【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题22 等差数列与前n项和（讲）.zip

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一、考点要求
考点梳理
（一）、等差数列
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。定义的表达式为为常数。
2.等差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且。
3.等差数列的通项公式及其变形：
通项公式：，其中是首项，是公差。
通项公式的变形：
注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式，可知：
①已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项；
②已知,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；
（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。
4.等差数列和一次函数的关系
由等差数列的通项公式可得，如果设那么
，其中p，q是常数。
当p≠0时，（n，a）在一次函数y=px+q的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀排开的一群孤立的点。
等差数列的单调性：当＞0时，数列为递增数列；当＜0时，数列为递减数列；当=0时，数列为常数列；
（二）等差数列的前n和
1、等差数列的前n项和：等差数列的前n项和公式；
等差数列前n项和公式与函数的关系：由可得，设，则有。当(即d≠0)时，有的前n项和组成的新的数列的图像是二次函数图像上一系列孤立的点，因此我们可以借助二次函数的图像和性质（单调性、最值）来研究等差数列前n项和的有关问题。
注意：等差数列公式的选用：分析两个公式可得，它们的共同点是需要知道和n，不同点是公式还需要知道，公式，还需要知道，解题时需要根据已知条件决定选用哪个公式，当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好。
2、前n项和公式判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当时，该数列是以a+b为首项，2a为公差的等差数列；当时，该数列不是等差数列。
（三）等差数列前n项和的性质
已知是等差数列，为公差，为该数列的前n项和。
有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即
等差数列中，当n+m=p+q时，，特别地，若m+n=2p，则。
相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即仍是等差数列，公差为。
，…也是等差数列，公差为。
也是等差数列，其首项与首项相同，公差是的公差的。
在等差数列中，①若项数为偶数2n，则；；②若项数为奇数2n-1，则；
若数列与均为等差数列，且前n项和分别是，则
若数列，是公差分别为的等差数列，则，数列，都是等差数列（p,q都是常数）且公差分别为。
注意：等差数列性质的推广：
等差数列中，若，则
等差数列性质的推广：若m+n+t=p+q+r，则，以此类推，若，则。
对于无穷等差数列，首项为，公差为d则
将数列中的前m项去掉，其余各项仍组成一个等差数列，首项是，公差为d。
该数列所以奇数项组成一个等差数列，首项为，公差为2d
题型体系：
等差数列的判定：等差数列有以下四种判定方法：
（1）定义法：或 为等差数列；
（2）等差中项法： 为等差数列；
（3）通项公式法： 为等差数列；
（4）前n项和公式法、： 为等差数列；
三、考点剖析
考点一、等差数列的概念及判定
【例1】已知数列的首项，且满足，则______.
【变式练习】已知数列的前n项和为，且满足：，判定是否为等差数列，并说明你的理由。
考点二、求等差数列的公差与某一项
【例2】已知等差数列满足：，则（ ）
A．B．10C．15D．20
【变式练习1】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式练习2】方程的两根的等差中项为（ ）
A．4B．C．2D．
【变式练习3】设等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A．B．6C．4D．8
考点三、等差数列的性质的应用
【例3】在等差数列中已知，，则的前17项和为（ ）
A．166B．172C．168D．170
【变式练习1】等差数列的公差为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式练习2】等差数列满足，，则该等差数列的公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点四、求等差数列的前和与通项公式
【例4】在等差数列中，若，则（ ）
A．60B．57C．30D．27
【变式练习1】已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式练习2】已知正项数列中，，则数列的前120项和为（ ）
A．4950B．10C．9D．
【变式练习3】设等差数列的前n项和为，已知，则________.
【变式练习4】已知等差数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
考点五、等差数列的单调性与最值
【例5】已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，当取得最小值时，________
【变式练习】已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.
考试内容
考试要求
1.等差数列的概念，能利用通项公式求等差数列中的每一项
2.等差数列前项和与通项公式应用
3.等差数列的性质应用
掌握
掌握
掌握