广东省惠州市惠城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广东省惠州市惠城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案，下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列选项中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出B．水涨船高C．水滴石穿D．水中捞月
4．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．如图，点，，是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．76°B．38°C．24°D．33°
6．反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ）
A．B．C．D．
7．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定
8．已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上C．点P在外D．不能确定
9．对于抛物线，下列说法中错误的是( )
A．对称轴是直线B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小D．当时，函数y的最小值为
10．如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于B，C两点，则弦的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为，则布袋中黑球的个数为 ．
14．如图，将一个直角三角尺绕直角顶点O旋转到如图所示的位置．若，则 ．
15．据不完全统计，2021年惠州市沿海地区接待旅游人数达1400万人次．预计2023年的人数会增加到2016万人次，设每年的旅游人数平均增长率为x，根据题意列方程为： ．
16．圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
三、解答题
17．解方程：＋3x﹣4＝0．
18．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为3 0cm、宽为20的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），求彩纸的宽度．
19．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．

(1)求电流关于电阻的函数关系式；
(2)当时，求电阻的值．
20．如图，绕点C顺时针旋转后得到．

(1)画出；
(2)求（1）中点A在旋转到点，所经过的路径长（结果保留）．
21．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．

(1)求出点B的坐标．
(2)请根据图象直接写出不等式的解集．
22．我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1)统计表中的 ， ；
(2)D对应扇形的圆心角为 度；
(3)甲、乙两位同学参加校本课程学习，若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
23．如图，过正方形顶点B，C的与相切于点E，与相交于点F，连接．

(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
24．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到，依据是__________．
A． B． C． D．
(2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量有关系，并证明你的猜想；
(4)【问题拓展】如图③，中，，，是的中线，，，且．直接写出的长__________．
25．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
校本课程
频数
频率
A：无人机
36
B：交响乐团
C：诗歌鉴赏
16
b
D：木工制作
8
合计
a
1
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；
B．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
3．D
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了坐标系原点对称，关于原点对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，据此可得，解之即可得到答案，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
故选：．
5．B
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得．
【详解】解：∵点，，是上的三个点，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理的运用，解题的关键是根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答．
6．A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由反比例函数的图象经过点，可知：，
∴反比例函数的解析式为；
A．∵，
∴在反比例函数的图象上，故A正确；
B．∵，
∴不在反比例函数的图象上，故B错误；
C．∵，
∴不在反比例函数的图象上，故C错误；
D．∵，
∴不在反比例函数的图象上，故D错误．
故选：A．
7．B
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，则方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离），当，点在圆内；当，点在圆内；当，点在圆上；据此作答即可．
【详解】解：∵的半径为4，，
∴
∴点P在内
故选：A
9．D
【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 对称轴是直线，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，函数y的最大值为，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10．B
【分析】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理，根据直线的特点可知该直线过定点，运用勾股定理可求出，经过点，可求出半径，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【详解】解：对于直线，
当时，，故直线恒经过点，记为点D．
由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，即当时，最短，
连接，如图所示
∵
∴，
∵经过点，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
11．x≥2．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
13．8
【分析】本题主要考查已知概率求数量，以及分式方程的实际应用． 设黑球的个数为x，则根据题意列出关于x的分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设黑球的个数为x，则根据题意可得：
摸到白球的概率为，
解得，
经经验，是原方程的解，
∴黑球个数为8，
故答案为：8．
14．70
【分析】本题考查角的和差计算．由题意可知，根据角的和差可求出，进而可求得．
【详解】由题意可得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：70
15．
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每年的旅游人数平均增长率为x，则2022年的旅游人数为万人，2023人旅游人数为万人，再由2023年的旅游人数为2016万人列出方程即可．
【详解】解：设每年的旅游人数平均增长率为x，
由题意得，，
故答案为：．
16．1.3
【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
由题意可知，，，
中，，，
所以，
解得．
故答案为：1.3
17．＝﹣4，＝1
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】解：∵＋3x﹣4＝0，
∴（x＋4）（x﹣1）＝0，
则x＋4＝0或x﹣1＝0，
解得＝﹣4，＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．彩纸宽为5cm．
【详解】试题分析：已知矩形长，宽可求出矩形面积和镶边面积，设彩纸的宽为xcm，然后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩纸面积与原画面的面积相等，列出方程求解即可．
试题解析：设彩纸的宽为xcm，由题意得
（30+2x）（20+2x）=2×30×20，
整理得：x2+25x-150=0，
解得x1=5，x2=-30（不合题意，舍去）．
答：彩纸宽为5cm．
考点：一元二次方程的应用．
19．(1)；
(2)电阻R的值为3Ω．
【分析】本题考查反比例函数的应用．
（1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式；
（2）将代入函数关系式解出即可．
【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，
∴可设，
∵当时，．
∴，
∴电流I关于电阻R的函数关系式为：；
（2）解：当时，，
解得Ω，
答：电阻R的值为3Ω．
20．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查在网格中的旋转和求弧长，
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，

（2）∵，
∴，
则点A在旋转到点，所经过的路径长．
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．
（1）根据正比例函数与反比例函数的性质求解即可得；
（2）找出正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点，
点关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
（2）解：不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
所以不等式的解集为或．
22．(1)80，
(2)36
(3)甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的概率为
【分析】（1）由A的频数除以频率得出a的值，即可解决问题；
（2）由乘以D所占的比例即可；
（3）画树状图，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
故答案为：80，；
（2）解：D对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，
∴甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
23．(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题考查了正方形的性质、圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
（1）连接，先根据圆的切线的性质可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）连接，先证出，再设，则，，，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，

与相切于点，
，即，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
是的直径，
，
由（1）已证：，
，
，
，
，
∴设，则，
，
，
则在中，．
24．(1)A
(2)
(3)，证明见解析
(4)8
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质．
（1）由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答；
（2）由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此；
（3）延长，，交于点F，易证，得到，由是的平分线和，得到，从而，即可得到；
（4）延长，，交于点F，由可得，因此，，又，因此，从而，，．因为是的垂直平分线，故．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：A
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：．证明如下：
延长，，交于点F，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（4）解：延长，，交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∴
∴，，
∴．
∵，即，
又，
∴．
故答案为：8
25．(1)y＝x2+2x﹣3；
(2)（﹣，）
(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）
【分析】（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；
（3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
【详解】（1）解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，
由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
（3）存在，理由如下，
∵x＝﹣＝-1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，
设Q（-1，a），
∵B（0，-3），A（-3，0），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，
解得：a＝2，
∴Q1（-1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，
解得：a＝﹣4，
∴Q2（-1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，
解得：a1＝或a1＝，
∴Q3（-1，），Q4（-1，），
综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．