北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.24 特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.24 特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
【知识点一】菱形折叠问题
1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
2．如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
3．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【知识点二】矩形将折叠问题
5．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为( )
A．28°B．31°C．62°D．56°
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）
A．B．C．3D．4
7．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（ ）
A．（0，4）B．（0，5）
C．（0，3）D．（0，2）
8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
【知识点三】正方形折叠问题
9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，，将沿AE折叠，使点B落在AC上点F处，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．D．
11．把一个面积为4的正方形，通过沿虚线折叠得到一个新正方形，它的边长是（ ）
A．2B．C．1D．1.414
12．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝21°，则∠B'CD'的度数为（ ）
A．35°B．42°C．45°D．48°
二、填空题
【知识点一】菱形折叠问题
13．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________．
14．如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．
15．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为_____．
16．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为_________．
【知识点二】矩形将折叠问题
17．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__．
18．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则AD=________．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是__．
20．矩形ABCD中，AB=5，AD=3，P为CD上一点，将△ADP沿AP所在的直线折叠，得到△AEP，当B、E、P三点共线时，tan∠DAP=_______
【知识点三】正方形折叠问题
21．如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．
22．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．
23．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．
24．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为______．
三、解答题
25．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE=CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．
(1)求证：PH=PB；
(2)若∠PEA=45°，求AE的长度．
27．【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容．
如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么?
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上．
求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空)
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，
∵折叠，∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是矩形( )
∵折叠，∴AB＝( )，
∴四边形ABEF是正方形( )
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上．
①求证：四边形ABEF是菱形．
②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积．
28．如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．
(1)求证：CE＝BF；
(2)若AB＝4，求GF的值．
参考答案
1．A
【分析】
将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．
解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答．
2．D
【分析】
根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．
解：∵四边形AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，
由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，
又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，
又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，
∴EB=2，EC=4，
∴Rt△BCE中，，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．
3．A
【分析】
根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．
解：根据菱形的对角相等得．
，
．
根据折叠得．
，
，
．
．
故选：A．
【点拨】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．
4．A
【分析】
连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°．
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
5．D
【分析】
先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，∠ADC=90°，

∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，矩形的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用轴对称的性质得到相等的角是解本题的关键．
6．A
【分析】
首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B的长，再设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12-x）2=x2+82，解出x的值，可得答案．
解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD==13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13-5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，
在Rt△A′EB中：（12-x）2=x2+82，
解得：x=．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．C
【分析】
由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理可求得，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在中，由勾股定理即可求得OD=3，继而求得点D的坐标.
解：∵点B的坐标为（10，8），
∴AO=BC=10，AB=OC=8，
由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，
在中，由勾股定理得：，
∴OE=AO-AE=10-6=4，
设OD=x，则DE=CD=8-x，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴OD=3，
∴点D的坐标是（0，3）.
故选：C.
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
8．B
【分析】
由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠ABC=90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，而∠DMN=30°，即知∠AME=60°，∠AEM=30°，即∠EMB+∠EBM=30°，可得∠EMB=∠EBM=15°，故∠AMB=∠AME+∠EMB=75°．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，
∴∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，
∵∠DMN=30°，
∴∠AME=180°-∠NME-∠DMN=60°，
∴∠AEM=90°-∠AME=30°，
∴∠EMB+∠EBM=30°，
∵ME=BE，
∴∠EMB=∠EBM=15°，
∴∠AMB=∠AME+∠EMB=75°，
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．
9．D
【分析】
先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF=BF， 进而求出AB的长.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°
∴EF= 2，AF=，
∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，
EF= BF，
BF= 2，
∴AB= AF+ BF=2+，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF，此题难度不大．
10．C
【分析】
由正方形的性质得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，证出△CEF是等腰直角三角形，则CE＝FE＝，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，
∴∠CFE＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝FE＝，
∴BC＝BE＋CE＝1＋，
∴AB＝BC＝1＋；
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键．
11．B
【分析】
由原正方形的面积是 4，可求得原正方形的边长为2，由勾股定理可出新正方形边长．
解：∵原正方形的面积是 4，
∴原正方形的边长==2，
∴由折叠可得四角是等腰直角三角形，其腰长为1，
由勾股定理得：新正方形边长=,
故选：B．
【点拨】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，掌握运用勾股定理是解题的关键．
12．D
【分析】
可以设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可得∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，进而可求解．
解：设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，
根据折叠可知：
∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，
∵∠ECF＝21°，
∴∠D'CE＝21°＋β，∠B'CF＝21°＋α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D'CE+∠ECF+∠B'CF＝90°
∴21°＋β＋21°＋21°＋α＝90°，
∴α＋β＝27°，
∴∠B'CD'＝∠ECB'+∠ECF+∠FCD'＝α+21°+β=21°+27°=48°
则∠B'CD'的度数为48°．
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形与折叠问题，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．
13．75°
【分析】
连接，先证明为等边三角形，然后根据三线合一定理得到即可得到，则，再根据三角形内角和定理求解即可．
解：连接，
∵四边形为菱形，
∴AD=AB，，AB∥CD，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴为的平分线，即，
∴，
由折叠的性质得到，
在中，．
故答案为：75°．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．
【分析】
根据菱形的性质得到AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠ADB=∠CBF=∠ABD，再根据折叠的性质得到∠BFC=∠BCF，由三角形内角和与外角的性质得到结果．
解：∵四边形是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBF=∠ABD，
∵是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，
∴BA=BF，∠A=∠BFE，
∴BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF，
∵，
∴∠BFC=∠BCF =70°，
∴∠ADB=∠CBF=40°，
∵∠A=180°-2∠ADB=180°-80°=100°，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键．
15．
【分析】
根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用∠ECO＝∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
∴2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积＝AE•BC＝．
故答案为．
【点拨】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
16．12
【分析】
由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD，可得∠ECD'＝90°，由折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，由勾股定理可求CD'的长，AC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD
∴∠BAC＝∠ACD＝90°
∴∠ECD'＝90°
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，
∴D'E＝DE＝5，AD＝AD'
∴CD'＝＝3
∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC
∵BC2＝AB2＋AC2，
∴（AC＋3）2＝81＋AC2，
∴AC＝12
故答案为：12．
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD'的长是本题的关键．
17．4+4
【分析】
根据折叠的性质可得，分别求出，，求出，即可得出．
解：如图：过点作于点，
是等腰直角三角形，，
，即，
，
折叠，
，，
纸片为矩形，
折叠后，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出是解题的关键.
18．##
【分析】
证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF=DB′，再证明DB′=EC=BF=1，想办法求出AB′，可得结论．
解：由翻折的性质可知，EB=EB′，∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF=DB′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′=EC=1，
∴BF=EC=1，
由翻折的性质可知，BF=FG=1，∠FAG=45°，∠EGF=∠B=∠AGF=90°，
∴AG=FG=1，
∴AF=．
∴AB=AB′=1+，
∴AD=AB′+DB′=2+，
故答案为：2+．
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．2
【分析】
如图，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG＝AE﹣EG即可解决问题．
解：如图，依题意：点G在以点E为圆心，长为半径的圆上运动，当A、G、E共线时，AG最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4，
∴AE＝＝＝5．
此时AG＝AE﹣EG＝5﹣3＝2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点到圆的距离，明确点和圆的位置关系是解决本题的关键．
20．
【分析】
由翻折可得AD=AE，在Rt△ABE中可求出BE，设DP=EP=，表示出BP和CP，在Rt△BCP中，通过勾股定理即可列出等式，解出方程，从而求出答案．
解：矩形ABCD中，AB=5，AD=3，
则CD=5，BC=3,
△ADP沿AP所在的直线折叠，得到△AEP，且B、E、P三点共线，
∴易证△ADP≌△AEP，
∴AE=AD，DP=EP，∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ABE中，AB=5，AE=3，
∴BE=4；
设DP=EP=，则BP=，CP=，
在Rt△BCP中，,
即，解得，
∴DP=1，
在Rt△ADP中，tan∠DAP=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查翻折问题，直角三角函数和勾股定理，找准线段之间的关系，并准确计算是解题的关键．
21．
【分析】
连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．
解：如图，连接CC′，
由折叠的性质知，折痕为EF是BC的垂直平分线，
∴BC′=CC′，
又由折叠的性质知，BC= BC′，∠HBC=∠HBC′，
∴BC′=CC′=BC，
∴△BCC′是等边三角形，
∴∠C′BC=60°，
∴∠HBC=∠HBC′=30°，
在Rt△HBC中，∠HBC=30°，CH=1cm，
∴HB=2cm，
∴BC=（cm），
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
22．45°##45度
【分析】
首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝ ∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
根据折叠可得∠1＝∠2＝∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EBF＝45°，
故答案为：45°．
【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．
23．##
【分析】
根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积．
解：折叠，
，，
，
∵四边形是正方形
∴
中
．
．
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
24．15°
【分析】
由翻折的性质AH＝AB，MN垂直平分AD，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故此△ADH为等边三角形，由△ADH为等边三角形可知∠HAB＝30°，在△ABH中可求得∠ABH＝75°，故此可求得∠HBC＝15°．
解：∵MN垂直平分AD，
∴DH＝AH．
由翻折的性质可知：AH＝AB．
∵正方形ABCD中，
∴AH＝AD＝DH．
∴△ADH是一个等边三角形．
∴∠DAH＝60°．
∴∠HAB＝30°．
∵AB＝AH，
∴∠ABH＝×（180°−30°）＝75°．
∴∠HBC＝∠ABC−∠ABH＝90°−75°＝15°．
故答案是：15°．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，正方形的性质，证得△ADH是一个等边三角形是解题的关键．
25．①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见分析．
【分析】
（1）根据折叠的性质可得BE＝ AB，从而得到BE＝ BN，即可求解；
（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；
（3）由②得∠ABM＝30°，从而得到△BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．
解：①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【点拨】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
26．(1)见分析(2)AE的长度为．
【分析】
（1）根据∠PEF=∠PFE，证明PE=PF，再根据折叠的性质ED=EH，DE=BF，进一步计算即可证明PH=PB；
（2）先证明△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，设AE=CF=x，则EQ=x，PQ=(5-x) ，利用PE=PF代出方程求解即可．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠PFE，
由翻折变换可知，∠DEF=∠PEF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；
∵AD=BC，AE=FC，
∴ED=BF．
由折叠性质得ED=EH，
∴BF=EH，
∴PE-EH=PF-BF，
∴PH=PB；
(2)解：设PE交AB于点Q，
设AE=CF=x，则DE=BF=8-x，
∵∠PEA=45°，∠A=∠ABC=∠ABP=90°，
∴∠AEQ=∠AQE=∠PBQ=∠QPB=45°，
∴△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，
∴BQ=PB=5-x，
由勾股定理得：EQ=x，PQ=(5-x) ，
∵PE=PF，
∴PQ+EQ=PB+BF，即(5-x)+x=5-x+8-x，
解得：x=．
∴AE的长度为．
【点拨】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27．(1)有三个角是直角的四边形是矩形；AF；一组邻边相等的矩形是正方形．
(2)①证明见详解；②菱形ABEF的面积为25
【分析】
（1）由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论；
（2）①由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论；
②由菱形面积公式得S菱形ABEF=AE•BF，即可得出答案．
(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是矩形 （有三个角是直角的四边形为矩形），
由折叠的性质得：AB=AF，
∴四边形ABEF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），
故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；AF；有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF=AB，
∴平行四边形ABEF是菱形；
②解：如图，
∵四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10，
∴S菱形ABEF=AE•BF=×5×10=25，
故菱形ABEF的面积为25．
【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
28．(1)见分析(2)GF的值为．
【分析】
（1）先判断出AF=BE，进而得出△FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论；
（2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG≌Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°，
∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，
∵AF=BE，
∴△FAB≌△EBC（SAS），
∴CE=BF；
(2)解：如图，连接BG，
由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°，
∵AB=BC，
∴BC=BQ，
∵BG=BG，
∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL），
∴QG=GC，
∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点，
设QG=b，
则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b，
在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，
∴，
∴b=，即QG=，
∴GF=FQ+QG=2+=．
∴GF的值为．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键．