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2023-2024学年辽宁省铁岭六中九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省铁岭六中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k=0B. k≥−1且k≠0C. k≥−1D. k>−1
3.在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是14，则随机摸出一个球是蓝球的概率是( )
A. 13B. 14C. 310D. 920
4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )
A. (3+x)(4−0.5x)=15B. (x+3)(4+0.5x)=15
C. (x+4)(3−0.5x)=15D. (x+1)(4−0.5x)=15
5.若反比例函数y=kx的图象经过点(−3,2)，则反比例函数y=−kx的图象在( )
A. 一、二象限B. 三、四象限C. 一、三象限D. 二、四象限
6.把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是( )
A. y=−2(x+1)2+1B. y=−2(x−1)2+1
C. y=−2(x−1)2−1D. y=−2(x+1)2−1
7.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE//BC交AC于E，则下列结论不正确的是( )
A. BC=3DE
B. BDBA=CECA
C. △ADE∽△ABC
D. S△ADE=13S△ABC
8.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为( )
A. (1, 3)
B. (−1,2)
C. (−1, 2)
D. (−1, 3)
9.如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=53，BP=45.以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF的值( )
A. 1225B. 43C. 34D. 35
10.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A. 0.5B. 1C. 3D. π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x(x−2)=3，则代数式2x2−4x−7的值为______ ．
12.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AB：DE=______．
13.直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,1)和B(4,2)两点，如图，则关于x的不等式kx+b>ax2+bx+c的解集是______ ．
14.如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为______．
15.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=513，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：x(x−2)=x−2；
(2)计算2sin30°+(π−3.14)0+|1− 2|+(−1)2017．
17.(本小题7分)
甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是______．
(2)若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
18.(本小题8分)
电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为A(−6,3)，B(−4,1)，C(−1,1)．
(1)如图1，顺次连接AB，BC，CA，得△ABC．
①点A关于x轴的对称点A1的坐标是______ ，点B关于y轴的对称点B1的坐标是______ ；
②画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
③tan∠A2C2B2= ______ ；
(2)利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为1个单位长度，且较小内角为60°，原来的格点A，B，C分别对应新网格中的格点A′，B′，C′，顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，得△A′B′C′，则tan∠A′C′B′= ______ ．
20.(本小题10分)
如图，点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,4)，OABC为长方形，反比例函数y=kx的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13．
(1)求反比例函数y=kx和直线OE的函数解析式；
(2)求四边形OAFC的面积
21.(本小题10分)
如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．
(1)求AC的长度；
(2)求每级台阶的高度h．
(参考数据：sin12°≈0.2079，cs12°≈0.9781，tan12°≈0.2126.结果都精确到0.1cm)
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．
(1)证明：DE是⊙O的切线；
(2)若BD=12，sin∠CDE=513，求圆O的半径和AC的长．
23.(本小题12分)
阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述(1)中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
(3)如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BFCD的值(用含α的式子表示出来)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】【解答】
解：当k=0时，方程化为−3x−94=0，解得x=−34；
当k≠0时，Δ=(−3)2−4k⋅(−94)≥0，解得k≥−1，
综上所述，k的取值范围为k≥−1．
故选C．
【分析】
本题主要考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．讨论：当k=0时，方程化为−3x−94=0，方程有一个实数根；当k≠0时，方程有实数根，则Δ=(−3)2−4k⋅(−94)≥0，然后求出两种情况下k的取值范围．
3.【答案】D
【解析】解：∵在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，
随机摸出一个球是绿球的概率是14，
设蓝球x个，
∴56+5+x=14，
解得：x=9，
∴随机摸出一个球是蓝球的概率是：920．
故选：D．
根据摸出一个球是绿球的概率是14，得出蓝球的个数，进而得出小球总数，即可得出随机摸出一个球是蓝球的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(3+x)(4−0.5x)=15，
故选：A．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4−0.5x)元，由题意得(x+3)(4−0.5x)=15即可．
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−3,2)，
∴k=(−3)×2=−6，
∴−k=6>0，
∴反比例函数y=−kx的图象在一三象限．
故选：C．
先求出k的值，再判断出−k的符号，根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意求出k的值是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
【解答】
解：∵函数y=−2x2的顶点为(0,0)，
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为(1,1)，
∴将函数y=−2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+1，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB=13，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE//BC，
∴BDBA=CECA，B结论正确；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE//BC，AB=3AD，
∴S△ADE=19S△ABC，D结论错误，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：作BC⊥x轴于C，如图，
∵△OAB是边长为2的等边三角形
∴OA=OB=2，AC=OC=1，∠BOA=60°，
∴A点坐标为(−2,0)，O点坐标为(0,0)，
在Rt△BOC中，BC= 22−12= 3，
∴B点坐标为(−1, 3)；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，
∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为(−1, 3)，
故选D．
作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=2，AC=OC=1，∠BOA=60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC= 3，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是作出辅助线，证明△EPM∽△PFB，难度一般．
过点E作EM⊥AB于点M，证明△EPM∽△PFB，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出tan∠PEF．
【解答】
解：过点E作EM⊥AB于点M，
∵∠EPF=90°，
∴∠FPB+∠EPM=90°，
又∵∠PEM+∠EPM=90°，
∴∠PEM=∠FPB，
又∵∠EMP=∠PBF=90°，
∴△EPM∽△PFB，
∴PFEP=BPME=BPAD=1225．
∴tan∠PEF=PFEP=1225．
故选A．
10.【答案】C
【解析】解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，又OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD，
正六边形的周长：圆的直径=6CD：2CD=3，
故选：C．
连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD=60°，得到△COD是等边三角形，得到OC=CD，根据题意计算即可．
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：∵x(x−2)=x2−2x=3，
∴2x2−4x−7
=2(x2−2x)−7
=2×3−7
=6−7
=−1，
故答案为：−1．
将整式进行变形后，整体代入进行求解．
此题考查了求代数式值的能力，关键是能准确变形后运用整体思想进行代入、计算．
12.【答案】2：3
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=(ABDE)2=49，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB//DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积=49，得到AB：DE═2：3．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
13.【答案】−1【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数与不等式组有关知识，根据图形直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,1)和B(4,2)两点，即可得出关于x的不等式kx+b>ax2+bx+c的解集．
【解答】
解：∵直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,1)和B(4,2)两点，
∴关于x的不等式kx+b>ax2+bx+c的解集是−1故答案为−114.【答案】4
【解析】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC=12|k|=2，且反比例函数y=kx图象在第一象限，
∴k=4，
故答案为：4．
根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15.【答案】15625或10213
【解析】【分析】
本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时；如图2中，当⊙P与AB相切于点T时．
【解答】
解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ//CA′，
∴PQCA′=PB′A′B′，
∴r12=13−r13，
∴r=15625．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴A′TAC=A′BAB，
∴A′T12=1713，
∴A′T=20413，
∴r=12A′T=10213．
综上所述，⊙P的半径为15625或10213，
故答案为15625或10213．
16.【答案】解：(1)x(x−2)=x−2，
移项，得x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(x−1)=0，
x−2=0或x−1=0，
解得：x1=2，x2=1；
(2)2sin30°+(π−3.14)0+|1− 2|+(−1)2017
=2×12+1+ 2−1−1
=1+1+ 2−1−1
= 2．
【解析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)先根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值和有理数的乘方进行计算，再算乘法，最后算加减即可．
本题考查了解一元二次方程，零指数幂，实数的混合运算和特殊角的三角函数值等知识点，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(1)的关键，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(2)的关键．
17.【答案】解：(1)12；
(2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注：1表示男教师，2表示女教师)，
画树状图如图所示：
共有12种等可能的情况，其中2名教师来自同一所学校的有4种，
所以P(两名教师来自同一所学校)=412=13．
【解析】【分析】
本题考查列表法和画树状图法以及概率公式．
(1)根据甲、乙两校分别有一男一女，画出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
(2)根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】
(1)根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是24=12；
故答案为：12；
(2)见答案．
18.【答案】解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程：150(1+x)2=216，
解得x1=−220%(不合题意，舍去)，x2=20%．
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．
(2)二月份的销量是：150×(1+20%)=180(辆)．
所以该经销商1至3月共盈利：(2800−2300)×(150+180+216)=500×546=273000(元)．
【解析】(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x.等量关系为：1月份的销售量×(1+增长率)2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
(2)根据(1)求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
19.【答案】(−6,−3) (4,1) 25 34
【解析】解：(1)①点A关于x轴的对称点A1的坐标是(−6,−3)，点B关于y轴的对称点B1的坐标是(4,1)；
故答案为：(−6,−3)，(4,1)；
②如图1所示；
③tan∠A2B2C2=25；
故答案为：25；
(2)如图2，过A′作A′E⊥B′C′于E，延长C′B′至D，使DC′=5，连接A′D，
Rt△A′ED中，∵∠A′DE=60°，A′D=2，
∴DE=1，A′E= 3，
∴EC′=5−1=4，
Rt△A′EC′中，tan∠A′C′B′=A′EEC′= 34，
故答案为： 34．
(1)①直接得到对称点的坐标即可；
②画图；
③根据正切的定义：等于对边比邻边，即tan∠A2B2C2=25；
(2)作高线A′E，构建直角三角形，利用勾股定理求A′E和EC′的长，可得结论．
本题考查了关于原点、x轴、y轴对称，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握正切的定义是关键．
20.【答案】解：(1)依题意，得点B的坐标为(3,4)，点D的坐标为(3,2)，
将D(3,2)代入y=kx，得k=6．
∴反比例函数的解析式为y=6x；
设点E的坐标为(m,4)，将其代入y=6x，得m=32，
∴点E的坐标为(32,4)，
设直线OE的解析式为y=k1x，
将(32,4)代入得k1=83，
∴直线OE的解析式为y=83x；
(2)连接AC，如图，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
而AF=12，CF=13．
∴AC2+AF2=52+122=132=CF2，
∴∠CAF=90°，
∴S四边形OAFC=S△OAC+S△CAF
=12×3×4+12×5×12
=6+30
=36．
【解析】本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法．
(1)易得点B的坐标为(3,4)，点D的坐标为(3,2)，把D(3,2)代入y=kx，得k=6，确定反比例函数的解析式；设点E的坐标为(m,4)，将其代入y=6x，得m=32，确定点E的坐标为(32,4)，然后利用待定系数法可求出直线OE的解析式；
(2)连接AC，在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，利用勾股数易得AC=5，则有AC2+AF2=52+122=132=CF2，根据勾股定理的逆定理得到∠CAF=90°，于是四边形OAFC的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．
21.【答案】解：如右图，过点B作BE⊥AC于点E，
(1)在Rt△ABE中，AB=3m，cs12°≈0.9781，
AE=ABcs12°≈2.934m=293.4cm，
∴AC=AE−CE=293.4−60=233.4cm．
答：AC的长度约为233.4cm．
(2)h=13BE=13ABsin12°=13×300×0.2079=20.79≈20.8cm．
答：每级台阶的高度h约为20.8cm．
【解析】(1)过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE−CE，可得出答案；
(2)在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度h．
本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，并解直角三角形．
22.【答案】(1)证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD=90°，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CDE=∠ABD，
∴sin∠CDE=sin∠ABD=513，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB=513，
设AD=5x，则AB=13x，
∴BD= AB2−AD2=12x，
∴12x=12，解得x=1，
∴AB=13，
∴圆O的半径为132；
连结OC，如图，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABD，
在Rt△ACO中，∵sin∠ACO=OAAC=513，
∴AC=135×132=16910．
【解析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
(1)连结OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，则∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根据平角的定义得∠ODE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
(2)由于∠CDE=∠ABD，则sin∠CDE=sin∠ABD=513，在Rt△ABD中，根据正弦的定义得sin∠ABD=ADAB=513，设AD=5x，则AB=13x，由勾股定理得BD=12x，所以12x=12，解得x=1，得到AB=13，则圆O的半径为132；再连结OC，如图，由于CA=CB，OA=OB，根据等腰三角形的性质得CO⊥AB，则利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可计算出AC的长．
23.【答案】解：(1)猜想：BF=CD.理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
OB=OC∠BOF=∠CODOF=OD
∴△BOF≌△COD(SAS)，
∴BF=CD．
(2)答：(1)中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴OBOC=tan30°= 33，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴OFOD=tan30°= 33，∠DOF=90°．
∴OBOC=OFOD= 33．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵OBOC=OFOD= 33，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴BFCD= 33．
(3)如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴OBOC=tanα2，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴OFOD=tanα2，∠DOF=90°．
∴OBOC=OFOD=tanα2．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵OBOC=OFOD=tanα2，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴BFCD=tanα2．
【解析】(1)如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
(2)如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为 33；
(3)如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tanα2．
本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题(1)(2)(3)问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．
1.为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k=0B. k≥−1且k≠0C. k≥−1D. k>−1
3.在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是14，则随机摸出一个球是蓝球的概率是( )
A. 13B. 14C. 310D. 920
4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )
A. (3+x)(4−0.5x)=15B. (x+3)(4+0.5x)=15
C. (x+4)(3−0.5x)=15D. (x+1)(4−0.5x)=15
5.若反比例函数y=kx的图象经过点(−3,2)，则反比例函数y=−kx的图象在( )
A. 一、二象限B. 三、四象限C. 一、三象限D. 二、四象限
6.把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是( )
A. y=−2(x+1)2+1B. y=−2(x−1)2+1
C. y=−2(x−1)2−1D. y=−2(x+1)2−1
7.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE//BC交AC于E，则下列结论不正确的是( )
A. BC=3DE
B. BDBA=CECA
C. △ADE∽△ABC
D. S△ADE=13S△ABC
8.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为( )
A. (1, 3)
B. (−1,2)
C. (−1, 2)
D. (−1, 3)
9.如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=53，BP=45.以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF的值( )
A. 1225B. 43C. 34D. 35
10.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A. 0.5B. 1C. 3D. π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x(x−2)=3，则代数式2x2−4x−7的值为______ ．
12.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AB：DE=______．
13.直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,1)和B(4,2)两点，如图，则关于x的不等式kx+b>ax2+bx+c的解集是______ ．
14.如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为______．
15.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=513，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：x(x−2)=x−2；
(2)计算2sin30°+(π−3.14)0+|1− 2|+(−1)2017．
17.(本小题7分)
甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是______．
(2)若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
18.(本小题8分)
电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为A(−6,3)，B(−4,1)，C(−1,1)．
(1)如图1，顺次连接AB，BC，CA，得△ABC．
①点A关于x轴的对称点A1的坐标是______ ，点B关于y轴的对称点B1的坐标是______ ；
②画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
③tan∠A2C2B2= ______ ；
(2)利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为1个单位长度，且较小内角为60°，原来的格点A，B，C分别对应新网格中的格点A′，B′，C′，顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，得△A′B′C′，则tan∠A′C′B′= ______ ．
20.(本小题10分)
如图，点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,4)，OABC为长方形，反比例函数y=kx的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13．
(1)求反比例函数y=kx和直线OE的函数解析式；
(2)求四边形OAFC的面积
21.(本小题10分)
如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．
(1)求AC的长度；
(2)求每级台阶的高度h．
(参考数据：sin12°≈0.2079，cs12°≈0.9781，tan12°≈0.2126.结果都精确到0.1cm)
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．
(1)证明：DE是⊙O的切线；
(2)若BD=12，sin∠CDE=513，求圆O的半径和AC的长．
23.(本小题12分)
阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述(1)中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
(3)如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BFCD的值(用含α的式子表示出来)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】【解答】
解：当k=0时，方程化为−3x−94=0，解得x=−34；
当k≠0时，Δ=(−3)2−4k⋅(−94)≥0，解得k≥−1，
综上所述，k的取值范围为k≥−1．
故选C．
【分析】
本题主要考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．讨论：当k=0时，方程化为−3x−94=0，方程有一个实数根；当k≠0时，方程有实数根，则Δ=(−3)2−4k⋅(−94)≥0，然后求出两种情况下k的取值范围．
3.【答案】D
【解析】解：∵在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，
随机摸出一个球是绿球的概率是14，
设蓝球x个，
∴56+5+x=14，
解得：x=9，
∴随机摸出一个球是蓝球的概率是：920．
故选：D．
根据摸出一个球是绿球的概率是14，得出蓝球的个数，进而得出小球总数，即可得出随机摸出一个球是蓝球的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(3+x)(4−0.5x)=15，
故选：A．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4−0.5x)元，由题意得(x+3)(4−0.5x)=15即可．
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−3,2)，
∴k=(−3)×2=−6，
∴−k=6>0，
∴反比例函数y=−kx的图象在一三象限．
故选：C．
先求出k的值，再判断出−k的符号，根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意求出k的值是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
【解答】
解：∵函数y=−2x2的顶点为(0,0)，
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为(1,1)，
∴将函数y=−2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+1，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB=13，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE//BC，
∴BDBA=CECA，B结论正确；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE//BC，AB=3AD，
∴S△ADE=19S△ABC，D结论错误，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：作BC⊥x轴于C，如图，
∵△OAB是边长为2的等边三角形
∴OA=OB=2，AC=OC=1，∠BOA=60°，
∴A点坐标为(−2,0)，O点坐标为(0,0)，
在Rt△BOC中，BC= 22−12= 3，
∴B点坐标为(−1, 3)；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，
∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为(−1, 3)，
故选D．
作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=2，AC=OC=1，∠BOA=60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC= 3，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是作出辅助线，证明△EPM∽△PFB，难度一般．
过点E作EM⊥AB于点M，证明△EPM∽△PFB，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出tan∠PEF．
【解答】
解：过点E作EM⊥AB于点M，
∵∠EPF=90°，
∴∠FPB+∠EPM=90°，
又∵∠PEM+∠EPM=90°，
∴∠PEM=∠FPB，
又∵∠EMP=∠PBF=90°，
∴△EPM∽△PFB，
∴PFEP=BPME=BPAD=1225．
∴tan∠PEF=PFEP=1225．
故选A．
10.【答案】C
【解析】解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，又OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD，
正六边形的周长：圆的直径=6CD：2CD=3，
故选：C．
连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD=60°，得到△COD是等边三角形，得到OC=CD，根据题意计算即可．
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：∵x(x−2)=x2−2x=3，
∴2x2−4x−7
=2(x2−2x)−7
=2×3−7
=6−7
=−1，
故答案为：−1．
将整式进行变形后，整体代入进行求解．
此题考查了求代数式值的能力，关键是能准确变形后运用整体思想进行代入、计算．
12.【答案】2：3
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=(ABDE)2=49，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB//DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积=49，得到AB：DE═2：3．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
13.【答案】−1
本题主要考查了二次函数与不等式组有关知识，根据图形直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,1)和B(4,2)两点，即可得出关于x的不等式kx+b>ax2+bx+c的解集．
【解答】
解：∵直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,1)和B(4,2)两点，
∴关于x的不等式kx+b>ax2+bx+c的解集是−1
【解析】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC=12|k|=2，且反比例函数y=kx图象在第一象限，
∴k=4，
故答案为：4．
根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15.【答案】15625或10213
【解析】【分析】
本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时；如图2中，当⊙P与AB相切于点T时．
【解答】
解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ//CA′，
∴PQCA′=PB′A′B′，
∴r12=13−r13，
∴r=15625．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴A′TAC=A′BAB，
∴A′T12=1713，
∴A′T=20413，
∴r=12A′T=10213．
综上所述，⊙P的半径为15625或10213，
故答案为15625或10213．
16.【答案】解：(1)x(x−2)=x−2，
移项，得x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(x−1)=0，
x−2=0或x−1=0，
解得：x1=2，x2=1；
(2)2sin30°+(π−3.14)0+|1− 2|+(−1)2017
=2×12+1+ 2−1−1
=1+1+ 2−1−1
= 2．
【解析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)先根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值和有理数的乘方进行计算，再算乘法，最后算加减即可．
本题考查了解一元二次方程，零指数幂，实数的混合运算和特殊角的三角函数值等知识点，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(1)的关键，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(2)的关键．
17.【答案】解：(1)12；
(2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注：1表示男教师，2表示女教师)，
画树状图如图所示：
共有12种等可能的情况，其中2名教师来自同一所学校的有4种，
所以P(两名教师来自同一所学校)=412=13．
【解析】【分析】
本题考查列表法和画树状图法以及概率公式．
(1)根据甲、乙两校分别有一男一女，画出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
(2)根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】
(1)根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是24=12；
故答案为：12；
(2)见答案．
18.【答案】解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程：150(1+x)2=216，
解得x1=−220%(不合题意，舍去)，x2=20%．
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．
(2)二月份的销量是：150×(1+20%)=180(辆)．
所以该经销商1至3月共盈利：(2800−2300)×(150+180+216)=500×546=273000(元)．
【解析】(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x.等量关系为：1月份的销售量×(1+增长率)2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
(2)根据(1)求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
19.【答案】(−6,−3) (4,1) 25 34
【解析】解：(1)①点A关于x轴的对称点A1的坐标是(−6,−3)，点B关于y轴的对称点B1的坐标是(4,1)；
故答案为：(−6,−3)，(4,1)；
②如图1所示；
③tan∠A2B2C2=25；
故答案为：25；
(2)如图2，过A′作A′E⊥B′C′于E，延长C′B′至D，使DC′=5，连接A′D，
Rt△A′ED中，∵∠A′DE=60°，A′D=2，
∴DE=1，A′E= 3，
∴EC′=5−1=4，
Rt△A′EC′中，tan∠A′C′B′=A′EEC′= 34，
故答案为： 34．
(1)①直接得到对称点的坐标即可；
②画图；
③根据正切的定义：等于对边比邻边，即tan∠A2B2C2=25；
(2)作高线A′E，构建直角三角形，利用勾股定理求A′E和EC′的长，可得结论．
本题考查了关于原点、x轴、y轴对称，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握正切的定义是关键．
20.【答案】解：(1)依题意，得点B的坐标为(3,4)，点D的坐标为(3,2)，
将D(3,2)代入y=kx，得k=6．
∴反比例函数的解析式为y=6x；
设点E的坐标为(m,4)，将其代入y=6x，得m=32，
∴点E的坐标为(32,4)，
设直线OE的解析式为y=k1x，
将(32,4)代入得k1=83，
∴直线OE的解析式为y=83x；
(2)连接AC，如图，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
而AF=12，CF=13．
∴AC2+AF2=52+122=132=CF2，
∴∠CAF=90°，
∴S四边形OAFC=S△OAC+S△CAF
=12×3×4+12×5×12
=6+30
=36．
【解析】本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法．
(1)易得点B的坐标为(3,4)，点D的坐标为(3,2)，把D(3,2)代入y=kx，得k=6，确定反比例函数的解析式；设点E的坐标为(m,4)，将其代入y=6x，得m=32，确定点E的坐标为(32,4)，然后利用待定系数法可求出直线OE的解析式；
(2)连接AC，在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，利用勾股数易得AC=5，则有AC2+AF2=52+122=132=CF2，根据勾股定理的逆定理得到∠CAF=90°，于是四边形OAFC的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．
21.【答案】解：如右图，过点B作BE⊥AC于点E，
(1)在Rt△ABE中，AB=3m，cs12°≈0.9781，
AE=ABcs12°≈2.934m=293.4cm，
∴AC=AE−CE=293.4−60=233.4cm．
答：AC的长度约为233.4cm．
(2)h=13BE=13ABsin12°=13×300×0.2079=20.79≈20.8cm．
答：每级台阶的高度h约为20.8cm．
【解析】(1)过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE−CE，可得出答案；
(2)在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度h．
本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，并解直角三角形．
22.【答案】(1)证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD=90°，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CDE=∠ABD，
∴sin∠CDE=sin∠ABD=513，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB=513，
设AD=5x，则AB=13x，
∴BD= AB2−AD2=12x，
∴12x=12，解得x=1，
∴AB=13，
∴圆O的半径为132；
连结OC，如图，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABD，
在Rt△ACO中，∵sin∠ACO=OAAC=513，
∴AC=135×132=16910．
【解析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
(1)连结OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，则∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根据平角的定义得∠ODE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
(2)由于∠CDE=∠ABD，则sin∠CDE=sin∠ABD=513，在Rt△ABD中，根据正弦的定义得sin∠ABD=ADAB=513，设AD=5x，则AB=13x，由勾股定理得BD=12x，所以12x=12，解得x=1，得到AB=13，则圆O的半径为132；再连结OC，如图，由于CA=CB，OA=OB，根据等腰三角形的性质得CO⊥AB，则利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可计算出AC的长．
23.【答案】解：(1)猜想：BF=CD.理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
OB=OC∠BOF=∠CODOF=OD
∴△BOF≌△COD(SAS)，
∴BF=CD．
(2)答：(1)中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴OBOC=tan30°= 33，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴OFOD=tan30°= 33，∠DOF=90°．
∴OBOC=OFOD= 33．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵OBOC=OFOD= 33，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴BFCD= 33．
(3)如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴OBOC=tanα2，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴OFOD=tanα2，∠DOF=90°．
∴OBOC=OFOD=tanα2．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵OBOC=OFOD=tanα2，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴BFCD=tanα2．
【解析】(1)如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
(2)如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为 33；
(3)如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tanα2．
本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题(1)(2)(3)问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．
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