北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.23 特殊平行四边形“将军饮马”专题（培优篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.23 特殊平行四边形“将军饮马”专题（培优篇）（专项练习），共46页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
【知识点一】菱形将军饮马问题
1．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ）
A．2B．4C．2D．4
2．如图，AC是菱形ABCD的对角线，．点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
3．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．5B．10C．6D．8
4．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【知识点二】矩形将军饮马问题
5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
6．如图，矩形ABCD中，，△EFG为等腰直角三角形，，点E、F分别为AB、BC边上的点（不与端点重合），．现给出以下结论：①；②点G始终在的平分线上；③点G可能在 的平分线上；④点G到边BC的距离的最大值为．其中不正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【知识点三】正方形将军饮马问题
9．如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（ ）
A．6B．C．D．
10．如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
11．如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
【知识点一】菱形将军饮马问题
13．如在菱形中，，，E为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为__________．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF﹣PE的最大值为 ___．
15．在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E为菱形内部一点，且AE=2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为_____．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为 _____．
【知识点二】矩形将军饮马问题
17．如图，在等腰中，，，点是上一点，点为射线（除点外）上一个动点，直线交射线于点，若，，的面积的最小值为________．
18．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为_______．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=8，E是AB边的中点，F是线段BC的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F，连接B´D，则B′D的最小值是_____．
【知识点三】正方形将军饮马问题
21．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是______．
22．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，E，F为边AC，BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE，AF，则BE+AF的最小值为_________．
24．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，以AE为对称轴将△ABE对折得到△AFE，再将AD与AF重合折叠，折痕与BF的延长线交于点H，BH与AE交于点G，连接DH．
（1）∠AHB的度数为______；
（2）若AB＝2，则点H到AB的距离最大值为______．
三、解答题
25．问题情境：
在数学课上，老师给出了这样一道题：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的长．
探究发现：
（1）如图2，勤奋小组经过思考后发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质可求BC的长，其解法如下：
过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则．
△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……
请你根据勤奋小组的思路，完成求解过程．
拓展延伸：
（2）如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；
（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．
26．如图，矩形ABCD中，CD=4，∠CAD=30°，一动点P从A点出发沿对角线AC方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿CD方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），过点P作PE⊥AD于点E连接EQ，PQ．
(1)求证：PE=CQ；
(2)四边形PEQC能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由
(3)当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由；
(4)若动点Q从C点出发沿CD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当t=____时，PQ+EQ有最小值．
27．(1)【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为______，面积为______（都用含的代数式表示）．
(2)【拓展·综合】如图1，若点、是某个正方形的两个对角顶点，则称、互为“正方形关联点”，这个正方形被称为、的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系中，点是原点的“正方形关联点”．若，则、的“关联正方形”的周长是______；若点在直线上，则、的“关联正方形”面积的最小值是______．
②如图2，已知点，点在直线上，正方形是、的“关联正方形”，顶点、到直线的距离分别记为和，求的最小值．
参考答案
1．B
【分析】
连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可．
解：如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴，，，
∴，，
∴四边形CDEG为平行四边形，
∴．
由轴对称的性质可知，，，
∴，
∴，即CH的长为的最小值．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．
故选B．
【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
2．D
【分析】
如图，作出辅助线，当点G，F，B共线时，有最小值，利用题目中的条件，在中，求出，的长度，即可求出的长度，即为的最小值．
解：如图，过点，过点F作，DG与FG交于点G，
则四边形DEFG是平行四边形，
∴，，
当点G，F，B共线时，有最小值．
连接BD，由菱形的性质可知，
，
∴，，，，，
又∵，
∴．
当G，F，B共线时，，
故的最小值为，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G，F，B共线时，有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键．
3．A
【分析】
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴PQ∥AD，
而点Q是AB的中点，
故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，
同理可得，PM是△ABC的中位线，
故点P是AC的中点，
即点P是菱形ABCD对角线的交点，
∵四边形ABCD是菱形，
则△BPC为直角三角形，
,
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
4．D
【分析】
根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴EC=4．
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．C
【分析】
取CD中点H，连接AH，BH，根据矩形的性质题意得出四边形AECH是平行四边形，可知，然后根据三角形中位线的性质得，得出点P在AH上，然后判断BP的最小值，再求出值即可.
解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，
∴，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为.
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P的位置是解题的关键．
6．B
【分析】
根据矩形的性质可知，又因为，由四边形内角和为360°可判定结论①；过点G作、，垂足分别为M、N，根据△EFG为等腰直角三角形，，可求出，证明，推导出，可判定结论②；由，并由结论②可判定结论③；由中，可知当点F、N重合时点G到边BC的距离的最大，从而可以判定结论④．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
又∵，四边形内角和为360°，
∴，
∵，
∴，
∴故结论①正确；
如下图，过点G作、，垂足分别为M、N，
∵△EFG为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G在的平分线上，故结论②正确；
∵，并由结论②可知，点G到边AD、DC的距离不相等，
∴点G不可能在 的平分线上，故结论③不正确；
在中，,
当点F、N重合时GN最大，
∵，
∴，
即点G到边BC的距离的最大值为，故结论④正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，解题关键是对相关知识的掌握和运用．
7．C
【分析】
如图，取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据DM≥MT-DT，可得结论．
解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．

∵AD=DB，AT=TC，
∴DT=BC=2，
∵CE⊥AF，
∴∠AMC=90°，
∴TM=AC=3，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM-DT=3-2=1，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．
8．A
【分析】
作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长，利用三角形中位线定理以及勾股定理即可求解．
解：如图，以BD为对称轴作△ABD的轴对称图形△A1BD，取A1B的中点M1，则点M和点M1关于直线BD对称，连接MN，MM1，M1N，AA1，AA1与BD交于点O，M1N与BD交于点P，
此时PM+PN最小，最小值为M1N的长，
在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，
则∠ABD=60°，∠BAO=30°，
∴BO=AB=1，
则AO==，
∴AA1=2，
∵点M，N，M1分别是AB，AD，A1B的中点，
∴MM1和MN分别是△ABA1和△ABD的中位线，且AA1⊥BD，
∴MM1//AA1， MN//BD， MM1=AA1=，MN=BD=2，MM1⊥M1N，
∴M1N=，
则PM+PN的最小值为，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长是解题的关键．
9．A
【分析】
连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出AQ的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，BQ取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可．
解：如下图所示，连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E．
∵正方形ABCD的边长为4，的半径为2，
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2．
∵点P绕点D按逆时针方向旋转90°得到点Q，
∴∠QDP=90°，QD=PD．
∴∠ADC=∠QDP．
∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP．
∴．
∴AQ=CP=2．
∴AE=AQ=2．
∵P是上任意一点，
∴点Q在上移动．
∴．
∴当点Q与点E重合时，BQ取得最大值为BE．
∴BE=AE+AB=6．
故选：A．
【点拨】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键．
10．D
【分析】
连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，
∵，∴，解得：
∴，
故选：D
【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
11．A
【分析】
连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=3即可．
解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG=AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45°，
∴∠CBF=45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，
∴DC'=3，
∴DF+CF的最小值为3，
∴此时的周长为．
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
12．B
【分析】
作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出结果．
解：作点关于的对称点，连接，，如图所示：
矩形中，，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是定值，
当、、、四点共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：B
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
13．
【分析】
连接AC，CE，则CE的长即为AP+PE的最小值，再根据菱形ABCD中，得出∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等边三角形，故△BCE是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE的长．
解：连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴CE的长即为AP+PE的最小值，
∵，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．
14．1
【分析】
取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．
解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．
则PE＝PE'，
∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，
当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，
PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴AB＝BD＝AD＝4．
∴OD＝OB＝2．
∵点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，
∴BFAB＝1，
∵∠ABD＝60°，
∴△BE'F为等边三角形，
∴E'F＝FB＝1．
故PF﹣PE的最大值为1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．
15．
【分析】
先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
解：如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和，
在菱形中，
为中点，
为中点，
，
当、、、共线时，也为1，
为中点、为中点，
，
在菱形中且，
，，
，，
，
，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
【点拨】本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
16．
【分析】
取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．根据菱形的性质，可得△ADB是等边三角形，从而得到△AEN是等边三角形，可证得△AEF≌△NEG，进而得到点G的运动轨迹是射线NG，继而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH和Rt△ECH中， 由勾股定理，即可求解．
解：如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．
∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵AE＝ED，AN＝NB，
∴AE＝AN，
∵∠A＝60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN＝∠FEG＝60°，
∴∠AEF＝∠NEG，
∵EA＝EN，EF＝EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG＝∠A＝60°，
∵∠ANE＝60°，
∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∴D，E关于射线NG对称，
∴GD＝GE，
∴GD+GC＝GE+GC≥EC，
在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，
∴BH＝BE＝，EH＝，
在Rt△ECH中，EC＝＝，
∴GD+GC≥，
∴GD+GC的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
17．6
【分析】
设点M是PD的中点，过点M作直线与射线CA、CB分别交于点，得到当点M是PD的中点时，的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．
解：
设点M是PD的中点，过点M作直线与射线CA、CB分别交于点，则点M不是的中点
当时，在上截取，连接DE
当时，同理可得
当点M是PD的中点时，的面积最小
如图，作于H
则
，
在等腰中，
过点D作交于K
四边形AKDH是矩形
故答案为：6
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．
【分析】
作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．根据直角三角形斜边上中线性质和勾股定理求出RM，RT，根据△RMT三边关系求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝2，
∴RT＝，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT−RM，
∴MT≥2，
∴MT的最小值为2，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥2，
∴QA＋QM的最小值为2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值．
19．38
【分析】
根据题目要求，要使四边形AGCD的面积最小，因为的面积固定，只需使的面积最小即可，即的高最小即可，又在中，，则BG=2，
高的最小值为点B到AC的距离减去BG的长度，则可求解．
解：依题意，在中，
为EF的中点，，
，
点G在以B为圆心，2为半径的圆与长方形重合的弧上运动，
,
要使四边形AGCD的面积最小，
则B所在直线垂直线段AC，
又，
点B到AC的距离为，
此时点G到AC的距离为，
故的最小面积为，
，
故答案为：38．
【点拨】本题考查了动点问题中四边形的最小面积问题，利用勾股定理，直角三角形中线的性质，三角形等积法求高等性质定理进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键．
20．
【分析】
如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．
解：如图：
由折叠可得：EB´＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝6，
∴AE＝EB=EB´＝3，
∴点B´在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，B′D的值最小，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠A=90º，
在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE=3，
∴DE＝，
∴B´D＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、两点之间线段最短、圆的性质的综合运用.确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解决问题的关键．
21．
【分析】
根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠DAG，从而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAG，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，，
根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
22．
【分析】
延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得．
解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，
，，
，
又，
四边形AOEH是平行四边形，
，
当点E、点G在OC上时，最小，即最小，
，
，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
23．
【分析】
如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，．想办法证明，的最小值转化为的最小值．
解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，，如图所示：
，，
，
，关于对称，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为线段的长，，
的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24． 45°##45度 ##
【分析】
（1）根据折叠的性质：折叠前后的两个图形是全等图形，对称轴垂直平分对应点的连线；即可解答；
（2）连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，过点O作OM⊥AB于点M，连接OH，HM；由HM≤OM+OH，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求得OH的长即可解答；
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，
由折叠得，AB=AF=AD，AE⊥BH，∠BAE=∠FAE，∠FAH=∠DAH，
∵∠BAE+∠FAE+∠FAH+∠DAH=∠BAD，
∴∠FAE+∠FAE+∠FAH+∠FAH=90°，
∴∠FAE＋FAH=45°，即∠GAH=45°，
∵∠AGH=90°，∴∠AHB=90-∠GAH=90°-45°=45°，
故答案为：45°；
（2）如图2，连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，过点O作OM⊥AB于点M，连接OH，HM，
∵HM≤OM+OH，∴当M，O，H三点在同一条直线上时，点H到AB的距离最大，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=2，
∴AC=BD==，
∴OM =AD=1，
将AD与AF重合折叠，折痕与BF的延长线交于点H，
∴∠AHD=∠AHF =45°，∠BHD =∠AHD+∠AHB=45°+45°=90°，
∵O是BD中点，∴OH=BD=，
∴OM+OH=，
∴HM≤，即点H到AB的距离最大值为，
故答案为：；
【点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
25．（1）过程见分析；BC=3-3；（2）四边形ADFC是菱形；证明见分析；（3）AF的最大值是6，最小值是12-6．
【分析】
（1）过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△AEB是等边三角形，再证明△HBE是等腰直角三角形，并且求得∠BDH＝30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求出EH的长和DH的长，进而求出DE的长，再由DE＝BC求得BC的长；
（2）四边形ADFC是菱形，先求出∠ACF＝∠AEF＝30°，∠ADF＝∠ABF＝30°，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，则∠CFD＝360°−∠ACF−∠ADF−∠CAD＝150°，可证明FC∥AD，FD∥AC，则四边形ADFC是平行四边形，而AD＝AC，即可证明四边形ADFC是菱形；
（3）作FK⊥AB于点K，连接AF，先证明∠KAF＝∠KFA＝45°，则AK＝FK，由∠FBK＝30°得BF＝2FK，根据勾股定理求得BK＝FK，然后再由FK＋FK＝6，求出FK的长，即可求出BF的长，再根据两点之间线段最短求出AF的最大值和最小值即可．
解：（1）如图2，过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则BC＝DE＝DH-HE．
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，
AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
∴∠BAE＝∠CAE-∠BAC＝60°，AD＝AB＝AE＝6，
∴△AEB是等边三角形．
∴BE＝AB＝6，∠AEB＝∠ABE＝60°，
∴∠C＝∠ABC＝＝75°，
∠AED＝∠ADE＝＝75°，
∴∠HBE＝∠HEB＝180°-60°-75°＝45°，
∴HE＝HB，∠H＝90°，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠BDH＝∠ADE-∠ADB＝30°，
∵BD＝＝＝6，
∴HE＝HB＝BD＝3，DH＝＝＝3，
∴BC＝DE＝DH-HE＝3-3，即BC的长为3-3．
（2）四边形ADFC是菱形．
证明：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°（如图3），
∴∠CAE＝∠BAD＝120°，∠DAE＝∠BAC＝30°，
AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
∴AE＝AC＝AB＝AD，
∴∠ACF＝AEF＝＝30°，
∠ADF＝∠ABF＝＝30°，
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，
∴∠CFD＝360°-∠ACF-∠ADF-∠CAD＝150°，
∴∠ACF＋∠CAD＝180°，∠ACE＋∠CFD＝180°，
∴FC∥AD，FD∥AC，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∵AD＝AC，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）解：如图3，作FK⊥AB于点K，连接AF，
∵四边形ADFC是菱形，
∴CF＝DF，
∵∠BCF＝∠EDF＝75°−30°＝45°，BC＝DE，
∴△BCF≌△EDF（SAS），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE＝6，AF＝AF，
∴△BAF≌△EAF（SSS），
∵∠BAE＝120°−30°＝90°，
∴∠BAF＝∠EAF＝45°，
∵∠AKF＝∠BKF＝90°，
∴∠KAF＝∠KFA＝45°，
∴AK＝FK，
∵∠FBK＝30°，
∴BF＝2FK，
∵BK＝，
∵AK＋BK＝AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
当点F在线段AB的延长线上，如图4，则AF＝AB＋BF＝，此时AF的值最大，等于；
当点F在线段AB上，如图5，则AF＝AB−BF＝，此时AF的值最小，等于．
综上所述，AF的最大值是，AF的最小值是．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、旋转的性质勾股定理、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的性质和判定是解本题的关键．
26．(1)证明见分析；(2)当t=时，四边形PEQC能够成为菱形；
(3)当t=2或时，△PQE为直角三角形；(4)2．
【分析】
（1）由矩形的性质可得∠BCA=∠CAD=30°，由直角三角形的性质可得PE=AP=t=CQ ；
（2）先证四边形PEQC是平行四边形，则当PE=PC时，平行四边形PEQC是菱形，可得等式，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式，可求解；
（4）利用勾股定理表示出QD2，ED2，即可求解．
(1)解：四边形ABDC是矩形，
DC=BA=4， BC//AD，∠D=90°，
∠BCA=∠CAD=30°，
AC=2DC=8，∠ACD=60°，
由题意可得： AP=2t， CQ=t，
PE⊥AD，∠CAD=30°，
PE=AP=t，
PE=CQ ；
(2)解：四边形PEQC能够成为菱形，理由如下：
PE⊥AD，
∠PEA=90°=∠D，
PE//CD，
又PE=CQ，
四边形PEQC是平行四边形，
当PE=PC时，平行四边形PEQC是菱形，
t=8-2t，
当t=时，四边形PEQC能够成为菱形；
(3)解：当∠EPQ=90°时，
PE // CQ，
∠PQC=∠EPQ=90°，
PQ// AD， ．
∠CPQ=∠CAD=30°，
PC=2CQ，
8- 2t=2t，
t=2，
当∠PQE=90°时，
四边形PEQC是平行四边形，
EQ // PC，
∠QPC=∠EQP=90°，
∠PQC=30°，
CQ=2PC，
t=2 ( 8-2t)，
，
当∠PEQ=90°时，此时点Q与点D重合，点P与点C重合，故不合题意，
综上所述：当t=2或时，△PQE为直角三角形．
(4)解：如图1，过点P作于点F，
由题意可知，AC=8，AP=2t，CQ=2t，则PC=8-2t，（），
CF=， ，，
QF=CQ-CF=3t-4，
，
，
当t=2时，同时有最小值，
当t=2时，PQ+EQ有最小值．
故答案是：2．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
(1) a； ；(2) ； ；(3)．
【分析】
（１）根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得边与对角线之间的关系，从而求解．
（２）
①先根据两点间的距离公式求出OP的长度即为对角线的长度，再利用上题的结论进行正确计算即可．
②分别过点P、Q作l的垂线，构造出两个全等的三角形，把两点到直线的距离转移到同一个直角三角形中，再根据“垂线段最短”得出当AB⊥l时，AB最短，当AB最短时，BP最短，BP2=，再根据同一直角坐标系中互相垂直的两条直线斜率乘积得-1求出直线AB的解析式，再求出直线AB与直线的交点坐标，然后求出两点距离，再除以2即可．
解：(1)【答题空1-1】
如图所示，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=CD=AD==，
∴正方形ABCD的周长为：，
故答案为：；
【答题空1-2】
∵AB=BC=CD=AD==，
∴面积为：，
故答案为：；
(2)【答题空2-1】
∵，
∴OP=，
∴由上题可知，此时的周长为，
故答案为：；
【答题空2-2】
若点在直线上，
由“垂线段最短可知，
当OP垂直于直线时，OP最短，
此时、的“关联正方形”的面积最小，
此时P(，)，OP=，
∴、的“关联正方形”的面积最小值为，
故答案为：；
(3)如图，过点P作PM⊥l于M，过点Q作QN⊥l于N，
∴∠PMB=∠QNB=90°，
∵∠MPB+∠PBM=90°，∠PBM+∠QBN=90°，
∴∠MPB=∠QBN，
∵PB=QB，
∴△BPM≌△QBN(AAS)，
∴BM=QN，
即PM=a，BM=b，
在Rt△BPM中，BP2=BP2+BM2=，
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2=2BP2，
∴当AB最小时，BP最小，最小，
设直线AB为，
∵AB⊥l，
∴k=，将点代入，可得，
联立，得：，解得，，
此时两直线交点B为，，AB2=，
∴BP2=，
即=．
【点拨】本题主要考查正方形的性质及一次函数的性质、勾股定理．熟练运用这些知识点构建相对应的数学模型是正确解题的关键．