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专题24.11 圆的有关性质（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题24.11 圆的有关性质（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共62页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题24.11 圆的有关性质（专项练习）（基础篇）
一、单选题
1．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
3．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，则的度数为（ ）．
A．65° B．70° C．75° D．85°
4．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．如图，如果为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的直径为10，弦，是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）
A． B． C． D．
11．如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图，在⊙O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①AB⊥CD； ②∠AOB=4∠ACD；③弧AD=弧BD；④PO=PD，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
15．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧上一点，如果∠AOB＝58º，那么∠ADC的度数为（ ）
A．32º B．29º C．58º D．116º
16．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
17．如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是( )
A． B．
C． D．
18．如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
19．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，中，，．则的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
22．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
23．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
24．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
25．如图，已知：是的直径，、是上的三等分点，，则是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
A．45° B．85° C．90° D．95°
27．如图所示，是半圆的直径，为的中点，，则的度数为（ ）.
A．80° B．100° C．140° D．110°
28．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A． B． C． D．
29．如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ ）度.
A．74 B．106 C．117 D．127
30．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（ ）
A．36° B．44° C．54° D．72°
31．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
32．有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
33．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
35．如图，⊙O是∆ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
二、填空题
36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
37．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
38．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
39．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点是切点，则劣弧AB 的长为____（结果保留）
40．是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________．
41．如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，，垂足为，且，，则直径的长为__________．
42．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=
_________ cm．
43．如图所示，半径为的内两条相互垂直的弦，交于点，，，则=______.
44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．
45．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
46．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 _______cm．（结果保留一位小数）
47．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，该圆弧所在的圆心D点坐标为_____．
48．如图，是半圆，点O为圆心，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝65°，则∠ABD的度数为_____．
49．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．
50．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为______米．
51．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为__________．
52．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
53．如图，将弧AC 沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则∠BAC的度数是________．
54．如图，在⊙O中，，∠1=30°，则∠2=_________°．
55．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点交⊙O于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_________．
56．如图，中， ， ，则_________________．
57．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数_____.
58．6cm长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________．
59．如图, 在△ABC中, ∠C是直角, ∠A=32°18', 以C为圆心, BC为半径作圆交AB于D，交AC于E，则的度数是______．
60．如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
61．如图，正五边形ABCDE为内接于⊙O的，则∠ABD=________．
62．如图，中，，则________度．
63．如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为________°．
64．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=_____．
65．圆心角为90°的扇形如图所示，过的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．
66．OA是圆O的半径, 过OA的中点E作OA的垂线交圆O于B, C, 则弧BAC的度数是________．
67．如图，点，，，在上，，，，则________．
68．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.
69．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝________.
70．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
71．如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
72．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____．
73．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度．
74．如图，点A，B，C，D在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，则∠A的大小为________．
75．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)．
76．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．
77．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__．
78．如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，则的半径长为______．
79．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝_____．
80．如图，的两条相交弦、，，，则的面积是_______．
参考答案
1．A
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【详解】
∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选A．
【点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
2．B
【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC，在RT△OCE中应用勾股定理即可．
【详解】
试题解析：由题意连接OC，得
OE=OB-AE=4-1=3，
CE=CD= =，
CD=2CE=2，
故选B．
3．B
【分析】根据题意于点，交于点，则，即
【详解】
解：∵
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查垂直的性质，解题关键在于在证明
4．B
【详解】
试题分析：连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4.
故选B．
考点：垂径定理；勾股定理．
5．C
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD．
【详解】
解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故答案选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算．
6．D
【分析】由于AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，再根据圆周角定理由弧BC＝弧BD得到∠BAC＝∠BAD，根据圆心角、弧、弦的关系由弧BC＝弧BD，得AC＝AD，于是可判断AC＝ED不正确．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，
∴∠BAC＝∠BAD，AC＝AD，
故选D．
7．D
【分析】由垂径定理都出，然后根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】
∵OC⊥AB，
∴，
∴∠APC=∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】首先明确OP最短时，应该是OP⊥AB时，然后根据垂径定理即可求出．
【详解】
解：OP最短时，应该是OP⊥AB时，此时AP=BP=4，
所以 ．
故选B．
【点拨】此题考查垂径定理，涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
9．C
【分析】由M（0，-4），N（0，-10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．
【详解】
解：∵M（0，-4），N（0，-10），
∴MN=6，
连接PM，过点P作PE⊥MN于E，
∴ME=NE=MN=3，
∴OE=OM+EM=4+3=7，
在Rt△PEM，PE==4，
∴圆心P的坐标为（4，-7）．
故选C．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
10．C
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【详解】
过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为5，
∴BD=OB•cos∠OBC=，
∴BC=5，
故选C．
【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.
11．C
【分析】连接，根据垂径定理得到，设的半径为，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：连接，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．A
【分析】根据垂径定理知：E为AP中点，F为PB中点，即EF为△APB中位线；然后利用三角形中位线定理（EF=AB）求解．
【详解】
∵点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合)，OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，
∴根据垂径定理知，
∴AE=EP、BF=PF，即E为AP中点，F为PB中点，
∴EF为△APB中位线；
又AB=10，
∴EF=AB=×10=5(三角形中位线定理)；
故选：A.
【点拨】本题考查三角形中位线定理、垂径定理及其推论，解题的关键是掌握三角形中位线定理、垂径定理及其推论.
13．D
【解析】
【分析】根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．
【详解】
∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．
∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；
∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．
P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．
故正确的是：①②③．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.
14．B
【详解】
解：∵∠BAC=∠BOD，
∴．
∴AB⊥CD．
∵AE=CD=8，∴DE=CD=4．
设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，
∴OD2=DE2+OE2，
即r2=42+（8﹣r）2，
解得r=5．
故选B．
15．B
【分析】根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC，进而可得答案．
【详解】
解：∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，
∴，
∴∠ADC=∠AOB=29°.
故选B.
【点拨】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．C
【分析】由题意易得，则根据垂径定理及推论可进行排除选项．
【详解】
解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
17．B
【分析】根据垂径定理及等腰三角形的性质对各选项进行分析即可．
【详解】
A. ∵在圆中，直径AB⊥CD于点E，∴CE=DE，故本选项正确；
B. ∵点E不一定是线段OA的中点，∴AE与OE的大小不能确定，故本选项错误；
C. ∵在圆中,直径AB⊥CD于点E,∴，故本选项正确；
D. ∵OC=OD，∴∠C=∠D，∵AB⊥CD，∴∠COA=∠DOA,
∴，故本选项正确.
故选B.
【点拨】此题考查垂径定理及其推论，解题关键在于掌握其性质定义.
18．D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】
解：如图，∵，
∴．
∵是的弦，交于点，
∴．
∴．
故选D．
【点拨】本题考查垂径定理，解题关键证明.
19．C
【解析】
过点作，由垂径定理，可得，连接，由勾股定理可得
，所以，故选C
20．B
【分析】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【详解】
根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，
如图所示，使用2次即可找到圆心O，
故选B.
【点拨】本题考查利用垂径定理确定圆心，熟练掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.
21．C
【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，进而可得答案．
【详解】
解：∵，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故选C．
【点拨】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．
22．C
【解析】
试题解析：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得,
由圆内接四边形的性质得到,
故选C.
点拨：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
23．D
【分析】根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知，然后根据对顶角相等即可求解．
【详解】
，
．
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．
24．D
【分析】在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．
【详解】
如图，在弧EF上取一点M，使，
则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．
25．C
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．
【详解】
∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE=80°，故选C.
【点拨】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.
26．B
【详解】
解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选B．
【点拨】本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
27．D
【分析】连接OC，OD，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接OC，OD，
∵OC=OB，∠B=40°，
∴∠BCO=∠B=40°，∠AOC=80°．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠AOD=∠COD=40°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=70，
∴∠BCD=70°+40°=110°．
故选:D.
【点拨】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
28．A
【解析】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3，从而求解．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，∴CH=BH，
∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．
∴，
∴BC＝2BH＝8．
故选A．
“点拨”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
29．D
【分析】连接OB，进而得出∠AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC的度数．
【详解】
连接OB，
∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵，
∴∠AOC=∠BOC=＝127°，
故选D．
【点拨】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
30．C
【分析】由同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，解得，再由直径所对的圆周角是90°，结合余角的性质解题即可．
【详解】
是的直径，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查圆的性质，涉及同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是90°、余角的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
31．B
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
32．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
33．A
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【详解】
连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．
【点拨】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
34．B
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．A
【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
【点拨】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
36．4-
【详解】
试题解析：如图，连接OC.
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∵在中,
故答案为:
37．．
【详解】
试题解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴cos∠AOC=，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB
=
=，
S阴影=S半圆-2S弓形ABM
=π×22-2（）
=2．
故答案为2．
38．
【详解】
解：设半径为R，则有：大正方形边长是a，则有
考点：本题考查了圆的性质
点评：此类试题属于难度较大的试题主要考查了考生对圆的性质的基本定理的考查了和基本性质的运算
39．8π.
【详解】
试题分析： 因为AB为切线，P为切点，
劣弧AB所对圆心角
考点： 勾股定理;垂径定理;弧长公式.
40．12或4
【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可.
【详解】
解：∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
若∠OAM=30°，
则tan∠OAM=，
∴AM=6，
∴AB=2AM=12；
若∠AOM=30°，
则tan∠AOM=，
∴AM=2，
∴AB=2AM=4.
故答案为：12或4.
【点拨】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.
41．10
【分析】连接OC，设圆的半径为r，则有OD=r-2，然后根据垂径定理及勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：连接OC，如图：
设圆的半径为r，则有OD=r-2，
是⊙O的直径，，，，
∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，
，即，
解得，
AB=2OC=10；
故答案为10．
【点拨】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的联系是解题的关键．
42．
【详解】
连接AC、BC，则∠CAH=30°， AC=，根据勾股定理AH=，故AB=
43．.
【解析】
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，先求出OM，ON，进而证得四边形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP的长．
【详解】
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
由垂径定理得：
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
故答案为：
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
44．
【解析】
【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，设⊙O的半径为xcm，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=x-2，根据勾股定理，求得x值即可．
【详解】
连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
45．48
【详解】
试题分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．
∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
46．8.9
【分析】根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【详解】
由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，
由勾股定理得，，
圆的周长为：(cm)．
故答案为：8.9．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．
47．（2，0）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.
【详解】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，如图所示，则圆的圆心D点的坐标为D（2，0），
故答案为：（2，0）；
【点拨】此题主要考查根据垂径定理的推论求圆心坐标，熟练掌握，即可解题.
48．25°
【分析】根据AB是直径可以证得AD⊥BD，根据AD∥OC，则OC⊥BD，根据垂径定理求得弧BC的度数，即可求得的度数，然后求得∠ABD的度数．
【详解】
解：∵是半圆，即AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴=65°
∴＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠ABD＝．
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角的定理，利用垂径定理证明=65°是解决本题的关键．
49．4．
【解析】
【分析】由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD，则通过CD＝OC−OD求出CD．
【详解】
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为4．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
50．
【详解】
解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．
则OD⊥AB．AC=AB=0.8m．
在直角△OAC中，OC===0.6m．
则水深CD=OD-OC=1-0.6=0.4m．
【点拨】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
51．
【分析】如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】
解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：
【点拨】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
52．50°
【解析】
试题分析：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°
考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质
53．30°
【分析】过点O作OD⊥AC交AC于点D，延长OD交弧AC于点E，由折叠的性质及圆的基本性质可得OA=OE=2OD，进而问题得解．
【详解】
解：过点O作OD⊥AC交AC于点D，延长OD交弧AC于点E，如图所示：
由将弧AC 沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，可得OA=OE=2OD，
∠CAB=30°；
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质及含30°角的直角三角形，熟练掌握30°角的直角三角形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
54．30
【分析】由题意易证，再由∠1=30°可进行求解．
【详解】
解：，，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为30．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
55．①②③
【分析】①根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，②根据直径所对的圆周角是判断，③同一个圆中，圆周角相等，弧相等，④根据等腰直角三角形的判断方法判定.
【详解】
解：如图，连接．是的直径，．又，故②正确．是的平分线，．故③正确．是的直径，．．是的直角边，是斜边，．故④错误．由圆周角定理知，，故①正确．
综上，正确的结论是①②③．
【点拨】本题考查直径所对的圆周角是、等腰三角形的性质、角平分线的性质、圆周角定理等，知识综合性较强，是常见考点，难度一般，熟练掌握相关知识是解题关键.
56．23°
【分析】连接OC，由题意易得，则有∠AOC=∠AOB，进而根据圆周角与圆心角的关系可求解．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵，OA为半径，
∴，
∴∠AOC=∠AOB，
∵，
∴∠AOC=46°，
∴∠ADC=；
故答案为23°．
【点拨】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半及垂径定理是解题的关键．
57．70°
【解析】
【分析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE=（180°-40°）÷2=70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．
【详解】
连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°-40°）÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
故答案为70°．
【点拨】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记知识点是解题的关键．
58．cm
【分析】如图，过圆心O作OA⊥BC于点E，连接OB，OC，根据垂径定理可得BE=CE=3cm，再根据题意可得∠BOA=60°，即∠OBE=30°，再利用勾股定理求得OE的长，即可得到圆的直径长.
【详解】
如图，过圆心O作OA⊥BC于点E，连接OB，OC，
∵BC=6cm，
∴BE=CE=3cm，
∵弦将圆分成1:2的两条弧,
∴∠BOC=120°，即∠BOA=60°，
在Rt△BOE中，∠OBE=30°，
∴OE=OB，
∵OB2﹣OE2=BE2，
∴3OE=9，
解得OE=cm，即OB=2cm，
则圆的直径为2×2=4cm.
故答案为4cm.
【点拨】本题主要考查垂径定理，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
59．64°36'
【分析】连接CD，先在Rt△ABC中求得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和进行求解即可.
【详解】
连接CD，
在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠A=57°42’，
∵CD=BC，
∴△BCD为等腰三角形，
∴∠BCD=180°﹣2∠B=64°36'.
故答案为64°36'.
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆的基本知识点，解此题的关键在于掌握弧的度数等于其所对圆心角的度数.
60．
【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点拨】本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
61．72°．
【解析】
连接AO、DO，根据正五边形的性质求出∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．
解：如图，连接AO、DO，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOD=×360°=144°，
∴∠ABD=∠AOD=×144°=72°．
“点拨”本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧AD所对的圆心角是解题的关键．
62．
【解析】
【分析】由图可知：、、正好构成整个圆，即它们的度数和为360°，则可得+=320°，那么两段弧所对的圆心角的度数和也是320°，根据圆周角定理即可得到∠B+∠D的度数.
【详解】
解：∵=40°，
∴+=360°﹣40°=320°，
∴∠B+∠D=×320°=160°.
故答案为：160.
【点拨】此题综合考查了圆心角、弧的关系，及圆周角定理的应用；能够正确的求得∠B、∠D所对弧的度数是解答此题的关键．
63．70
【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数．
【详解】
解：如图，连接OF，
∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°，
∵OC＝OF，
∴∠CFO＝∠C＝55°，
∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°，
∴弧CF的度数是70°．
故答案为：70．
【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键．
64．35°．
【解析】
试题分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°．
考点：圆周角定理.
65．
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
【详解】
解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
如图，连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
在△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC=OA=2， ,
∴图中阴影部分的面积=
故答案为：．
【点拨】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
66．120°
【分析】根据垂直平分线的性质易证△OAB与△OAC均为等边三角形，则∠BOC=120°.
【详解】
如图，
∵BC垂直平分OA，
∴AB=OB，AC=OC，
∴△OAB与△OAC为等边三角形，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=120°.
故答案为120°.
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，圆心角定理，解此题的关键在于熟记弧的度数即为其所对圆心角的度数.
67．70°
【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】
∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
【点拨】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
68．1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
69．
【详解】
试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
70．29
【解析】
【分析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=∠BOC求解即可；
【详解】
解：连接OC，
∵=，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=∠BOC=29°，
故答案为29．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
71．
【详解】
试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
72．2π．
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝，
故答案为：2π．
【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
73．32
【详解】
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE=AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
74．30°
【分析】连接OC，根据平行四边形的性质得到BC=OD，得到△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC=60°，根据圆周角定理解答即可.
【详解】
解：连接OC，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC=OD，
∴BC=OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∠BOC=60°，
由圆周角定理得，∠A=∠BOC=30°，
故答案为：30°.
【点拨】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.
75．②③
【详解】
试题分析：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APE∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；
由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6， Rt△BCE中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP； 所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心，选项③正确．
则正确的选项序号有②③．故答案为②③．
考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质．
76．20°．
【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．
【详解】
解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，
再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．
故答案为：20°
【点拨】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
77．80°
【解析】
【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠C=80°．
故答案为80°．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
78．3
【分析】根据题意连接BC，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而利用含30°的直角三角形的性质进行分析求解．
【详解】
解：如图，连接BC，
∵线段是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的半径长为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查圆相关，熟练掌握圆周角定理以及在含30°的直角三角形中其斜边的短直角边的2倍是解题的关键．
79．36°
【解析】
试题解析：连接BD,
∵AB是的直径，
故答案为:
点拨:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
80．．
【分析】由，而，所以，得到为等边三角形，又，从而求得半径，即可得到的面积．
【详解】
解：∵，
而，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴圆的半径为2，
∴的面积是，
故答案为．
【点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．
专题24.11 圆的有关性质（专项练习）（基础篇）
一、单选题
1．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
3．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，则的度数为（ ）．
A．65° B．70° C．75° D．85°
4．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．如图，如果为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的直径为10，弦，是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）
A． B． C． D．
11．如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图，在⊙O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①AB⊥CD； ②∠AOB=4∠ACD；③弧AD=弧BD；④PO=PD，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
15．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧上一点，如果∠AOB＝58º，那么∠ADC的度数为（ ）
A．32º B．29º C．58º D．116º
16．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
17．如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是( )
A． B．
C． D．
18．如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
19．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，中，，．则的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
22．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
23．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
24．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
25．如图，已知：是的直径，、是上的三等分点，，则是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
A．45° B．85° C．90° D．95°
27．如图所示，是半圆的直径，为的中点，，则的度数为（ ）.
A．80° B．100° C．140° D．110°
28．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A． B． C． D．
29．如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ ）度.
A．74 B．106 C．117 D．127
30．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（ ）
A．36° B．44° C．54° D．72°
31．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
32．有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
33．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
35．如图，⊙O是∆ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
二、填空题
36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
37．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
38．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
39．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点是切点，则劣弧AB 的长为____（结果保留）
40．是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________．
41．如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，，垂足为，且，，则直径的长为__________．
42．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=
_________ cm．
43．如图所示，半径为的内两条相互垂直的弦，交于点，，，则=______.
44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．
45．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
46．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 _______cm．（结果保留一位小数）
47．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，该圆弧所在的圆心D点坐标为_____．
48．如图，是半圆，点O为圆心，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝65°，则∠ABD的度数为_____．
49．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．
50．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为______米．
51．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为__________．
52．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
53．如图，将弧AC 沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则∠BAC的度数是________．
54．如图，在⊙O中，，∠1=30°，则∠2=_________°．
55．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点交⊙O于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_________．
56．如图，中， ， ，则_________________．
57．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数_____.
58．6cm长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________．
59．如图, 在△ABC中, ∠C是直角, ∠A=32°18', 以C为圆心, BC为半径作圆交AB于D，交AC于E，则的度数是______．
60．如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
61．如图，正五边形ABCDE为内接于⊙O的，则∠ABD=________．
62．如图，中，，则________度．
63．如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为________°．
64．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=_____．
65．圆心角为90°的扇形如图所示，过的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．
66．OA是圆O的半径, 过OA的中点E作OA的垂线交圆O于B, C, 则弧BAC的度数是________．
67．如图，点，，，在上，，，，则________．
68．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.
69．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝________.
70．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
71．如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
72．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____．
73．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度．
74．如图，点A，B，C，D在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，则∠A的大小为________．
75．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)．
76．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．
77．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__．
78．如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，则的半径长为______．
79．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝_____．
80．如图，的两条相交弦、，，，则的面积是_______．
参考答案
1．A
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【详解】
∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选A．
【点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
2．B
【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC，在RT△OCE中应用勾股定理即可．
【详解】
试题解析：由题意连接OC，得
OE=OB-AE=4-1=3，
CE=CD= =，
CD=2CE=2，
故选B．
3．B
【分析】根据题意于点，交于点，则，即
【详解】
解：∵
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查垂直的性质，解题关键在于在证明
4．B
【详解】
试题分析：连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4.
故选B．
考点：垂径定理；勾股定理．
5．C
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD．
【详解】
解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故答案选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算．
6．D
【分析】由于AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，再根据圆周角定理由弧BC＝弧BD得到∠BAC＝∠BAD，根据圆心角、弧、弦的关系由弧BC＝弧BD，得AC＝AD，于是可判断AC＝ED不正确．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，
∴∠BAC＝∠BAD，AC＝AD，
故选D．
7．D
【分析】由垂径定理都出，然后根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】
∵OC⊥AB，
∴，
∴∠APC=∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】首先明确OP最短时，应该是OP⊥AB时，然后根据垂径定理即可求出．
【详解】
解：OP最短时，应该是OP⊥AB时，此时AP=BP=4，
所以 ．
故选B．
【点拨】此题考查垂径定理，涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
9．C
【分析】由M（0，-4），N（0，-10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．
【详解】
解：∵M（0，-4），N（0，-10），
∴MN=6，
连接PM，过点P作PE⊥MN于E，
∴ME=NE=MN=3，
∴OE=OM+EM=4+3=7，
在Rt△PEM，PE==4，
∴圆心P的坐标为（4，-7）．
故选C．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
10．C
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【详解】
过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为5，
∴BD=OB•cos∠OBC=，
∴BC=5，
故选C．
【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.
11．C
【分析】连接，根据垂径定理得到，设的半径为，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：连接，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．A
【分析】根据垂径定理知：E为AP中点，F为PB中点，即EF为△APB中位线；然后利用三角形中位线定理（EF=AB）求解．
【详解】
∵点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合)，OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，
∴根据垂径定理知，
∴AE=EP、BF=PF，即E为AP中点，F为PB中点，
∴EF为△APB中位线；
又AB=10，
∴EF=AB=×10=5(三角形中位线定理)；
故选：A.
【点拨】本题考查三角形中位线定理、垂径定理及其推论，解题的关键是掌握三角形中位线定理、垂径定理及其推论.
13．D
【解析】
【分析】根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．
【详解】
∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．
∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；
∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．
P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．
故正确的是：①②③．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.
14．B
【详解】
解：∵∠BAC=∠BOD，
∴．
∴AB⊥CD．
∵AE=CD=8，∴DE=CD=4．
设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，
∴OD2=DE2+OE2，
即r2=42+（8﹣r）2，
解得r=5．
故选B．
15．B
【分析】根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC，进而可得答案．
【详解】
解：∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，
∴，
∴∠ADC=∠AOB=29°.
故选B.
【点拨】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．C
【分析】由题意易得，则根据垂径定理及推论可进行排除选项．
【详解】
解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
17．B
【分析】根据垂径定理及等腰三角形的性质对各选项进行分析即可．
【详解】
A. ∵在圆中，直径AB⊥CD于点E，∴CE=DE，故本选项正确；
B. ∵点E不一定是线段OA的中点，∴AE与OE的大小不能确定，故本选项错误；
C. ∵在圆中,直径AB⊥CD于点E,∴，故本选项正确；
D. ∵OC=OD，∴∠C=∠D，∵AB⊥CD，∴∠COA=∠DOA,
∴，故本选项正确.
故选B.
【点拨】此题考查垂径定理及其推论，解题关键在于掌握其性质定义.
18．D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】
解：如图，∵，
∴．
∵是的弦，交于点，
∴．
∴．
故选D．
【点拨】本题考查垂径定理，解题关键证明.
19．C
【解析】
过点作，由垂径定理，可得，连接，由勾股定理可得
，所以，故选C
20．B
【分析】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【详解】
根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，
如图所示，使用2次即可找到圆心O，
故选B.
【点拨】本题考查利用垂径定理确定圆心，熟练掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.
21．C
【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，进而可得答案．
【详解】
解：∵，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故选C．
【点拨】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．
22．C
【解析】
试题解析：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得,
由圆内接四边形的性质得到,
故选C.
点拨：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
23．D
【分析】根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知，然后根据对顶角相等即可求解．
【详解】
，
．
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．
24．D
【分析】在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．
【详解】
如图，在弧EF上取一点M，使，
则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．
25．C
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．
【详解】
∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE=80°，故选C.
【点拨】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.
26．B
【详解】
解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选B．
【点拨】本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
27．D
【分析】连接OC，OD，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接OC，OD，
∵OC=OB，∠B=40°，
∴∠BCO=∠B=40°，∠AOC=80°．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠AOD=∠COD=40°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=70，
∴∠BCD=70°+40°=110°．
故选:D.
【点拨】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
28．A
【解析】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3，从而求解．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，∴CH=BH，
∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．
∴，
∴BC＝2BH＝8．
故选A．
“点拨”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
29．D
【分析】连接OB，进而得出∠AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC的度数．
【详解】
连接OB，
∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵，
∴∠AOC=∠BOC=＝127°，
故选D．
【点拨】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
30．C
【分析】由同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，解得，再由直径所对的圆周角是90°，结合余角的性质解题即可．
【详解】
是的直径，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查圆的性质，涉及同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是90°、余角的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
31．B
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
32．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
33．A
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【详解】
连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．
【点拨】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
34．B
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．A
【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
【点拨】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
36．4-
【详解】
试题解析：如图，连接OC.
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∵在中,
故答案为:
37．．
【详解】
试题解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴cos∠AOC=，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB
=
=，
S阴影=S半圆-2S弓形ABM
=π×22-2（）
=2．
故答案为2．
38．
【详解】
解：设半径为R，则有：大正方形边长是a，则有
考点：本题考查了圆的性质
点评：此类试题属于难度较大的试题主要考查了考生对圆的性质的基本定理的考查了和基本性质的运算
39．8π.
【详解】
试题分析： 因为AB为切线，P为切点，
劣弧AB所对圆心角
考点： 勾股定理;垂径定理;弧长公式.
40．12或4
【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可.
【详解】
解：∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
若∠OAM=30°，
则tan∠OAM=，
∴AM=6，
∴AB=2AM=12；
若∠AOM=30°，
则tan∠AOM=，
∴AM=2，
∴AB=2AM=4.
故答案为：12或4.
【点拨】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.
41．10
【分析】连接OC，设圆的半径为r，则有OD=r-2，然后根据垂径定理及勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：连接OC，如图：
设圆的半径为r，则有OD=r-2，
是⊙O的直径，，，，
∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，
，即，
解得，
AB=2OC=10；
故答案为10．
【点拨】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的联系是解题的关键．
42．
【详解】
连接AC、BC，则∠CAH=30°， AC=，根据勾股定理AH=，故AB=
43．.
【解析】
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，先求出OM，ON，进而证得四边形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP的长．
【详解】
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
由垂径定理得：
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
故答案为：
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
44．
【解析】
【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，设⊙O的半径为xcm，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=x-2，根据勾股定理，求得x值即可．
【详解】
连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
45．48
【详解】
试题分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．
∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
46．8.9
【分析】根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【详解】
由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，
由勾股定理得，，
圆的周长为：(cm)．
故答案为：8.9．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．
47．（2，0）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.
【详解】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，如图所示，则圆的圆心D点的坐标为D（2，0），
故答案为：（2，0）；
【点拨】此题主要考查根据垂径定理的推论求圆心坐标，熟练掌握，即可解题.
48．25°
【分析】根据AB是直径可以证得AD⊥BD，根据AD∥OC，则OC⊥BD，根据垂径定理求得弧BC的度数，即可求得的度数，然后求得∠ABD的度数．
【详解】
解：∵是半圆，即AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴=65°
∴＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠ABD＝．
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角的定理，利用垂径定理证明=65°是解决本题的关键．
49．4．
【解析】
【分析】由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD，则通过CD＝OC−OD求出CD．
【详解】
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为4．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
50．
【详解】
解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．
则OD⊥AB．AC=AB=0.8m．
在直角△OAC中，OC===0.6m．
则水深CD=OD-OC=1-0.6=0.4m．
【点拨】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
51．
【分析】如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】
解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：
【点拨】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
52．50°
【解析】
试题分析：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°
考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质
53．30°
【分析】过点O作OD⊥AC交AC于点D，延长OD交弧AC于点E，由折叠的性质及圆的基本性质可得OA=OE=2OD，进而问题得解．
【详解】
解：过点O作OD⊥AC交AC于点D，延长OD交弧AC于点E，如图所示：
由将弧AC 沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，可得OA=OE=2OD，
∠CAB=30°；
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质及含30°角的直角三角形，熟练掌握30°角的直角三角形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
54．30
【分析】由题意易证，再由∠1=30°可进行求解．
【详解】
解：，，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为30．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
55．①②③
【分析】①根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，②根据直径所对的圆周角是判断，③同一个圆中，圆周角相等，弧相等，④根据等腰直角三角形的判断方法判定.
【详解】
解：如图，连接．是的直径，．又，故②正确．是的平分线，．故③正确．是的直径，．．是的直角边，是斜边，．故④错误．由圆周角定理知，，故①正确．
综上，正确的结论是①②③．
【点拨】本题考查直径所对的圆周角是、等腰三角形的性质、角平分线的性质、圆周角定理等，知识综合性较强，是常见考点，难度一般，熟练掌握相关知识是解题关键.
56．23°
【分析】连接OC，由题意易得，则有∠AOC=∠AOB，进而根据圆周角与圆心角的关系可求解．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵，OA为半径，
∴，
∴∠AOC=∠AOB，
∵，
∴∠AOC=46°，
∴∠ADC=；
故答案为23°．
【点拨】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半及垂径定理是解题的关键．
57．70°
【解析】
【分析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE=（180°-40°）÷2=70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．
【详解】
连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°-40°）÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
故答案为70°．
【点拨】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记知识点是解题的关键．
58．cm
【分析】如图，过圆心O作OA⊥BC于点E，连接OB，OC，根据垂径定理可得BE=CE=3cm，再根据题意可得∠BOA=60°，即∠OBE=30°，再利用勾股定理求得OE的长，即可得到圆的直径长.
【详解】
如图，过圆心O作OA⊥BC于点E，连接OB，OC，
∵BC=6cm，
∴BE=CE=3cm，
∵弦将圆分成1:2的两条弧,
∴∠BOC=120°，即∠BOA=60°，
在Rt△BOE中，∠OBE=30°，
∴OE=OB，
∵OB2﹣OE2=BE2，
∴3OE=9，
解得OE=cm，即OB=2cm，
则圆的直径为2×2=4cm.
故答案为4cm.
【点拨】本题主要考查垂径定理，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
59．64°36'
【分析】连接CD，先在Rt△ABC中求得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和进行求解即可.
【详解】
连接CD，
在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠A=57°42’，
∵CD=BC，
∴△BCD为等腰三角形，
∴∠BCD=180°﹣2∠B=64°36'.
故答案为64°36'.
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆的基本知识点，解此题的关键在于掌握弧的度数等于其所对圆心角的度数.
60．
【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点拨】本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
61．72°．
【解析】
连接AO、DO，根据正五边形的性质求出∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．
解：如图，连接AO、DO，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOD=×360°=144°，
∴∠ABD=∠AOD=×144°=72°．
“点拨”本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧AD所对的圆心角是解题的关键．
62．
【解析】
【分析】由图可知：、、正好构成整个圆，即它们的度数和为360°，则可得+=320°，那么两段弧所对的圆心角的度数和也是320°，根据圆周角定理即可得到∠B+∠D的度数.
【详解】
解：∵=40°，
∴+=360°﹣40°=320°，
∴∠B+∠D=×320°=160°.
故答案为：160.
【点拨】此题综合考查了圆心角、弧的关系，及圆周角定理的应用；能够正确的求得∠B、∠D所对弧的度数是解答此题的关键．
63．70
【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数．
【详解】
解：如图，连接OF，
∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°，
∵OC＝OF，
∴∠CFO＝∠C＝55°，
∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°，
∴弧CF的度数是70°．
故答案为：70．
【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键．
64．35°．
【解析】
试题分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°．
考点：圆周角定理.
65．
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
【详解】
解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
如图，连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
在△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC=OA=2， ,
∴图中阴影部分的面积=
故答案为：．
【点拨】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
66．120°
【分析】根据垂直平分线的性质易证△OAB与△OAC均为等边三角形，则∠BOC=120°.
【详解】
如图，
∵BC垂直平分OA，
∴AB=OB，AC=OC，
∴△OAB与△OAC为等边三角形，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=120°.
故答案为120°.
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，圆心角定理，解此题的关键在于熟记弧的度数即为其所对圆心角的度数.
67．70°
【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】
∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
【点拨】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
68．1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
69．
【详解】
试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
70．29
【解析】
【分析】由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=∠BOC求解即可；
【详解】
解：连接OC，
∵=，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=∠BOC=29°，
故答案为29．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
71．
【详解】
试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
72．2π．
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝，
故答案为：2π．
【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
73．32
【详解】
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE=AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
74．30°
【分析】连接OC，根据平行四边形的性质得到BC=OD，得到△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC=60°，根据圆周角定理解答即可.
【详解】
解：连接OC，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC=OD，
∴BC=OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∠BOC=60°，
由圆周角定理得，∠A=∠BOC=30°，
故答案为：30°.
【点拨】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.
75．②③
【详解】
试题分析：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APE∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；
由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6， Rt△BCE中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP； 所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心，选项③正确．
则正确的选项序号有②③．故答案为②③．
考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质．
76．20°．
【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．
【详解】
解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，
再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．
故答案为：20°
【点拨】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
77．80°
【解析】
【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠C=80°．
故答案为80°．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
78．3
【分析】根据题意连接BC，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而利用含30°的直角三角形的性质进行分析求解．
【详解】
解：如图，连接BC，
∵线段是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的半径长为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查圆相关，熟练掌握圆周角定理以及在含30°的直角三角形中其斜边的短直角边的2倍是解题的关键．
79．36°
【解析】
试题解析：连接BD,
∵AB是的直径，
故答案为:
点拨:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
80．．
【分析】由，而，所以，得到为等边三角形，又，从而求得半径，即可得到的面积．
【详解】
解：∵，
而，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴圆的半径为2，
∴的面积是，
故答案为．
【点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．
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