北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.26 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）

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1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
3. 掌握三角形中位线定理.
【要点梳理】
要点一、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、菱形
1．如图，在中，点，分别为，的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)当，时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】(1)证明见分析；(2)四边形是菱形，理由见分析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定解答即可．
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明是等边三角形，得，从而可得结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD//BC，
又点，分别为，的中点，
，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC=∠AEC，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
(2)解：四边形是菱形
四边形ABCD为平行四边形，
，AD//BC，
，
AE//CF，，
四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判断方法．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且．请判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
【答案】四边形BEDF是菱形，理由见分析
【分析】根据菱形的性质及，得到四边形BEDF是平行四边形，结合即可确定．
解：四边形BEDF是菱形．
理由如下：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【点拨】本题考查菱形的性质与判定，涉及到平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键．
【变式2】如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见分析 (2)120
【分析】
（1）先证△ABE≌△CBF（AAS），即有AB＝CB，则有平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质有AC⊥BD，BO＝BD＝5，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12，则菱形的面积可求．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC×BD＝120．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
类型二、矩形
2．图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，过点D作于点E．
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线BF，垂足为F点．（保留作图痕迹不写作法）
(2)在（1）的条件下，已知，求BF的长．
【答案】(1)见分析； (2)
【分析】
（1）根据垂线的作法即可过点B作AC的垂线BF，垂足为F点；
（2）先证明△AED≌△CFB，得到AE=CF，再求出OB与OF的长，最后由勾股定理求得BF的长．
解：(1)如图，BF即为所求；
(2)如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，
∴OA=OC=OB=OD，∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF，
∵，
∴AE=2，OE=OF=1，AC=6，
∴OB=OC=3，
∴．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【变式1】如图所示，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见分析 (2)2
【分析】
（1）四边形ABCD是矩形，得ABCD，由平行线的性质得∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，又因为AE=CF，所以由AAS判定定理即可得结论；
（2）过点F作FG⊥AB于G，先由AE=CF，AE：EB=1：2，BE=BF，求得BF=2CF，在Rt△BCF中，由勾股定理，求得CF=1，所以BE=BF=2，再证四边形BCFG是矩形，得FG=BC=，BG=CF=1，在Rt△EGF中，由勾股定理求解即可．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ABCD，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵AE=CF，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OE=OF；
(2)解：如图，过点F作FG⊥AB于G，
∵AE=CF，AE：EB=1：2，
∴CF：EB=1：2，
∵BE=BF，
∴CF：BF=1：2，即BF=2CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF=∠ABC=90°，
在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF2=BC2+CF2，
∴（2CF）2=（）2+CF2，
∴CF=1，
∴BF=2CF=2，
∴BE=BF=2，
∵FG⊥AB，
∴∠BGF=90°，
∴四边形BCFG是矩形，
∴FG=BC=，BG=CF=1，
∴EG=BE-BG=1，
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF==2
答：的长为2．
【点拨】本题考查矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，EH，EF，FG ，GH别为折痕， 其中点A，B落在点J处，点C，D落在点K处，且点H，J，K，F在同一直线上．
（1）四边形EFGH 的形状为____________．
（2）若，JK＝，则AB＝__________．
【答案】 矩形； .
【分析】
（1）由题意，由折叠的性质得到，，则得到，同理可求，即可得到结论成立；
（2）设，，则求出，得到AH和DH的长度，然后证明，从而求出HF的长度，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，求出FI的长度，再利用勾股定理，即可求出答案．
解：（1）根据题意，由折叠的性质，
，，
∴，
即，
同理可求：，，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：矩形；
（2）∵，
设，，
由折叠的性质，则AH=HJ，HD=HK，
∵，
∴，解得：，
∴，；
由（1）可知，四边形EFGH是矩形，
∴EF=HG，EF∥HG，
∴∠EFJ=∠GHK，
∵∠EJF=∠GKH=90°，
∴△EFJ≌△GHK，
∴FJ=HK，
∵HD=HK，FB=FJ，
∴HD=HK=FB=FJ=；
∴，
如图，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，
∴，
在直角中，由勾股定理则
；
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意．
类型三、正方形
3．如图，正方形中，M是其内一点，，将绕点B顺时针旋转至，连接、、，延长交与点E，交与点G．
(1)在图中找到与相等的线段，并证明．
(2)求证：E是线段的中点．
【答案】(1)，证明见分析(2)证明见分析
【分析】
（1）根据旋转的性质得出BM=BN，∠MBN=，再根据同角的余角相等可得∠ABM=∠CBN，进而得出，．
（2）作辅助线，过A作AP⊥BG，证明和，可得E为AN中点．
解：(1)，理由如下：
证明：∵BM绕B顺时针旋转得BN
∴BM=BN，∠MBN=
∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠ABC==∠ABM+∠MBC
∵∠MBN==∠MBC+∠CBN
∴∠ABM=∠CBN
∴在中

∴（SAS）
∴AM=CN．
(2)证明：如图，过A作AP⊥BG
∴∠APB==∠CMB
∵∠CBM+∠ABM==∠ABM+∠PAB
∴∠CBM=∠PAB
∴在中
∵
∴（AAS）
∴AP=BM
由（1）知，BM=BN，∠MBN=
∴AP=BN，∠APE=∠EBN=
∵∠PEA=∠BEN
∴（AAS）
∴AE=EN
∴E为AN中点．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
(1)证明：△ADE≌△CBF．
(2)若AB＝，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）由正方形对角线性质可得∠DAE=∠BCF=45°，再由SAS可证△ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD=AC=8，DO=BO=4．再证明四边形BEDF为菱形，因为AE=CF=2，所以可得OE=2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE的长，进而四边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案．
解：(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
(2)∵AB＝AD＝，
∴，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴，
∴4DE＝，
故四边形BEDF的周长为．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．
(1)求证：；
(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
【答案】(1)见分析(2)①见分析；②
【分析】
（1）根据正方形的性质可得依据SAS证明即可得出结论；
（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接EG，证明,得GE=BE,，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠
在△和△中，
∴△
∴
(2)①补全图形如下：
②连接GE，如图，
∵
∴∠
∴∠
∴，，
又
∴△
∴
∴，
由（1）知：△，
∴∠
∴∠即∠，
∴∠
由勾股定理得，，
∴，
∴
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
类型四、特殊平行四边形综合
4．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接.
(1)填空：菱形的边长_________；
(2)求直线的解析式；
(3)动点从点出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，
①当时，求与之间的函数关系式；
②在点运动过程中，当，请直接写出的值.
【答案】(1)5(2)(3)①；②或
【分析】
（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）①根据S△ABC=S△AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．
解：(1)点的坐标为，
在Rt△AOH中
，
故答案为：5；
(2)∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，
得，
解得，
直线AC的解析式为，
(3)由，令，，则，则，
①当0