初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理单元测试课后复习题

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核心知识1．勾股定理的简单计算
1．把一个直角三角形的两条直角边都扩大到原来的2倍，那么斜边将（ ）
A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的3倍D．不能确定
【答案】A
【解析】解：设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，
直角边扩大2倍后为2a，2b，
那么据勾股定理得：
原来的斜边长的平方为：a2+b2，
现在的斜边长为：（2a）2+（2b）2＝2（a2+b2），
即斜边扩大到原来的2倍．
故本题选：A．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2＝32＝9，
∴AB2+AC2+BC2＝32+9＝18．
故本题选：B．
3．已知Rt△ABC的直角边分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5B．6C．125D．245
【答案】C
【解析】解：如图，作CD⊥AB于D，
∵AC＝3，BC＝4，
∴由勾股定理得：AB＝5，
∵S△ABC＝12AC•BC＝12CD•AB，
∴12×3×4＝12×5•CD，
∴CD＝125．
故本题选：C．
核心知识2．勾股定理的证明及有关计算
4．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为 ．
【答案】2
【解析】解：如图，
∵若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴AB＝10，BC＝AD＝6，
在Rt△ABC中，AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
故本题答案为：2．
5．勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：A．根据图形可知：S大正方形＝4×12ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2；故A选项不合题意；
B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；
C．根据图形可知：S大正方形＝4×12×ab+c2＝2ab+c2，S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C选项不合题意；
D．根据图形可知：S大正方形＝c2，S大正方形＝12（b+b+a）×b+12（a+b+a）×a﹣2×12ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故D选项不合题意．
故本题选：B．
核心知识3．直角三角形有关的分类讨论问题
6．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
【答案】D
【解析】解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，
当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16．
故本题答案为：D．
7．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，则BC的长为 ．
【答案】7或25
【解析】解：如图（1），
△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，
由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝81，即BD＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，
由勾股定理得，DC2＝AC2﹣AD2＝256，即DC＝16，
∴BC的长为：BD+DC＝9+16＝25；
如图（2），同（1）的作法相同，
∴BC的长为：DC﹣BD＝16﹣9＝7；
综上，BC的长为：7或25．
故本题答案为：7或25．
8．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高的平方为（ ）【提示：7的平方是7】
A．5B．125C．374D．374或125
【答案】D
【解析】解：设直角三角形斜边上的高为h，
①当长为4的边是直角边时，斜边长＝5，
则12×3×4＝12×5×h，
解得：h＝125；
②当长为4的边是斜边时，另一条直角边长的平方＝42﹣32＝7，即另一条直角边长＝7，
12×3×7＝12×4×h，
解得：h＝374；
综上，直角三角形斜边上的高为：125或374．
故本题选：D．
核心知识4．勾股定理的逆定理
9．下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．2，3，4C．5，11，12D．8，15，17
【答案】D
【解析】解：A．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
B．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
C．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，
∴以5，11，12为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
D．∵82+152＝64+225＝289，172＝289，∴82+152＝172，
∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故本题选：D．
10．已知a，b，c是某三角形的三边，满足|12﹣a|+|b﹣5|+|c﹣13|＝0，则此三角形的面积为（ ）
A．30B．60C．78D．32.5
【答案】A
【解析】解：∵|12﹣a|+|b﹣5|+|c﹣13|＝0，
∴12﹣a＝0，b﹣5＝0，c﹣13＝0，
解得：a＝12，b＝5，c＝13，
∴a2+b2＝122+52＝132＝c2，
∴该三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积为：12×52＝30，
故本题选：A．
11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，
解得：∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不是直角三角形；
综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，
故本题选：C．
核心知识5．勾股定理的应用——面积问题
12．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225B．144C．81D．无法确定
【答案】C
【解析】解：由图可得：三个正方形围成的三角形是直角三角形，
∵其中两个正方形的面积为144，225，
∴正方形A边长的平方为：225﹣144＝81，
即正方形A的面积是81，
故本题选：C．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝10，BC＝24，分别以它的三边为直径作三个半圆，则阴影部分面积为 ．
【答案】120
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝24，
∴AB2＝AC2+BC2＝262，即AB＝26，
∴S阴影＝12π×（AC2）2+12π×（BC2）2+12×BC×AC﹣12π×（AB2）2＝12π×（102）2+12π×（242）2+12×24×10﹣12π（262）2＝120．
故本题答案为：120．
14．某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境．现计划在空地上铺上草坪．经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要20元，铺这块空地需要投入多少钱？
【答案】铺这块空地需要投入4680元钱
【解析】解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，∠ABC＝90°，AB＝20米，AD＝15米，
∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252（平方米），即BD＝25米，
在△ADB中，CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，
∴BC2+CD2＝242+72＝252（平方米）＝DB2，
∴△BDC为直角三角形，∠DCB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△DBC＝12×15×20+12×7×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米，
∵铺一平方米草坪需要20元，
∴234×20＝4680（元），
答：铺这块空地需要投入4680元钱．
15．某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．
【答案】试验田ABCD的面积为24m2
【解析】解：如图，连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，即AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝12×5×12﹣12×3×4＝30﹣6＝24m2，
即试验田ABCD的面积为24m2．
核心知识6．勾股定理的应用——最值问题
16．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若点D为AB边上任意一点，则线段CD的取值范围是 ．
【答案】4.8≤CD≤8
【解析】解：如图，过点C作CD′⊥AB于D′，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最短，即点D在点D′的位置时，CD最短，
由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝82，即AC＝8，
∵S△ABC＝12AB×CD′＝12BC×AC，
∴CD′＝6×810＝4.8，
∴4.8≤CD≤8，
故本题答案为：4.8≤CD≤8．
17．如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为 ．
【答案】2cm≤h≤4cm
【解析】解：如图，
当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝12﹣8＝4（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，
∴AB2＝AD2+BD2＝62+82＝102（cm2），即AB＝10cm，
∴此时h＝12﹣10＝2（cm），
∴h的取值范围是：2cm≤h≤4cm．
故本题答案为：2cm≤h≤4cm．
18．如图是长AB＝4cm、宽BC＝3cm、高BE＝12cm的长方体容器．
（1）求底面矩形ABCD的对角线的长；
（2）长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【答案】（1）底面矩形ABCD的对角线的长为5cm；（2）长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm
【解析】解：（1）∵AB＝4cm、BC＝3cm，
∴BD2＝AB2+BC2＝32+42＝52（cm2），即BD＝5cm，
答：底面矩形ABCD的对角线的长为5cm；
（2）∵122+52＝132，
∴长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm，
答：长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm．
核心知识7．勾股定理的应用——动点问题
19．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6
【解答】解：分两种情况：
（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即6﹣2t＝t,
解得：t＝2；
（2）当点P在CO的延长线上时，经过点O时，已用时3s,
设t时后△POQ是等腰三角形，
∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣3）＝t,
解得：t＝6，
故本题答案为：2或6．
20．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝4.5秒时，求AP2；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）AP2＝34；（2）当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或16948秒
【解答】解：（1）由题意得：BP＝2t，
∴当t＝4.5秒时，BP＝2×4.5＝9，
∵BC＝12，
∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，
由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2＝52+32＝34；
（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝AC2+BC2＝52+122＝132，
①当BP＝AB＝13时，t＝13÷2＝6.5秒；
②当AP＝AB时，BP＝2BC＝24，则t＝24÷2＝12秒；
③当PA＝PB＝2t时，
在Rt△APC中，AP2＝PC2+AC2，即（2t）2＝（12﹣2t）2+52
解得：t＝16948秒；
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或16948秒．
核心知识8．勾股定理的应用——实际问题
21．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
【答案】2.2
【解答】解：在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25（米2），
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝2米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+22＝6.25，
∴AB＝1.5米，
∴BE＝AE+AB＝0.7+1.5＝2.2米，
答：小巷的宽度BE为2.2米，
故本题答案为：2.2．
22．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．设梯子顶端到水平地面的距离为p，底端到垂直墙面的距离为q，若pq＝a，根据经验可知：当2.7＜a＜5.6时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的底端B向墙脚内移0.8m到D点，请问这时使用是否安全．
【答案】这时使用安全，理由详见解析
【解答】解：使用安全，理由如下：
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝2.52﹣22＝1.52（m2），
∵BD＝0.8m，
∴OD＝1.5﹣0.8＝0.7m，即q＝0.7m，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：OC2＝CD2﹣OD2＝2.52﹣0.72＝2.42（m2），即p＝2.4m，
∴a＝pq＝2.40.7＝247，
又∵2.7＜247＜5.6，
∴这时使用安全．
答：这时使用安全．
23．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求原来的路线AC的长；
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）原来的路线AC的长为8.45千米
【解答】解：（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，62+2.52＝6.52，
∴CD2+BD2＝CB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AB＝x千米，AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
24．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC＝ 尺．
【答案】5
【解答】解：设AC＝x尺，则AB＝（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，∴AC＝5尺，
故本题答案为：5．
25．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．
（1）求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求∠BOD的大小）
（2）由于B地需要救援的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？
【答案】（1）第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度；（2）与港口O最近的距离是24海里
【解答】解：（1）由题得：OA＝20×2＝40（海里），OB＝15×2＝30（海里），
∵OB2+OA2＝402+302＝2500（海里2），AB2＝502＝2500（海里2），
∴OB2+OA2＝AB2，
∴△OAB为直角三角形，∴∠AOB＝90°，
∵由题知：∠AOD＝40°，
∴∠BOD＝50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度；
（2）过点O作OE⊥AB，此时OE的长度即为最近距离，
由（1）知OA＝40海里，OB＝30海里，AB＝50海里，∠AOB＝90°，
∴在Rt△OAB中，有S△OAB＝12OA•OB＝12AB•OE，
∴OE＝24海里，
答：与港口O最近的距离是24海里．
26．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）村庄能听到宣传，理由详见解析；（2）村庄总共能听到4分钟的宣传
【解答】解：（1）村庄能听到宣传，理由如下：
∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，
∴BP2＝BQ2＝AP2﹣AB2＝10002﹣8002＝6002（米2），即BP＝600米，
∴PQ＝1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4（分钟），
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．