2023-2024学年辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
2．（3分）方程x（x+1）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1
3．（3分）如图是由7个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0，配方后方程转化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（ ）
A．﹣2，6B．2，﹣6C．6，﹣2D．﹣6，2
5．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1且a≠0B．a＜1且a≠0C．a≤1D．a＜1
6．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
7．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述不正确的是（ ）
A．△AOM是等边三角形
B．四边形AMON是菱形
C．△BOM≌△DON
D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
9．（3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x%）2＝9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
10．（3分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（ ）
A．（，）B．（，）
C．（，）D．（，）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么这两个相似三角形的周长比是 ．
12．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm,则BC的长为 ．
14．（3分）如图，直线与双曲线交于点A，点A的纵坐标是1，点B是双曲线上另一点，且点B的横坐标是1，连接OB，AB，则△AOB的面积为 ．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标是 ．
三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明演算步骤或推理过程）
16．（10分）计算：
（1）解方程x2﹣4x﹣5＝0；
（2）解方程3x（2x+1）＝4x+2．
17．（8分）如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长．
18．（9分）为增强学生的身体素质，本溪市教育局规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时，为了解学生参加户外活动的情况，并将调查结果绘制作成如下不完整的频数分布表．
频数分布表
请你根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）请你将频数分布表补充完整；
（3）如果这所学校共有1800名学生，你估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生有多少名？
19．（8分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，AB＝2，求FH的长．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2），且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0），连接OP、OQ
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
21．（8分）如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C），P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN＝60°．
（1）求证：MA＝MN；
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”（如图2），N是∠DCP的平分线上一点，则当∠AMN＝90°时（直接给出结论，不需要证明）
22．（12分）【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线y＝x+b与x轴交于点C（4，0），并与双曲线交于点A（﹣1，n）．
【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式；
【分析问题】徐老师在图中连接OA，过点O作OM⊥AC于点M（如图2），问同学们是否能求出；老师又提出，若点D在x轴的正半轴上，求出D点的坐标；若不存在
【解决问题】
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，求的值；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B为顶点构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出D点的坐标，请说明理由．
23．（12分）【问题初探】
如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板GEF放在正方形ABCD上，另一边交CB的延长线于点G，求证：EF＝EG．
（1）刘诗琪同学认为通过证明△EGB与△EFD全等，可证EF＝EG．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明；
【类比分析】
（2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，请给予证明；若不成立；
【学以致用】
（3）如图3，刘诗琪同学将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，若AB＝a，BC＝b，求（用含有a，b的代数式表示）．
2023-2024学年辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解答】解：矩形，菱形．故选：C．
2．【答案】C
【解答】解：∵x（x+1）＝0
∴x＝6，x+1＝0
∴x3＝0，x2＝﹣6．
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：从上面看易得俯视图分3列，从左往右分别有2，5，最右边的小正方形在右上角，
故选：C．
4．【答案】A
【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣7x＝2，
x2﹣6x+4＝2+6，
（x﹣2）2＝7，
∴m＝﹣2，n＝6，
故选：A．
5．【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+5＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣7ac＝（﹣2）2﹣5×a×1＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
∵方程ax2﹣2x+6＝5是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤1且a≠6．
故选：A．
6．【答案】D
【解答】解：∵在反比例函数的中，
∴此函数图象在一、三象限，
∵﹣3＜﹣8＜0，
∴点A（﹣3，y5），B（﹣2，y2）在第三象限，C（2，y3）点在第一象限，
∴0＞y8＞y2，y3＞8，
∴y1，y2，y2的大小关系为y2＜y1＜y6．
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P（和为8）＝＝．
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：∵∠BAD不一定等于120°，
∴△AOM不一定都是等边三角形，故选项A符合题意；
∵四边形ABCD为菱形，
∴BO＝OD，又AM＝MB＝，AO＝，
∴OM∥AD，OM＝，
同理，AN＝ND＝，ON∥ABAB，
∴AM＝AN＝OM＝ON，
∴四边形AMON是菱形，是以A为位似中心的位似图形、D不合题意；
在△BOM和△DON中，
，
∴△BOM≌△DON（SSS），故选项C不合题意；
故选：A．
9．【答案】D
【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x
2500+2500（3+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
10．【答案】A
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y＝，
∴点B的坐标为（1，6）．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为：1+y，
∴y×（1+y）＝5，
即y2+y﹣1＝4，
即y＝＝，
∵y＞5，
∴y＝，
∴点E的横坐标为1+＝．
故选：A．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的周长比为3：2．
故答案为1：7．
12．【答案】13．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝8或x﹣4＝0，
解得x3＝2，x2＝7，
当x＝2时，2+4＜6，所以x＝2舍去，
当x＝5时，三角形三边分别为3、6、4，
故答案为：13．
13．【答案】8cm．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
即＝，
∴BC＝4（cm）．
故答案为：8cm．
14．【答案】．
【解答】解：将x＝1代入y＝x，得：y＝，
∴点B的坐标为（6，），
将B（4，）代入y＝，
∴反比例函数的解析式为y＝，
当y＝1时，x＝，
∴点B（，7），
∵S△BOE＝S△AOD＝|k|，
∴S△AOB＝S△BOE+S梯形BADE﹣S△AOD＝S梯形BADE＝（1+）＝．
故答案为：．
15．【答案】（6，4）．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴BC∥EF，＝，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得：OB＝5，BC＝4，
∴C点坐标是（6，3），
故答案为：（6，4）．
三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明演算步骤或推理过程）
16．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2），．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+6）＝0，
∴x﹣5＝5或x+1＝0，
∴x3＝5，x2＝﹣4；
（2）3x（2x+2）＝4x+2，
5x（2x+1）﹣6（2x+1）＝3，
（3x﹣2）（4x+1）＝0，
∴6x﹣2＝0或4x+1＝0，
∴，．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，
所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）＝800，
即：x3﹣50x+400＝0，
解得x1＝10，x8＝40（不合题意舍去）．
答：截去正方形的边长为10厘米．
18．【答案】详见解答过程．
【解答】（1）10÷0.2＝50（ 名）．
答：这次调查中共调查了50名学生．
（2）
（3）1800×（0.2+4.1+0.6）＝720（ 名）．
答：估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生约有720名．
19．【答案】（1）见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）解：连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG＝FH，AB＝2，
∴FH＝2．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵M（0，2），
∴P点的纵坐标是2，
把y＝2代入y＝得：x＝3，
∴点P的坐标是（3，2），
（2）∵M（7，2），
∴OM＝2，
∵△POQ的面积为6，
∴×3＝8，
解得：PQ＝8，
∵点P的坐标是（3，2），
∴PM＝3，
∴QM＝8﹣3＝5，
∴Q点的坐标是（﹣7，2），
把Q点的坐标代入y＝得：k＝﹣10．
21．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）结论成立，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：在AB上截取EA＝MC，连结EM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60° AB＝BC，
∵∠NMP＝180°﹣∠AMB﹣∠AMN，
∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠B，
∴∠NMP＝∠BAM，
又∵CN平分∠ACP，
∴∠ACN＝∠ACP＝60°，
∴∠MCN＝120°，
又∵BA＝BC，EA＝MC，
∴BA﹣EA＝BC﹣MC，即BE＝BM，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠AEM＝120°，
即∠MCN＝∠AEM，
在△AEM与△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：结论成立，理由如下：
在边AB上截取AE＝MC，连接ME，
∵正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°．
∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB＝∠MAE，
BE＝AB﹣AE＝BC﹣MC＝BM，
∴∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝135°．
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP＝45°，
∴∠MCN＝135°．
在△AEM与△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM＝MN．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，D1（20，0），D2（6，0）．
【解答】解：（1）将C点代入y＝x+b 中，得到 b＝﹣4，
∴y＝x﹣4，
∴A（﹣3，﹣5）；
再将A点代入 中；
；
（2）∵直线y＝x﹣3 与y轴交于点B，
∴B（0，﹣4），
∵OB＝OC＝8，∠AOB＝90°，
∴△OCB 是等腰直角三角形，
在 Rt△OBC中，∠AOB＝90°，
∵OA2+OB2＝CB8，
∴BC＝4，
∵OM⊥AC，
∴，
同理得：，
在 Rt△AOM中，得：AM＝＝，
∴＝；
（3）存在，理由：
由点A、C、B的坐标得：AB＝，BC＝4，
以点D、C、B为顶点构成的三角形与△OAB相似，
则存在：△BOA∽△CBD或△BOA∽△CBD，
则或，
即或，
解得：CD＝6或16，
∴D1（20，0），D4（6，0）．
23．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）成立．证明过程见解答；
（3）．
【解答】（1）证明：∵∠GEB+∠BEF＝90°，∠DEF+∠BEF＝90°
∴∠DEF＝∠GEB，
又∵ED＝EB，∠D＝∠EBG，
∴△FED≌△GEB（ASA），
∴EF＝EG；
（2）成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH﹣EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP＝90°，
∵∠GEH+∠HEF＝90°，
∠PEF+∠HEF＝90°，
∴∠PEF＝∠GEH，
又∵∠EPF＝∠EHG，EP＝EH，
∴△FEP≌△GEH（AAS），
∴EF＝EG；
（3）如图3，过点E作EM⊥BC于M，
则∠MEN＝90°，
∵EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴，，
∴，
即，
∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，
∴∠GEM＝∠FEN，
∵∠GME＝∠FNE＝90°，
∴△GME∽△FNE，
∴，
∴．时间分组（小时）
频数（人数）
频率
0≤t＜0.5
10
0.2
0.5≤t＜1

0.4
1≤t＜1.5
10
0.2
1.5≤t＜2

0.1
2≤t＜2.5
5

合计

1
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
3≤t＜0.5
10
2.2
0.4≤t＜1
20
0.5
1≤t＜1.8
10
0.2
8.5≤t＜2
5
0.1
5≤t＜2.5
6
0.1
合计
50
4