此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
3、D
【解析】从图形的上方观察即可求解.
【详解】俯视图从图形上方观察即可得到，
故选D．
本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．
4、A
【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．
5、D
【分析】可以采用排除法得出答案，由点A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）的特点和二次函数的性质，可知抛物线在对称轴的右侧呈下降趋势，所以抛物线的开口向下，即a<0.
【详解】解：∵A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，且在同一个函数的图像上，
而，的图象关于原点对称，
∴选项A、B错误，只能选C、D，
，
；
∵，在同一个函数的图像上，
而 y＝x2在y轴右侧呈上升趋势，
∴选项C错误，
而D选项符合题意.
故选：D．
本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟悉各个函数的图象和性质是解题的基础，发现点的坐标关系是解题的关键.
6、C
【分析】根据题意可知、，通过与互余即可求出的值．
【详解】解：∵
∴
∵是的直径
∴
∴
故选：C
本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等、并且等于它所对的圆心角的一半，也考查了直径所对的圆周角为90度．
7、A
【分析】先配方成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可．
【详解】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2-4x+4配方成的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1，
故选：A．
本题主要考查的是函数图象的平移，由y=ax2平移得到y=a（x-h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．
8、D
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，解这个方程即可求解．
【详解】设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：5000（1+x），
取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，
同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），
即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，
解得：x1＝10%，x2＝﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．
故选：D．
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和 = 本金 ×(1+ 利率 × 期数），难度一般．
9、B
【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.
【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：B.
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.
10、B
【分析】根据白、黄球共有的个数乘以白球的概率即可解答.
【详解】由题意得：12×=4，即白球的个数是4.
故选：B.
本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
【详解】四边形是菱形，
，
，
菱形的面积为；
故答案为：．
本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半.
12、6
【分析】作辅助线AD⊥BC构造直角三角形ABD，利用锐角∠B的正弦函数的定义求出三角形ABC底边BC上的高AD的长度，然后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积即可．
【详解】过A作AD垂直BC于D，
在Rt△ABD中，∵sinB＝，
∴AD＝AB•sinB＝4•sin45°＝4×＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝，
故答案为：
本题考查了解直角三角形．解答该题时，通过作辅助线△ABC底边BC上的高线AD构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义在直角三角形中求得AD的长度的．
13、
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF＝90°，根据三角形的内角和得到∠COD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
14、．
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴=．故答案为．
点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
15、x（x-1）=1
【解析】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1．
故答案是（x﹣1）x=1．
考点:列一元二次方程．
16、1
【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．
【详解】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴将抛物线y=x2-2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，
∴m=1，
故答案为：1．
此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
17、．
【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，找到同时满足两个条件的k的值即可．
【详解】解：这6个数中能使函数y＝的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数，
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根，
∴k2﹣4≥0，
解得k≤﹣2或k≥2，
能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2这3个数，
∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，
∴此概率为，
故答案为：．
18、．
【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是，降价一次后的售价是，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．
【详解】解：由题意可列方程为
故答案为：．
本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．
三、解答题(共66分)
19、，1﹣
【分析】根据分式混合运算的运算顺序及运算法则进行化简，再把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式通分和分式加减乘除运算法则．
20、（1）x的值为11m或15m；（2）花园面积S的最大值为168平方米．
【分析】（1）直接利用矩形面积公式结合一元二次方程的解法即可求得答案；
（2）首先得到S与x的关系式，进而利用二次函数的增减性即可求得答案.
【详解】（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，
∴x（26﹣x）＝165，
解得：x1＝11，x2＝15，
答：x的值为11m或15m；
（2）由题意可得出：
S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
由题意得：14≤x≤19，
∵-1＜0，14≤x≤19，
∴S随着x的增大而减小，
∴x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣13）2+169＝168，
答：花园面积S的最大值为168平方米．
本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数的增减性求得最值是解题的关键.
21、（1）列表见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；（2、）根据概率公式进行解答即可．
试题解析：（1）列表得：
（2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P==．
答：抽奖一次能中奖的概率为．
考点：列表法与树状图法
22、（1），另一个根是；（2）详见解析．
【分析】（1）代入x=1求出m值，从而得出方程，解方程即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【详解】解：（1）把代入原方程得解得：
当时，原方程为
解得：
∴方程的另一个根是
（2）证明：
∵
∴
∴不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，由判别式的符号得到方程根的情况是解题的关键．
23、已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析．
【解析】试题分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．
其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；
解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；
解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．
试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四边形ABCD是平行四边形．
解法二：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法三：
已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法四：
已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
24、（1）；（2）；（3），．
【分析】（1）根据概率的意义直接计算即可解答．
（2）找出两张牌牌面数字的和是6的情况再与所有情况相比即可解答．
（3）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：（1）1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为 ＝；
（2）只有2+4＝6，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为；
（3）列表如下：
其中恰好是3的倍数的有12，21，24，33，42五种结果．
所以，P（3的倍数）＝．
故答案为：，．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25、（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．
【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.
【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°
∴∠APB=180°-30°-120°=30°
（2）过点P作PH⊥AB于点H

在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH
在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH
∴AB=AH-BH=PH=50
解得PH=25＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.
考点：解直角三角形
26、 (1)直线I1的解析式：y＝2x+4，直线OC解析式y＝x；(2)S△BDE＝16.
【分析】(1)根据题意先求A的坐标，然后待定系数就AB解析式，把点C的坐标代入，可得n，即可求得直线OC解析式；
(2)根据对称性先去D的坐标，根据直线平移，k不变，可求DE解析式，然后求E的坐标，即可求出面积.
【详解】解：(1)∵点B(0，4)，OA＝OB，
∴OA＝OB＝＝2，
∴A(﹣2，0)，
设OA解析式y＝kx+b，
∴解得：，
∴直线I1的解析式：y＝2x+4，
∵C(﹣3，n)在直线l1上，
∴n＝﹣3×2+4
n＝﹣2
∴C(﹣3，﹣2)
设OC的解析式：y＝k1x
∴﹣2＝﹣3k1
k1＝，
∴直线OC解析式y＝x；
(2)∵D点与A点关于y轴对称
∴D(2，0)
设DE解析式y＝x+b′，
∴0＝×2+b′，
∴b′＝﹣，
∴DE解析式y＝x﹣，
当x＝0，y＝﹣，
解得：，
∴E(﹣4，﹣4)，
∴S△BDE＝×(2+2)(4+4)＝16.
本题考查了两条直线相交与平行问题，用待定系数法解一次函数，一次函数的性质，关键是找出点的坐标．
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
第二次
第一次
1
2
3
4
1
11
12
13
14
2
21
22
23
24
3
31
32
33
34
4
41
42
43
44