广东省惠州市博罗县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份广东省惠州市博罗县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

说明：（1）考试时间：120分钟；（2）满分：120分；（3）请将答案填写在答题卡指定位置
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)．
1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．
2.下列是一元二次方程的为（ ）
A. B. C.D.
3.毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.关于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点(1，2) B．图象在第一、三象限
C．当＞0时，y随的增大而减小 D．当＜0时，y随的增大而增大
题5图
5.如图，在半径为的⊙中，弦，于点，
则OC长为（ ）
A． B． C． D．
6.若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7.将抛物线y＝4x2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式（ ）
题8图
A. y＝4(x+3)2+5B. y＝4(x+3)2﹣5
C. y＝4(x﹣3)2+5D. y＝4(x﹣3)2﹣5
如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，
则∠C的度数为（ ）
A. 32° B. 42° C. 58° D. 116°
题9图
9.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
题10图
10.抛物线的顶点为D（﹣1，2），与轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4c＜0；②当＞﹣1时，随增大而减小；③+b+c＜0；④若方程﹣m=0没有实数根，则m＞2；⑤3+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.
11.点A（3，-1）关于原点对称的点的坐标为_____________.
12.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠A=______.
13.二次函数的图象的顶点坐标是_______________.
14.如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是_________.
15.如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影部分的面积为________.
题15图
题14图
题12图
题16（2）图
三、解答题（一）：（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．）
16．（1）解方程：.
（2）如图，三个顶点的坐标分别为A（2,4），B（1,1），
C（4,3）.请画出绕点O逆时针旋转后的△A1B1C1,
并求出C点旋转到C1点所经过的路径长.（结果保留π）

题17图
在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条
相同宽度金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要
使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽.
18.已知关于x的方程3x2－(k+3)x+k＝0.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围.
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图表示出（，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（，y）落在二次函数y=2的图象上的概率.
20．综合与实践
一次数学综合实践活动课上，小华发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小华的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝.
尝试证明：（1）请参照小华提供的思路，利用图2证明：＝；
应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝1，AB＝2，求DE的长.
21. 如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标；
(2)设(1)中的直线EF的解析式为y＝ax＋b，直接写出不等式ax＋b＜eq \f(k,x)的解集；
(3)当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
题21图
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分．）
22．综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.
（1）求证：AB＝CE；
（2）求证：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值.

题22图
23．综合运用
如图，抛物线与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长.
题23图
2023-2024秋季学期期末教学质量检测
九年级数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9. D 10.C
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. （-3,1） 12. 50° 13.（1,3） 14. 2 15.
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16.（1）解：， ……………2分
或， ……………4分
，． ………………5分
（2）解：
……………3分
………5分
17.解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80 +2x) cm，宽为(50 +2x)cm，根据题意得:
(80 + 2x) (50 + 2x) = 5400， …………4分
解得: x1=-70(不符合题意，舍去),x2 = 5. …………6分
答:金色纸边的宽度为5cm. …………7分
18.（1）证明：依题意，得：
△=(k+3)²-4×3×k=k²- 6k+9= (k- 3)² .………1分
∵(k - 3)² ≥0， ………2分
∴△≥0.
∴该方程总有两个实数根. ………3分
（2）解：解方程3x²- (k+3)x + k= 0得：
x1 = 1，x2= ………5分
∵该方程有一个根大于2，
∴
∴k> 6. ………7分
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19.解：（1）列表如下：
…………6分
∵共有16种情形，其中落在二次函数y=2的图象上有 2种，即点（1，1）（2，4），
∴P（落在二次函数y=2的图象上） = 216 = 18． ……………9分
20.（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，∴， ………2分
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，∴． ………4分
（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，∴， ………5分
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝， ………7分
∴BD+CD＝，∴3CD＝，
∴CD＝，
∴DE＝. ………9分
21. 解：(1)∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，
∴AB＝2，BC＝3.
∵F为AB的中点，∴点F的坐标为(3，1)． …………2分
∵点F在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象上，
∴k＝3×1＝3.∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(3,x). …………3分
∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2.
在y＝eq \f(3,x)中，令y＝2，得x＝eq \f(3,2)，∴点E的坐标为(eq \f(3,2)，2)； …………4分
(2)0＜x＜eq \f(3,2)或x＞3； …………5分
(3)由题意可知点E的纵坐标为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象上，
∴可设E(eq \f(k,2)，2)，F(3，eq \f(k,3))．
∴AF＝eq \f(k,3)，CE＝eq \f(k,2).∴BE＝BC－CE＝3－eq \f(k,2).
∴S△AEF＝eq \f(1,2)AF·BE＝eq \f(1,2)·eq \f(k,3)·(3－eq \f(k,2))＝－eq \f(1,12)k2＋eq \f(k,2)＝－eq \f(1,12)(k－3)2＋eq \f(3,4). …………7分
∵－eq \f(1,12)＜0，∴S△AEF是关于k的开口向下的抛物线，
∴当k＝3时，S△AEF有最大值，最大值为eq \f(3,4).
即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为eq \f(3,4). …………9分
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,∠B=∠D，AD=BC.
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，∴∠D=∠DEC，
∴CD=CE，∴AB=CE. …………3分
（2）证明：如图，连接CO并延长交AB于点H，
∵AC=BC，
∴，且CO是半径，
∴CH⊥AB，AH=BH. …………5分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.又CH⊥AB. …………6分
∴CH⊥CD,且CO是半径，
∴DC与⊙O相切. …………7分
（3）解：如图，连接OA
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB=8.
∵AH=BH，AB=8，
∴AH=BH=4. …………8分
又AO=5，CH⊥AB，
∴
∴
∴. …………9分
∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠B，
∵∠B=∠D,
∴ △CDE∽△CAB. …………10分
…………11分
…………12分
解：（1）把点A(-6,0)和点B(2,0)代入抛物线得：
………………2分
∴此抛物线的函数表达式为y=x2+2x﹣6. ………………3分
（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，
DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ………4分
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图1，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，
∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； ………………6分
如图2，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），
∴点E的坐标为（2﹣2，2）； ………………9分
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ………………10分
图1
图2
②DM的长为3． ………………12分
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）