北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.14 添加一个条件构成特殊平行四边形专题（基础篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.14 添加一个条件构成特殊平行四边形专题（基础篇）（专项练习），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
【知识点一】添加一个条件构成平行四边形
1．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝BCB．AC＝BDC．∠A＝∠CD．∠A＝∠B
3．如图所示，在四边形中， ，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个凸四边形的一条对角线被另一条对角线平分，请你从下列四个条件中再选取一个作为已知条件，使得这个四边形一定是平行四边形．你的选择是（ ）
A．一组对边平行；B．一组对角相等；
C．一组邻边相等；D．一组对边相等．
【知识点二】添加一个条件构成菱形
5．的对角线与相交于点，添加以下条件，不能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO=COB．AO=BOC．AO⊥BOD．AB⊥BC
7．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③B．②③
C．③④D．①
8．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．要使四边形EFGH为菱形，可以添加的一个条件是（ ）
A．四边形ABCD是菱形B．AC、BD互相平分
C．AC＝BDD．AC⊥BD
【知识点三】添加一个条件构成矩形
9．如图，在四边形中，对角线与相交于点，.添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )
AB+BC=ACB．AB= AD
C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°
11．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AB⊥BCC．AC＝BDD．∠1＝∠2
12．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CBDC．AB＝BCD．AC＝BD
【知识点四】添加一个条件构成正方形
13．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形D．当时，它是正方形
14．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CDB．BC=CDC．∠D=90°D．AC=BD
15．下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是矩形B．若，则是正方形
C．若，则是菱形D．若，则是正方形
16．如图，如果要证明四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．且B．且
C．且D．和互相垂直平分
二、填空题
【知识点一】添加一个条件构成平行四边形
17．如图，点、在的对角线上，连接、、、，请添加一个条件使四边形是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即可）
18．如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是______．（答案不唯一，添加一个即可）．
19．如图，在 中，对角线AC、BD相交于点O，已知点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件_______________ ，使得四边形AFCE是一个平行四边形．
20．如图，在四边形中，对角线相交于点，请你添加一个条件____________，使四边形是平行四边形（填一个即可）．
【知识点二】添加一个条件构成菱形
21．如图，平行四边形的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是______．
22．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，请补充一个条件：______，使四边形DBEF是菱形．
23．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
24．如图，，，，，那么____时，四边形是菱形．
【知识点三】添加一个条件构成矩形
25．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是___；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是___（只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC．
26．中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形．
27．如图，的对角线交于点，请你添加一个条件，使是矩形，这个条件可以是：___（图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）．
28．如图，在中，对角线、相交于点，若再补充一个条件能使它成为矩形，则这个条件可以是______（只填一个条件即可）．
【知识点四】添加一个条件构成正方形
29．如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可）
30．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是___________(填上一个符合题目要求的条件即可)．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：__，可使它成为正方形．
32．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件_____（用字母表示，只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
三、解答题
33．在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．
34．如图，四边形的对角线与交于点，若，，
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件 ，使四边形是菱形
35．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， E、F是AC上两点，且AE = CF，连接BE、ED、DF、FB得四边形BEDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形．
(2)当EF、BD满足_____________ 条件时，四边形BEDF是矩形．（不必证明）．
36．如图，在▱ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DB⟂AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN.
(1)证明：四边形AMDN是菱形；
(2)若∠DAB=45°，判断四边形AMDN的形状，并说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DCAB．
解：添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误；
添加B、，无法得到CDBA或，故错误；
添加C、，无法得到，故错误；
添加D、
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故选D．
【点拨】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．C
【分析】
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.
解：∵ABCD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，
故ADBC，
则四边形ABCD是平行四边形.
故选C.
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
3．B
【分析】
根据等腰梯形的定义可判断A；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C； 根据平行线的性质可以判断D.
解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确．
C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故D选项错误；
故选B
【点拨】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
4．A
【分析】
选项A，利用AAS证明△OBC≌△ODA（AAS），由此根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
解：如图，OA=OC，
∵BC∥AD，
∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，
∵OA=OC，
∴△OBC≌△ODA（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项可以使得这个四边形一定是平行四边形．
选项B、C、D均不能证明这个四边形一定是平行四边形．
故选：A．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．A
【分析】
判定一个平行四边形是否是菱形，在平行四边形这个条件上加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角，而对角线相等这个条件只能判定这个平行四边形是矩形，并不是菱形．
解：A选项中AC=BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
B选项中AC⊥BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C选项中∠ACD=∠ACB加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D选项中BC=CD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意．
故答案为：A ．
【点拨】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
6．C
【分析】
根据菱形的判定分析即可；
解：∵四边形ABCD时平行四边形，AO⊥BO，
∴是菱形；
故选C．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．
7．A
【分析】
根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
④▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故正确的为①③
故选：A．
【点拨】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
8．C
【分析】
根据E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理及AC＝BD，等量代换得到四条边相等，确定出四边形EFGH为菱形，得证．
解：应添加的条件是AC＝BD，理由为：
证明：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD，
∴EH＝BD，FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
∴EH＝HG＝GF＝EF，
则四边形EFGH为菱形，
故选：C．
【点拨】本题考查三角形中位线定理、菱形的判定，解题的关键是熟知三角形的中位线定理．
9．B
【分析】
根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形或有一个角是直角的平行四边形，逐项分析判断即可．
解：由，，可证四边形是平行四边形，
A. ，根据邻边相等的平行四边形，可证四边形是菱形，不符合题意；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，可证四边形是矩形，符合题意；
C. ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形，不符合题意；
D. ，证，根据等角对等边可证，即可证得四边形是菱形，不符合题意.
故选B
【点拨】本题考查了特殊四边形菱形的证明，平行四边形的证明，矩形的证明，注意对这些证明的理解，容易混淆，小心区别对比．
10．B
【分析】
由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．
解：A．∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
B．∵AB=AD，
∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
11．A
【分析】
根据菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质逐项判断即可得．
解：A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加能判定是菱形，不一定是矩形，则此项符合题意；
B、由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，添加能判定是矩形，则此项不符题意；
C、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加能判定是矩形，则此项不符题意；
D、，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形，
即添加能判定是矩形，则此项不符题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．
12．D
【分析】
由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
解：添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
13．D
【分析】
根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
14．B
【分析】
先证四边形ABCD是矩形，当BC=CD时，四边形ABCD是正方形由此判断．
解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当BC=CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：B．
【点拨】此题考查了正方形的判定定理，熟记正方形的判定定理并应用是解题的关键．
15．A
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．
解：中，，
四边形是矩形，选项符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项不符合题意；
故选：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
16．B
【分析】
根据正方形的性质与判定逐项分析即可．
解：A．四边形是平行四边，，
四边形是菱形，
B.四边形是平行四边，
四边形是菱形
四边形是正方形
C. 且只能判定四边形是矩形；
D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选B
【点拨】本题考查了菱形，矩形，正方形的性质与判定，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解．
解：添加：，理由如下：
连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵，
∴OE=OF，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
18．FC=AE
【分析】
根据四边形ABCD是平行四边形，CD∥AB，CD=AB，因此只需要证明DF=EB即可判断四边形EBFD是平行四边形，由此求解即可．
解：添加条件FC=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
故答案为：FC=AE．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件．
19．DE=BF
【分析】
根据平行四边形的判定，可加一条件，答案不唯一．
解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DE=BF，
∵AD∥BC，
∴∠EDA=∠FBC，
∵AD=BC，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=FC，
同理，△ABF≌△CED，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：DE=BF．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过证△ADE≌△CBF和△ABF≌△CED，得到AE=FC和CE=AF，再利用两组对边分别相等来判定平行四边形．
20．（答案不唯一）
【分析】
根据平行四边形的判定定理进行解答．
解：添加BO=DO，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．（答案不唯一）
【分析】
根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可以添加邻边相等的条件．
解：条件：AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
22．AB=BC（答案不唯一）
【分析】
可证DF，EF都是△ABC的中位线，即，因此只需要AB=BC即可．
解：添加条件AB=BC，
∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF，EF都是△ABC的中位线，
∴，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵AB=BC，
∴EF=DF，
∴平行四边形DBEF是菱形，
故答案为：AB=BC（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟知菱形的判定是解题的关键．
23．AB=CD
【分析】
当AB=CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理可得EG=GF=FH=EH，则四边形EFGH是菱形，最后利用菱形的性质即可．
解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下：
如图所示，连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG是△ABD是中位线
∴EG=AB，
同理HF=AB，FG=CD，BH=CD．
又∵AB=CD
∴EG=GF=FH=EH．
∴四边形EFGH是菱形
∴EF⊥GH．
故答案为：AB=CD．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFGH是菱形的条件是解答本题的关键．
24．
【分析】
利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．
解：当时，四边形是菱形，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴∠ADB=30°，
∵，
∴∠ABD=30°=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形是菱形，
故答案为：．
【点拨】此题考查菱形的判定定理，熟记菱形的判定定理并熟练解决问题是解题的关键．
25． ③ ②
【分析】
先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90°，即AC⊥BD；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．
解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形，
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形；
要使四边形EFGH为菱形，
根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH，
而EH=BD，
∴AC=BD．
故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形
故答案为：③；②．
【点拨】本题考查了矩形和菱形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．
26．
【分析】
根据题意作出图形，结合矩形的判定定理即可求得．
解：如图，中，延长至D使得，延长至E使得，
当时，四边形是矩形
，
故答案为：
【点拨】本题考查了矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．
27．
【分析】
根据矩形的判定定理在平行四边形的条件下，加上对角线相等，或者有一个角是直角即可
解：四边形是平行四边形
若
则四边形是矩形
故答案为：（答案不唯一）
【点拨】本题考查了矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
28．AC＝BD（答案不唯一）
【分析】
矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
【点拨】此题主要考查的是平行四边形的性质及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．
29．（答案不唯一）
【分析】
由平行线的性质可知，，即易证，得出，由此可证明四边形ABCD为平行四边形．由角平分线的性质可知，即得出，从而证明，即平行四边形ABCD为菱形．故在四边形ABCD为菱形的基础上，添加条件使其为正方形即可．
解：∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴再添加或等，即可证明菱形ABCD为正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
30．AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）
【分析】
根据正方形的判定定理，即可求解．
解：当AC=BD时，平行四边形ABCD为菱形，
又由AC⊥BD，可得菱形ABCD为正方形，
所以当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形ABCD为正方形．
故答案为：AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
31．∠BAD=90°
【分析】
根据正方形的判定即可得结论．
解：因为四边形是平行四边形，，
所以平行四边形是菱形，
如果，
那么菱形是正方形．
故答案为：．
【点拨】此题考查了正方形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
32．AB＝AD（答案不唯一）
【分析】
本题中给出在矩形的基础上，可以加上有一组邻边相等即可判定四边形ABCD是正方形．
解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了正方形的判定，属于条件开放题目，答案不唯一，掌握知识点是解题关键．
33．②，证明见分析
解：补充条件②，
∵，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
条件①③无法证明四边形ABCD是平行四边形
故答案为：②.
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
34．(1)证明见分析
(2)（答案不唯一）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出，，进而利用证明与全等，再利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据菱形的判定解答即可．
解：(1)证明：∵
∴，，
在与中，
，
∴（）
∴
∴四边形是平行四边形．
(2)解：添加：（答案不唯一）．
证明：∵，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
35．(1)见分析(2)EF=BD
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，根据已知条件即可求得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据矩形的判定定理可知，对角线相等的平行四边形是矩形即可求解．
解：(1)证明：四边形是平行四边形，
，
AE=CF，
OE=OF，
BFDE是平行四边形．
(2)EF=BD．
证明：EF=BD，BFDE是平行四边形，
四边形BEDF是矩形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，掌握平行四边形的性质与判定以及矩形的判定定理是解题的关键．
36．(1)见分析(2)正方形，理由见分析
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得DC∥AB，可得∠DAM＝∠NDA，可证△NED≌△MEA，可得AM＝ND，可证四边形AMDN是平行四边形，由直角三角形的性质可得AM＝MD，可得四边形AMDN是菱形；
（2）由菱形的性质可得∠DAB＝∠ADM＝45°，可得AM⊥DM，则四边形AMDN是正方形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB
∴∠DAM＝∠NDA，且DE＝AE，∠NED＝∠AEM
∴△NED≌△MEA（ASA）
∴AM＝ND，且CD∥AB
∴四边形AMDN是平行四边形
又BD⊥AD，M为AB的中点，
∴在Rt△ABD中，AM＝DM＝MB
∴四边形AMDN是菱形
(2)正方形，理由如下：
∵四边形AMDN是菱形
∴AM＝DM
∴∠DAB＝∠ADM＝45°，
∴∠AMD＝90°
∴菱形AMDN是正方形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．