北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.15 添加一个条件构成特殊平行四边形专题（巩固篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.15 添加一个条件构成特殊平行四边形专题（巩固篇）（专项练习），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
【知识点一】添加一个条件构成平行四边形
1．▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE
2．在中，、分别在、上，若想使四边形为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①；②；③；④．
A．①或②B．②或③C．③或④D．①或③或④
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（ ）
A．①②③⑤B．①②④⑤C．①②④⑥D．①③④⑥
4．如图，在中，对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．B．C．D．
【知识点二】添加一个条件构成菱形
5．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线相互垂直
6．如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（ ）
A．B．
C．D．AE是△ABC的角平分线
7．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）
A．B．
C．D．DE平分
8．如图，中，，，要判定四边形DBFE是菱形，可添加的条件是（ ）
A．B．C．D．BE平分
【知识点三】添加一个条件构成矩形
9．如图，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，平行四边形的对角线与相交于点，添加一个条件使平行四边形为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）．
A．B．C．D．
12．四边形的对角线，相交于点，从以下四个条件①，；②，；③；④中选两个，能推出四边形是矩形的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【知识点四】添加一个条件构成正方形
13．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．如图，已知线段，按下列步骤作图：分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，分别连接、、、，如果四边形是正方形，需要添加的条件是（ ）
A．B．C．D．平分
15．如图，E、F为菱形ABCD对角线上的两点，∠ADE=∠CDF，要判定四边形BFDE是正方形，需添加的条件是（ ）
A．AE=CFB．OE=OFC．∠EBD=45°D．∠DEF=∠BEF
16．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，下列判断中错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形ABCD是平行四边形
B．如果，，那么四边形ABCD是矩形
C．如果，，那么四边形ABCD是菱形
D．如果，AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形
二、填空题
【知识点一】添加一个条件构成平行四边形
17．如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）．
18．如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形．
19．如图，在平行四边形中，两点均在对角线上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是__________（写出一个即可）．
20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件：__________，使四边形BDFC为平行四边形．
【知识点二】添加一个条件构成菱形
21．如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_____．（只填写序号）
22．如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点，当四边形的边满足___________________时，四边形是菱形．
23．如图，在中，AD，CD分别平分和，，．若从以下三个条件：①；②；③中选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是_______（填序号）．
24．如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件________时(填一个条件)，能够判定四边形ACED为菱形.
【知识点三】添加一个条件构成矩形
25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，要使它变为矩形，需要添加的条件_______________（写出一种情况即可）
26．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使，连接AE交BC于F，，当______时，四边形ABEC是矩形．
27．如图，请你添加一个适当的条件____________，使 平行四边形ABCD成为矩形．（答出一个即可）
28．如图所示，在四边形中，，且，对角线和相交于，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形为矩形，则还需增加一个条件是________．
【知识点四】添加一个条件构成正方形
29．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是_____．
30．如图，的对角线与相交于点O，且，下列条件：①；②；③；④中，任选一个，能使得为正方形的有__________（填序号）．
31．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需添加的一个条件是_______．
32．四边形的对角线、相交于点，，，为使四边形为正方形，还需要满足下列条件中：①；②；③；④中的哪两个________（填代号）．
三、解答题
33．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
(1)若ADBC，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换(1)中的“ADBC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 (填写满足要求的所有条件的序号)．
34．如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°， ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC， ②AB=CD， ③AD=BC，并完成证明．
你选择的条件是
35．如图，AD是△ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E．
(1)求证：AE=CD；
(2)当AB、AC满足什么条件时，
①四边形AEBD是矩形？请说明理由；
②四边形AEBD是菱形？请说明理由；
③四边形AEBD是正方形？请说明理由．
36．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE，CF.
（1）如图1，请你添加一个条件_____________，使得△BEH≌△CFH：
（2）如图2，在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，并给出证明.

参考答案
1．C
【分析】
连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得解．
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．D
【分析】
由平行四边形的判定定理依次判断即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠B=∠D，AD//BC，AD=BC，
∴AF//EC
∵AF=EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，故①符合题意；
∵AF//EC，，
∴四边形AFCE可能是平行四边形、也可能是等腰梯形，故②不符合题意；
如果∠BAE=∠FCD，则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=CE，
∵AF//CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，故③符合题意；
如果∠BEA=∠FCE，
∴AE//CF，
∵AF//CE，
∴四边形AFCE是平行四边形、故④符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定．灵活运用平行四边形的性质与判定定理是解答本题的关键．
3．B
【分析】
根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论．
解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；
④∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AO=CO，
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；
∵∠BCD+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
⑥∵∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，
∵∠DBA=∠CAB，
∴∠CDB=∠ACD，
∴OC=OD，
不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．B
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
解：A、∵，
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．D
【分析】
根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得．
解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题关键．
6．C
【分析】
由条件可先判定四边形ADEF为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案．
解：D、E、 F分别为AB、BC、AC的中点，
DE、 EF分别为△ABC的中位线，
DE//AF， EF//AB，
四边形ADEF为平行四边形，
若AB=AC即可求得四边形ADEF为菱形，故B选项可以，
当时，则可求得AB=AC，可得AD=AF，故A选项可以，
当AE是△ABC的角平分线时，可证得求得四边形ADEF为菱形，故D选项可以，
当AE=BC时，无法确定AB=AC，故C选项不可以，
要使四边形AEDF是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C，
故选．C．
【点拨】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
7．D
【分析】
先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可．
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBA，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠EBD，
∴∠EBD=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD=DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．C
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵▱ABCD中，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵▱ABCD中，∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质；熟记矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
10．B
【分析】
根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
解： A、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、时，∠BAD＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、时，平行四边形ABCD不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．
11．D
【分析】
由条件：四边形ABCD为平行四边形及DE=AD，可得四边形DBCE为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD
∵DE=AD
∴BC=DE
∵BC∥AD
∴BC∥DE
∴四边形DBCE是平行四边形
当AB=BE时，则由AB=CD得BE=CD，即四边形DBCE的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE是矩形；
当CE⊥DE时或时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE是矩形；
当时，则由AB∥CD，可知BE⊥CD，即的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．
12．C
【分析】
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
再由AB∥CD，AD=BC无法判断四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、由②AB∥CD，AD=BC；③AB=BC无法判断四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，属于中考常考题型．
13．A
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：四边形是平行四边形，
A、当时，它是菱形，选项不符合题意，
B、当时，它是菱形，选项不符合题意，
C、当时，它是矩形，选项不符合题意，
D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，
故选：．
【点拨】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
14．A
【分析】
利用作法得到AM=BM=AN=BN，则可判断四边形AMBN为菱形，然后根据正方形的判定方法对各选项进行判断．
解：由作法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴当OA=OM时，即AB=MN时，四边形AMNB为正方形．
故选：A．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了正方形的判定．
15．C
【分析】
从对角线的角度看，一个四边形需满足其两条对角线垂直、平分且相等才能判定是正方形，由于菱形的对角线已经垂直，所以要判定四边形BFDE是正方形，只需证明BD和EF相等且平分，据此逐项判断即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
A、若AE=CF，则OE=OF，但EF与BD不一定相等，所以不能判定四边形BFDE是正方形，本选项不符合题意；
B、若OE=OF，同样EF与BD不一定相等，所以不能判定四边形BFDE是正方形，本选项也不符合题意；
C、若∠EBD=45°，∵∠BOE=90°，∴∠BEO=45°，∴OE=OB，
∵AD=CD，∴∠DAE=∠DCF，又∵∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∴OE=OF，
∴EF=BD，∴四边形BFDE是正方形，本选项符合题意；
D、若∠DEF=∠BEF，由C选项的证明知OE=OF，但不能证明EF与BD相等，所以不能判定四边形BFDE是正方形，本选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查的是菱形的性质和正方形的判定，属于常考题型，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定方法是解题的关键．
16．A
【分析】
根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
解：A选项，四边形ABCD有可能是等腰梯形，故此选项错误，符合题意；
B选项，，，所以四边形ABCD是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意；
C选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意；
D选项，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了正方形的判定，矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理．
17．（答案不唯一）
【分析】
由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．
解：增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵DE=BF
∴OD-DE=OB-BF
即OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：DE=BF（答案不唯一）
【点拨】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．
18．
【分析】
由题意，可以用含t的代数式表示AP和BQ，令AP=BQ可得关于t的一元一次方程，解方程可得t的值．
解：当时间为t秒时，AP=tcm，BQ=BC-CQ=（15-2t）cm，
令AP=BQ得：t=15-2t，解得：t=5
故答案为5 ．
【点拨】本题考查平行四边形和一元一次方程的综合应用，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法是解题关键．
19．(答案不唯一)
【分析】
连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
20．BC＝DF
【分析】
先根据∠A=∠ABC=90°，判定BC∥DF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出结论．
解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥DF，
∴当BC＝DF时，四边形BDFC是平行四边形，
故答案为BC=DF.
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这是得出结论的依据，本题答案不唯一．
21．①③
【分析】
根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB=AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE=AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【点拨】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．
22．AB=CD
【分析】
本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是△ADB的中位线，同理，HF是△ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG=HF，因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．
解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG=HF=AB，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG=AB，又可同理证得EH=CD，
∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB=CD．
【点拨】本题考查了菱形的判定，运用的是菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
23．②
【分析】
当BA=BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA=DC即可解决问题．
解：当时，四边形ADCE是菱形．
理由：，，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵，
∴．
∵AD，CD分别平分和，
∴，
∴，
∴四边形ADCE是菱形．
故答案为：②.
【点拨】本题考查菱形的判断、平行四边形的判断和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．AC=BC
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ACDE，∴四边形ACED为平行四边形，当AC=BC时，则DE=EC，∴平行四边形ACED是菱形．故答案为AC=BC．
【点拨】本题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ACDE是解题的关键．
25．AD=BC（答案不唯一）
【分析】
可以根据“有一个角是90°的平行四边形是矩形”这一判定方法添加一条件使四边形ABCD是平行四边形即可.
解：若AD∥BC，AD=BC，
则：四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴此时平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）.
【点拨】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键.
26．2
【分析】
首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．
解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为2．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．
27．AC=BD或∠BAD=90°,∠ABC=90°,∠BCD=90°,∠ADC=90°(答出1个即可)
【分析】
根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出结果．
解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为AC=BD或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°．
【点拨】本题考查平行四边形的性质及矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
28．或
【分析】
根据矩形的判定定理即可求解.
解：因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
要判断平行四边形ABCD是矩形，
根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等．
故答案为∠A=90°或AC=BD．
【点拨】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是掌握：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析判断即可．
29．且
【分析】
根据条件先判定四边形为平行四边形，再由可判定其为菱形，最后由可得其为正方形．
解：满足的条件应为：且．
理由：∵，，，分别是边、、、的中点
∴在中，为的中位线
∴且
同理且
则且
∴四边形为平行四边形
又∵
∴
∴四边形为菱形
∵，
∴
∵
∴
∴
∴菱形是正方形．
故答案是：且
【点拨】本题考查了中点四边形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行线的判定与性质等，解题的关键是能利用中位线的性质得到且．
30．①或③
【分析】
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据正方形的判定定理逐一判定即可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形，
当∠BAD=90°时，四边形ABCD是正方形，故①符合题意，
当AB=BC时，不能判定四边形ABCD是正方形，故②不符合题意，
当AC=BD时，四边形ABCD是正方形，故③符合题意，
当AB=CD时，不能判定四边形ABCD是正方形，故④不符合题意，
∴能使得为正方形的有①或③，
故答案为：①或③
【点拨】本题考查菱形的判定及正方形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；熟练掌握判定定理是解题关键．
31．AC=BD（或四边形ABCD中任一个内角等于直角）
【分析】
根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD．
故答案为：AC=BD（或四边形ABCD中任一个内角等于直角）．
【点拨】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
32．①②或①④
【分析】
因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．
解：如图所示：
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
若AB=AD，
则四边形ABCD为正方形；
若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．
故答案是：①②或①④．
【点拨】考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：（1）先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；（2）先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
33．(1)见分析
(2)①②
【分析】
（1）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再由ADBC，得到∠D+∠BCD=180°，从而得∠B+∠BCD=180°，所以ABCD，即可得四边形ABCD是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得出结论；
（2）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再分别加条件①②，证四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形；加条件③，举反例，如铮形，满足条件，不能满足结论，即可说明加条件①②可以证明，加条件③不能证明．
解：(1)证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B=∠D，AB=AD，
∵ADBC，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解： ∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABC=∠ADC，AB=AD，
若选择的条件是①∠BAD＝∠BCD，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD =180°，
∴ADBC，ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故可选①；
若选择的条件是②AB＝CD；
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵AB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故可选②；
若选择的条件是③BC＝CD．
如图，铮形ABCD中，
△ABE≌△ADF，BC=CD≠AB，
四边形ABCD不是菱形，故选③不能证明四边形ABCD是菱形；
∴证明四边形ABCD是菱形，可以选择的条件是①②，
故答案为：①②．
【点拨】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
34．①③或②③
【分析】
选择的条件只要能证得四边形ABCD是矩形即可证明四边形OBEC是菱形.
解：选择①③时，
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
选择②③时，
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是菱形．
综上可得，选择的条件是①③或②③
【点拨】本题考查了菱形、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
35．(1)见分析 (2)①AB=AC；理由见分析；②AB⊥AC；理由见分析；③AB=AC且AB⊥AC；理由见分析
【分析】
（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再根据AD是△ABC的中线，即可证得．
（2）根据特殊四边形AEBD的性质，反推回关于AB、AC的条件，再正向证明即可．
解：(1)证明：∵AE//BD，AD//BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴AE=CD．
（2）①AB=AC
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ADCD，
∴∠BDA=90°．
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
②AB⊥AC
∵AB⊥AC，AD是△ABC的中线，
∴BD=AD．
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是菱形．
③AB=AC且AB⊥AC
∵AB=AC且AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角形
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=AD，BD⊥AD，
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是正方形．
【点拨】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用．
36．（1）BE∥CF(2)见分析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；
（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
解：（1）添加：BE∥CF，
∵BE//CF，
∴∠BEH=∠F，
又∵∠BHE=∠CHF，BH=CH，
∴△BEH≌△CFH（ASA）；
（2）BH=EH时，四边形BFCE是矩形，证明如下：
∵△BEH≌△CFH，
∴BE=CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF为平行四边形，
∵△BEH≌△CFH，
∴BH=CH，EH=FH，
∵BH=EH，
∴BH=CH=EH=FH，
∴BC=EF，
∴四边形BFCE是矩形.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．