2023-2024学年辽宁省阜新市细河区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省阜新市细河区九年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0有两个不相等的实数根，则( )
A. a<−1B. a≤−1C. a>−1D. a≥−1
3.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同)，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为( )
A. 8B. 14C. 17D. 20
4.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是( )
A. ①②③④B. ④①③②C. ④②③①D. ④③②①
5.已知△ABC的三边长分别为1， 2， 5，△DEF的三边长分别 3， 6， 15，则△ABC与△DEF( )
A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 无法判定是否相似
6.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−1)2=9
7.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E点，csA=35，则tan∠DBE等于( )
A. 12
B. 2
C. 52
D. 55
8.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为( )
A. x2+(x−4)2=10(x−4)+x−4B. x2+(x+4)2=10x+x−4−4
C. x2+(x+4)2=10(x+4)+x−4D. x2+(x+4)2=10x+(x−4)−4
9.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1，则CD的长为( )
A. 2−1B. 5−1C. 2+1D. 5+1
10.如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是( )
A. 0.1hB. 0.35hC. 0.45hD. 0.5h
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1)，B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1______y2(填“>”“=”或“<”)．
12.一天某时刻，太阳光与地面成30°的角，一棵小树在地面上的投影为9米，则这棵小树高______ 米.
13.我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解，对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式x2−5x+6>0的解集是______ ．
14.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，tanA= 3，则k的值为______ ．
15.如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则BHCF= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
画出如图所示组合体的三视图．
17.(本小题10分)
(1)解方程：x2−3x+1=0．
(2)计算： 2sin45°+2cs60°−3tan230°．
18.(本小题8分)
现有四张正面分别标有数−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀，并随机抽取一张．
(1)抽到偶数的概率为______；
(2)若将卡片背面朝上洗匀，第一次抽取的卡片不放回，再随机抽取一张，前后两次抽取的数分别记为m，n请用列表或画树状图的方法求点Q(m,n)在第二象限的概率．
19.(本小题8分)
如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD=∠CAE=∠EDC．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若AD=4，AB=6，BC=8，求DE的长．
20.(本小题8分)
如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为22米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米．
(1)若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB；
(2)能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
21.(本小题9分)
如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁.(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414，sin75°≈0.966，cs75°≈0.259.)
(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
22.(本小题12分)
定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

【尝试初探】：
(1)点C(2,3) ______ “美好点”(填“是”或“不是”)；
【深入探究】：
(2)①若“美好点”E(m,6)(m>0)在双曲线y=kx(k≠0，且k为常数)上，则k= ______ ；
②在①的条件下，F(2,n)在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】：
(3)我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x,y)是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2−x)⋅(y−2)是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
23.(本小题12分)
问题情境：
如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图2，若DA=DE，请猜想线段CF与E′F的数量关系并加以证明；(提示：作DH⊥AE于E)
(3)在解决(2)问时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决下面问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD=6，CD=4，连接AC，BD，当tan∠CAB=12时，请直接写出BD的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的左侧有一条纵向的实线，右侧有一条纵向的虚线．
故选：A．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×(−a)>0，
解得a>−1．
故选：C．
利用根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×(−a)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用黑球的个数除以摸到黑球频率得出球的总个数，继而得出答案．
【解答】
解：由题意知，袋中球的总个数约为3÷(1−0.85)=20(个)，
所以袋中红球的个数约为20−3=17(个)，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．
然后依次为西−西北−北−东北−东，
故分析可得：先后顺序为④①③②．
故选：B．
北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
5.【答案】A
【解析】解：因为1 3= 2 6= 5 15= 33，
所以△ABC与△DEF一定相似．
故选：A．
求出三组对应边的比，看看是否相等即可作出判断．
本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：相似三角形的判定定理之一是：有三组对应边的比相等的两个三角形相似．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键．
首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．
【解答】
解：x2−2x−5=0，
x2−2x=5，
x2−2x+1=5+1，
∴(x−1)2=6．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴csA=AEAD=35，
设AE=3k，则AD=AB=5k，
∴BE=AB−AE=2k，DE= AD2−AE2= (5k)2−(3k)2=4k，
∴tan∠DBE=DEBE=4K2K=2，
故选：B．
由锐角三角函数定义得AEAD=35，设AE=3k，则AD=AB=5k，则BE=2k，再由勾股定理得DE=4k，然后由锐角三角函数定义即可求解．
本题考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10(x+4)
这两个数的平方和为：x2+(x+4)2，
∵两数相差4，
∴x2+(x+4)2=x+10(x+4)−4．
故选：C．
根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10(x+4)+x，这两个数的平方和为：x2+(x+4)2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
9.【答案】C
【解析】解：设HG=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADH=90°，AD=BC=1，
由折叠得：∠A=∠DHE=90°，AD=DH=1，BC=CG=1，
∴四边形ADHE是矩形，
∵AD=DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴AD=HE=1，
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴GHAD=HEDC，
∴x1=11+x+1，
解得：x= 2−1或x=− 2−1，
经检验：x= 2−1或x=− 2−1都是原方程的根，
∵GH>0，
∴GH= 2−1，
∴DC=2+x= 2+1，
故选：C．
设HG=x，根据矩形的性质可得∠A=∠ADH=90°，AD=BC=1，再根据折叠的性质可得：∠A=∠DHE=90°，AD=DH=1，BC=CG=1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得AD=HE=1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程−公式法，矩形的性质，翻折变换(折叠问题)，正方形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可设v=kt，
将(0.3,80)代入得，k=0.3×80=24，
∴v=24t．
当v=120时，t=24120=0.2，
当v=60时，t=2460=0.4，
∴通过该限速区间AB段的时间不超过0.4h，不低于0.2h，综观各选项，只有B符合题意．
故选：B．
先利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)的函数解析式，再将v=120，v=60分别代入求出对应的t值，进而求解即可．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
11.【答案】>
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)的图象在一、三象限，
∵5>2>0，
∴点A(2,y1)，B(5,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
12.【答案】3 3
【解析】解：如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=9m，
∴AB=BC⋅tan∠ACB=3 3m，
∴这棵小树的高度为3 3米，
故答案为：3 3．
大树本身和太阳光、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为30°.由此可以根据正切函数求出这棵大树的高度．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】x>3或x<2
【解析】解：x2−5x+6>0可化为(x−2)(x−3)>0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①x−2>0x−3>0或②x−2<0x−3<0，
解不等式组①，得：x>3，
解不等式组②，得x<2，
故一元二次不等式2x2−5x+6<0的解集为x>3或x<2．
故答案为：x>3或x<2．
根据“两数相乘，同号得正”列出不等式组，再分别求解可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】−6
【解析】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，则∠BDO=∠ACO=90°，∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴S△OBDS△AOC=(OBOA)2=(tanA)2=3，
又∵S△AOC=12×2=1，
∴S△OBD=3，
∴k=−6．
故答案为−6．
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
15.【答案】 22
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ADC=∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°=∠ADE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴AE=AF，
∵H点EF的中点，
∴AH⊥EF，
∴∠AHG=∠EBG=90°，
∵∠AGH=∠EGB，∠AHG=∠EBG=90°，
∴△AGH∽△EGB，
∴AGEG=GHGB，
∵∠AGE=∠HGB，
∴△AGE∽△HGB，
∴∠AEG=∠HBG，
∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=45°，
∴∠HBG=45°，
∴∠CBH=45°，
过H作HK⊥BC于点K，
∴HK//CF，
∵H是EF的中点，
∴HK是△CEF的中位线，
∴CF=2HK，
∵∠HBK=45°，
∴BH= 2HK，
∴BHCF= 22．
故答案为： 22．
证明△ABE≌ADF，可得AE=AF，根据等腰三角形的三线合一性质得∠AHG=90°，最后根据三角形的内角和定理可得∠BEH与∠BAH的关系，证明△AGH∽△EGB，得对应边成比例，再证△AGE∽△HGB，得∠ABH=45°，过H作HK⊥BC于点K，由三角形的中位线定理得CF=2HK，由等腰直角三角形得BH= 2HK，进而便可求得结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的中位定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是证明三角形全等与相似．
16.【答案】解：三视图如图所示：

【解析】根据三视图的定义画出图形即可．
本题考查作图−三视图，解题的关键是掌握三视图的定义，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)x2−3x+1=0，
∵a=1，b=−3，c=1，
∴Δ=(−3)2−4×1×1=5>0，
∴x=3± 52，
∴x1=3+ 52，x2=3− 52；
(2)原式= 2× 22+2×12−3×13
=1+1−1
=1．
【解析】(1)利用公式法解方程即可；
(2)根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算方法是解题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：(1)抽到偶数的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如图所示：
由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中Q(m,n)位于第二象限(记为事件A)的情况有3种，
∴P(A)=312=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中Q(m,n)位于第二象限(记为事件A)的情况有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及点的坐标．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE++∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠BAD=∠EDC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
(2)解：由(1)得：△ABC∽△ADE，
∴ABAD=BCDE，
∵AD=4，AB=6，BC=8，
∴64=8DE
∴DE=163．
【解析】(1)根据∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，根据三角形的外角定理得出∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，则∠ADE=∠B，即可求证△ABC∽△ADE；
(2)根据相似三角形对应边成比例，得出ABAD=BCDE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵花圃的宽AB为x米，
∴花圃的长AD为(34+2−3x)米．
依题意得：x(34+2−3x)=96，
解得：x1=4，x2=8．
当x=4时，34+2−3x=24>22，不合题意，舍去；
当x=8时，34+2−3x=12<22，符合题意．
答：此时宽AB为4米；
(2)不能围成面积为120平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x(34+2−3x)=120，
整理得：x2−12x+40=0，
∵Δ=(−12)2−4×1×40=−16<0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为120平方米的花圃．
【解析】(1)由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为(34+2−3x)米，根据花圃面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度为22米，即可得出结论；
(2)不能围成面积为120平方米的花圃，根据花圃面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−48<0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
21.【答案】解：(1)如果渔船继续向东航行，有触礁危险，
理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D，

由题意得：∠CAD=45°，∠CBD=90°−30°=60°，AB=30×2060=10(海里)，
设BD=x海里，
∴AD=AB+BD=(10+x)海里，
在Rt△BDC中，CD=BD⋅tan60°= 3x(海里)，
在Rt△ACD中，CD=AD⋅tan45°=(10+x)海里，
∴ 3x=10+x，
解得：x=5 3+5，
∴CD= 3x=15+5 3≈23.66(海里)，
∵23.66海里<25海里，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险，
理由：过点C作CE⊥BF，垂足为F，

由题意得：∠ABE=∠CBD+15°=75°，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BD=(5 3+5)海里，
∴BC=BDcs60∘=5 3+512=(10 3+10)海里，
在Rt△CBE中，CE=BC⋅sin75°≈(10 3+10)×0.966=26.39112(海里)，
∵26.39112海里>25海里，
∴如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险．
【解析】(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=10海里，然后设BD=x海里，则AD=(10+x)海里，从而分别在Rt△BDC和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)过点C作CE⊥BF，垂足为F，根据题意可得：∠ABE=75°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】不是 18
【解析】解：(1)∵(2+3)×2=10≠2×3=6，
∴点C(2,3)不是“美好点”，
故答案为：不是；
(2)①∵E(m,6)(m>0)是“美好点”，
∴2×(m+6)=6m，
解得：m=3，
∴E(3,6)，
将E(3,6)代入双曲线y=kx，
得k=18，
故答案为：18；
②∵k=18，
∴双曲线的解析式是：y=18x．
∵F(2,n)在双曲线y=kx上，
∴n=182=9，
∴F(2,9)，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，代入得：
2a+b=93a+b=6，
解得：a=−3b=15，
∴直线EF的解析式为：y=−3x+15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y=0时，−3x+15=0，
解得：x=5，
∴G(5,0)，
画出图如图2所示：
∴S△EOF=S△FOG−S△EOG=12×5×9−12×5×6=152；
(3)①∵点P(x,y)是第一象限内的“美好点”，
∴2(x+y)=xy，
化简得：y=2xx−2=4x−2+2，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴x>02xx−2>0x−2≠0，
解得：x>2，
∴y关于x的函数表达式为：y=4x−2+2(x>2)；
②“对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2−x)⋅(y−2)为定值．”理由如下：
∵y=4x−2+2，
∴(2−x)(y−2)=(2−x)(4x−2+2−2)=−4，
∴对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2−x)⋅(y−2)是为定值，定值为−4．
(1)验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
(2)①根据E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
②根据“F(2,n)在双曲线y=kx上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S△EOF=S△FOG−S△EOG求S△EOF即可；
(3)①根据点P(x,y)是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；
②将①中的关系式代入(2−x)⋅(y−2)得出定值，从而得解．
本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形BE′FE是正方形．理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，
∵∠BEF=90°，
∴四边形BE′FE是矩形，
∵BE=BE′，
∴四边形BE′FE是正方形；
(2)CF=E′F；理由如下：
如图2，过点D作DH⊥AE于点H，

∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AH=12AH，∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE=12AE．
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CE′．
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE=E′F，
∴E′F=CE′，
∴CF=FE′；
(3)如图3，过点D作DN⊥AD，使DN=12AD，连接AN，CN，

∴∠ADN=∠ABC=90°，DN=3，
∴AN=3 5，
∵tan∠CAB=CBAB=12=DNAD，
∴△ADN∽△ABC，
∴BDCN=ADAN=63 5，
∴BD=2 55CN，
∵CN≤CD+DN=7，
∴CN的最小值为7，
∴BD的最小值为14 55．
【解析】(1)根据旋转性质得到∠E′=∠AEB=90°，∠EBE′=90°，再由题意可得∠FEB=90°，BE′=BE，即可得四边形BE′FE是正方形；
(2)过点D作DH⊥AE于点H，可证明△AEB≌△DHA，则有AH=BE，根据正方形的性质即可解决；
(3)过点D作DN⊥AD，使DN=12AD，连接AN，CN，可得△ADN∽△ABC，进而可得ADAN=ABAC=BDCN，则BD=2 55CN，求出CN的最小值即可得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明△AEB≌△DHA是关键．