高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 乘法公式与事件的独立性学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 乘法公式与事件的独立性学案，共7页。

[教材要点]
要点一 相互独立事件的概念
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率________影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件．
要点二 相互独立事件的概率公式
P(AB)＝________．
要点三 相互独立事件的性质
(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝________，P(A|B)＝________．
(2)若事件A，B相互独立，则A与与B，与也相互独立．
(3)若A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝________．
状元随笔 若事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，从而P(AB)＝P(A)P(B)；反之，若P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)＞0，则P(B)＝，再由P(B|A)＝可知P(B|A)＝P(B)，因此事件A与事件B相互独立，从而P(AB)＝P(A)P(B)．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．( )
(2)相互独立事件就是互斥事件．( )
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( )
2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A． B．
C． D．
4．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
题型一 相互独立事件的判断
例1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩.
方法归纳
1．利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握.
2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．
跟踪训练1 从一副去除大、小王的扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立．
题型二 相互独立事件同时发生的概率
例2 面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
方法归纳
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
跟踪训练2 一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
题型三 事件的相互独立性与互斥性
例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
方法归纳
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
跟踪训练3 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)恰有一人能破译的概率；
(2)至多有一人能够破译的概率.
[课堂十分钟]
1．下列事件中，A，B是独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}
B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}
C.掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}
D.A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
B．0.42
D．0.88
3．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B．
C. D．
4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
1．2 乘法公式与事件的独立性
新知初探·课前预习
要点一
没有
要点二
P(A)P(B)
要点三
(1)P(B) P(A) (3)P(A1)P(A2)…P(An)
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．
答案：A
3．解析：由题意知，恰有一次通过的概率为＝.
答案：C
4．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知这4个基本事件的概率各为这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的.
跟踪训练1 解析：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝＝，事件AB为“既抽得老K又抽得红牌”，即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件．
例2 解析：令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝.
(2)他们都失败即事件同时发生．
故P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝
＝＝.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P()＝1－＝.
跟踪训练2 解析：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝＝＝.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝＝·＝.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
例3 解析：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有DEF，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为
P1＝P(DEF)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)方法一 红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
方法二 “红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P()＝1－0.35－0.1＝0.55.
跟踪训练3 解析：(1)“恰有一人能破译”为事件(AB)，又A与B互斥，所以P[(AB)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＝.
(2)“至多一人能破译”为事件(AB))，而A、B、互斥，故P[(AB))]＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝＝.
[课堂十分钟]
1．解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
答案：A
2．解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，
∴至少有1人被录取的概率为1－0.12＝0.88.
答案：D
3．解析：青蛙跳三次要回到A叶有两条途径：第一条：按A→B→C→A，
P1＝＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＝.
答案：A
4．解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
5．解析：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－＝.