2023-2024学年广东省数学九上期末考试试题

这是一份2023-2024学年广东省数学九上期末考试试题，共19页。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1． “线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
2．下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
3．在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＞0C．k≥1D．k＜1
4．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（ ）
A．2B．2πC．πD．π
5．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．二位同学在研究函数(为实数，且)时，甲发现当 0<<1时，函数图像的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根，则( )
A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误
C．甲、乙的结论都正确D．甲的结论错误，乙的结论正确
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
9．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，点A，B，C，D都在上，OA⊥BC，∠AOB=40°，则∠CDA的度数为( )
A．40°B．30°C．20°D．15°
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则csB的值是( )
A．
B．
C．
D．
12．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（ ）
A．2B．2C．D．2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若为一锐角，且，则 ．
14．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．
15．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．
16．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为_____．
17．某车间生产的零件不合格的概率为．如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验，那么在大量的重复试验中，平均来说， 天会查出1个次品．
18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O,以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P.AB=6，BC=
（1）求证：F是DC的中点.
（2）求证：AE=4CE.
（3）求图中阴影部分的面积.
21．（8分）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．
22．（10分）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
23．（10分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
24．（10分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元(为正整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销轡量增加 件，每件商品盈利 元(用含的代数式表示)；
(2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元；
(3)在上述条件不变，销售正常情况下，求商场日盈利的最大值．
25．（12分）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
26．为迎接年中、日、韩三国青少年橄榄球比赛，南雅中学计划对面积为运动场进行塑胶改造.经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能改造的面积是乙队每天能改造面积的倍，并且在独立完成面积为的改造时，甲队比乙队少用天.
（1）求甲、乙两工程队每天能完成塑胶改造的面积；
（2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天，刚好完成改造任务，求与的函数解析式；
（3）若甲队每天改造费用是万元，乙队每天改造费用是万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低的费用.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形的性质求解．
【详解】∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个.
故答案为：B.
本题考查的知识点是中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后原图形重合．
2、B
【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选B．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
3、A
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选A．
【点评】
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
4、C
【解析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论．
【详解】如图，连接OA、OC．
∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积=== =．
故选C．
本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
5、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
6、C
【详解】试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
7、D
【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法.
【详解】，原函数定为二次函数
甲：顶点横坐标为
，，所以甲不正确
乙：原方程为，化简得：
必有两个不相等的实数根，所以乙正确
故选：D.
本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根.
8、B
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
故选B．
9、D
【解析】点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；
点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；
点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．
故选D.
点睛：本题考查函数的图象.分三段依次考虑△ADE的面积变化情况是解题的关键.
10、C
【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到，然后根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°．
故选：C.
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
11、B
【解析】要求csB，必须将∠B放在直角三角形中，由图可知∠D＝∠B，而AD是直径，故∠ACD＝90°，所以可进行等角转换，即求csD．在Rt△ADC中，AC＝2，AD＝2r＝3，根据勾股定理可求得，所以．
12、B
【解析】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、30°
【详解】试题分析：∵，
∴.
∵为一锐角，∴.
考点：特殊角的三角函数值.
14、1s或3s
【解析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．
【详解】∵y=﹣5x2+20x，
∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3，
故答案为1s或3s．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．
15、4
【解析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
【详解】∵
∴
∴
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.
16、1
【分析】先运用勾股定理求出另一条边，再运用矩形面积公式求出它的面积．
【详解】∵对角线长为13，一边长为5，
∴另一条边长＝＝12，
∴S矩形＝12×5＝1；
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，本题关键是运用勾股定理求出另一条边．
17、1．
【解析】试题分析：根据题意首先得出抽取10个零件需要1天，进而得出答案．
解：∵某车间生产的零件不合格的概率为，每天从他们生产的零件中任取10个做试验，
∴抽取10个零件需要1天，
则1天会查出1个次品．
故答案为1．
考点：概率的意义．
18、﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．
【详解】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）易求DF长度即可判断；
（2）通过30°角所对的直角边等于斜边一半证得AE=2EF，EF=2CE即可得；
（3）先证明△OFG为等边三角形，△OPG为等边三角形，即可确定扇形圆心角∠POG和∠GOF的大小均为60°,所以两扇形面积相等， 通过割补法得出最后阴影面积只与矩形OPDH和△OGF有关，根据面积公式求出两图形面积即可.
【详解】（1）∵AF=AB=6,AD=BC=,
∴DF=3,
∴CF=DF=3,
∴F是CD的中点
（2）∵AF=6, DF=3,
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=30◦ ,
∴AE=2EF;
∴∠EFC=30◦ ,EF=2CE,
∴AE=4CE
（3）如图，连接OP,OG,作OH⊥FG,
∵∠AFD=60°,OF=OG,
∴△OFG为等边三角形，
同理△OPG为等边三角形，
∴∠POG=∠FOG=60°,OH= ,
∴S扇形OPG=S扇形OGF,
∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-S△OFG
= ,
即图中阴影部分的面积.

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质及解直角三角形，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.
21、见解析
【分析】认真观察实物，可得这个几何体的主视图和左视图都为长方形上面一个等腰三角形，俯视图为两个同心圆（中间有圆心）．
【详解】解：三视图如图所示：

本题考查简单组合体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
22、（1）y=﹣x1+x；（1）证明见解析；（3）P（﹣，0）．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（1）先求出直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．再求出直线BD的表达式为y=x﹣1．最后求出交点坐标C，D即可；
（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．
【详解】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）1+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）1+1
∴a=﹣，
∴抛物线的表达式为：y=﹣x1+x．
（1）令y=0，得 0=﹣x1+x，
∴x=0（舍），或x=1
∴B点坐标为：（1，0），
设直线OA的表达式为y=kx．∵A（，1）在直线OA上，
∴k=1，∴k=，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．
∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x+b．∵B（1，0）在直线BD上，∴0=×1+b，∴b=﹣1，
∴直线BD的表达式为y=x﹣1．
由
得交点D的坐标为（﹣，﹣3），
令x=0得，y=﹣1，∴C点的坐标为（0，﹣1），
由勾股定理，得：OA=1=OC，AB=1=CD，OB=1=OD．
在△OAB与△OCD中，，
∴△OAB≌△OCD．
（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，1），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，
∴，∴，∴PO=，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和全等，解答本题的关键是确定函数解析式．
23、 (1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
24、（1）2x；（50-x）；（2）每件商品降价1元，商场可日盈利2400元；（3）商场日盈利的最大值为2450元．
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利−降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40＋2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）求出（2）中函数表达式的顶点坐标的横坐标即可解决问题．
【详解】（1）商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50−x）元，
故答案为：2x；（50−x）；
（2）由题意得：（50-x）（40+2x）=2400
化简得：x2-30x+10=0，即（x-10）（x-1）=0，
解得：x1=10，x2=1，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴x=1．
答：每件商品降价1元，商场可日盈利2400元．
（3） y = （50- x ）×（40+ 2x ） = -2（x-15）2 +2450
当x=15时，y最大值= 2450
即 商场日盈利的最大值为2450元．
此题主要考查了二次函数的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
25、（1）图见解析，y＝－10x＋1；（2）单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；（3）单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
【分析】(1)从表格中的数据我们可以看出当x增加10时，对应y的值减小100，所以y与x之间可能是一次函数的关系，我们可以根据图象发现这些点在一条直线上，所以y与x之间是一次函数的关系，然后设出一次函数关系式，求出其关系式；
(2)利用二次函数的知识求最大值；
（3）根据函数的增减性，即可求得销售单价最高不能超过45元/件时的最大值．
【详解】解：(1)画图如图；
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y＝kx＋b(k≠0)
∵这个一次函数的图象经过(30，500)、(40，400)这两点，
∴，解得
∴函数关系式是：y＝－10x＋1．
(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W＝(x－20)(－10x＋1)
＝－10x2＋1000x－16000
＝－10(x－50)2＋9000
∴当x＝50时，W有最大值9000.
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元.
(3)对于函数W＝－10(x－50)2＋9000，
当x≤45时，W的值随着x值的增大而增大，销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
26、 (1)甲、乙工程队每天能完成绿化的面积分别是、;(2);(3)安排甲队施工天，乙队施工天，施工总费用最低，最低费用为万元.
【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是m2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解；
(2)根据题意得到100x+50y=2400，整理得：y=-2x+48，即可解答；
(3)根据甲乙两队施工的总天数不超过30天，得到x≥18，设施工总费用为w元，根据题意得：，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】(1)设乙工程队每天能完成绿化面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
答：甲、乙工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
(2)根据题意得：，
整理得：，
∴y与x的函数解析式为：．
(3)∵甲乙两队施工的总天数不超过30天，
∴，
∴，
解得：，
设施工总费用为元，根据题意得：
，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为万元，
此时，，
答：安排甲队施工天，乙队施工天，施工总费用最低，最低费用为万元．
本题考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．掌握利用一次函数的增减性求最值的方法．
销售单价x（元/件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…