【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题10 二次函数与幂函数（讲）.zip

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一、考点要求
二、考点梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
2.二次函数的图象和性质
概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．
提示 a>0且Δ≤0.
3．函数y＝2x2是幂函数吗？
提示 不是．
三、考点剖析
考点一、幂函数图像与性质
【例1】已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
【变式练习1】幂函数f (x)＝(a∈Z)为偶函数，且f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式练习2】若幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
【变式练习3】幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为( )
A．3 B．0
C．1 D．2
考点二、幂函数应用
【例2】若，则实数a的取值范围是____________．
【变式练习】若f (x)是幂函数，且满足eq \f(f 4,f 2)＝3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )
A．3 B．－3
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
考点三：二次函数图像与性质
【例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.
【变式练习】 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
考点四：二次函数的值域、单调性
【例4】函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
【变式练习】二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f (1)，则f (eq \r(2))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，f (eq \r(3))的大小关系是( )
A．f (eq \r(2))B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))C．f (eq \r(3))D．f (eq \r(2))【例5】已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
考点五：二次函数恒成立问题
【例6】已知a是实数，函数f (x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
【变式练习】已知定义在R上的奇函数f (x)满足：当x≥0时，f (x)＝x3，若不等式f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
考试内容
考试要求
二次函数图像与性质
二次函数应用
幂函数图像与性质
幂函数应用
掌握
掌握
掌握
掌握
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)对称