三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之一次函数

这是一份三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之一次函数，共30页。


A．k＞0，b＜0B．k＞0，b＞0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
2．（2023•沈阳一模）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是（ ）
A．y＝﹣2x+3B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x﹣1
3．（2023•沈河区校级模拟）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2022•连山区一模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2022•大连三模）已知一次函数y＝kx+3的图象与x轴交于点A（3，0），则k的值为（ ）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
6．（2022•甘井子区校级模拟）一次函数y＝kx﹣2k的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，3）C．（0，﹣1）D．（3，﹣1）
7．（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
二．填空题（共8小题）
8．（2023•兴城市一模）如图，直线y＝kx+b经过（﹣2，0），（0，1）两点，则不等式kx+b＞0的解集为 ．
9．（2023•朝阳一模）如图，直线L1：y＝x+3与直线L2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是 ．
10．（2023•海州区校级一模）爸爸转电动车带着组弟俩去公园玩，根据规定爸爸骑电动车时一次只能搭载一名未成年人，为尽快到达公园又不违反交通法规，出发时，爸爸让始姐先步行，将弟弟载了一段路程后让其步行前往公园，并立即原路返回接步行的姐姐，结果与弟弟同时到达公图．如果姐弟俩步行的速度相同，爸爸一个人骑电动车的速度比搭载﹣名未成年人时的速度快5千米/时，爸爸与公园的距离S（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图所示，则爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是 km．
11．（2022•兴城市二模）将直线y＝2x+1向上平移3个单位长度，平移后的直线与y轴的交点坐标为 ．
12．（2022•苏家屯区一模）在正比例函数y＝﹣2x的图象上有三点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），则用“＞”号将y1，y2，y3连接起来的结果是 ．
13．（2022•营口一模）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（2，k）在第 象限．
14．（2021•铁东区模拟）若一次函数y＝（2k﹣8）x+1的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
15．（2021•葫芦岛二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y=33x上，若A1（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn．则Sn可表示为 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2023•皇姑区模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（16，0），与y轴交于点B（0，8），点C是AB上一点，四边形CDOE是矩形，点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且OD＝2OE，作直线OC．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）将矩形CDOE沿射线CB方向平移，点C，D，O，E的对应点分别为C′，D′，O′，E′，边C′E′始终平行于x轴．
①如图2，当点D′落在直线OC上时，△C′D′C的面积等于 ；
②如图3，点F（0，14）是y轴上一点，在平移过程中，连接FE′，FC′，直接写出FE′+FC′的最小值为 ．
17．（2023•大连二模）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
18．（2023•阜新模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价；
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共400件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
19．（2022•盘山县二模）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2022•和平区校级三模）实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的23，求点D的坐标；
（3）在y轴右侧是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．
21．（2021•和平区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为83的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为 ；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为363时，请直接写出此时点E的坐标为 ．
22．（2021•沈阳模拟）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
辽宁三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2023•灯塔市三模）若一次函数y＝kx﹣b（k≠0）的图象如图所示，则k，b满足（ ）
A．k＞0，b＜0B．k＞0，b＞0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可知，y随x的增大而减小，且函数图象与y轴交于负半轴，从而得到k和b的取值范围．
【解答】解：根据一次函数图象得，y随x的增大而减小，且函数图象与y轴交于负半轴，
所以：k＜0，﹣b＜0．
∴b＞0，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
2．（2023•沈阳一模）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是（ ）
A．y＝﹣2x+3B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x﹣1
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【解答】解：将函数y＝﹣2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是y＝﹣2x+1﹣2＝﹣2x﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
3．（2023•沈河区校级模拟）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
4．（2022•连山区一模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减大，可以得到k的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，b＞0，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（2022•大连三模）已知一次函数y＝kx+3的图象与x轴交于点A（3，0），则k的值为（ ）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，即可求得直线的解析式．
【解答】解：将A（3，0）代入y＝kx+3，
得，0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（2022•甘井子区校级模拟）一次函数y＝kx﹣2k的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，3）C．（0，﹣1）D．（3，﹣1）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由y随着x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，将各选项中的点的坐标代入一次函数解析式中求出k值，取k值为正的选项即可得出结论．
【解答】解：∵y随着x的增大而增大，
∴k＞0．
A．当点A的坐标为（1，1）时，k﹣2k＝1，
解得：k＝﹣1，
∴点A的坐标不可以是（1，1），选项A不符合题意；
B．当点A的坐标为（﹣1，3）时，﹣k﹣2k＝3，
解得：k＝﹣1，
∴点A的坐标不可以是（﹣1，3），选项B不符合题意；
C．当点A的坐标为（0，﹣1）时，﹣2k＝﹣1，
解得：k=12，
∴点A的坐标可以是（0，﹣1），选项C符合题意；
D．当点A的坐标为（3，﹣1）时，3k﹣2k＝﹣1，
解得：k＝﹣1，
∴点A的坐标不可以是（3，﹣1），选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的坐标，求出k值是解题的关键．
7．（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大可得答案．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵a﹣1＜a＜a+1，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
8．（2023•兴城市一模）如图，直线y＝kx+b经过（﹣2，0），（0，1）两点，则不等式kx+b＞0的解集为 x＞﹣2 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】x＞﹣2．
【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），
∴当x＞﹣2时，y＞0，
∴关于x的不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．运用了数形结合的思想．结合图象解不等式是解题的关键．
9．（2023•朝阳一模）如图，直线L1：y＝x+3与直线L2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是 x≤1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先把A（m，4）代入y＝x+3可得m的值，进而得到A点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：把A（m，4）代入y＝x+3得：m＝1，
则A（1，4），
根据图象可得不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故答案为：x≤1．
【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，关键是能根据函数图象得到正确信息．
10．（2023•海州区校级一模）爸爸转电动车带着组弟俩去公园玩，根据规定爸爸骑电动车时一次只能搭载一名未成年人，为尽快到达公园又不违反交通法规，出发时，爸爸让始姐先步行，将弟弟载了一段路程后让其步行前往公园，并立即原路返回接步行的姐姐，结果与弟弟同时到达公图．如果姐弟俩步行的速度相同，爸爸一个人骑电动车的速度比搭载﹣名未成年人时的速度快5千米/时，爸爸与公园的距离S（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图所示，则爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是 12.6 km．
【考点】一次函数的应用．
【专题】方程思想；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】12.6．
【分析】设姐姐，弟弟的步行速度为xkm/h，爸爸搭载一名未成年人时的速度为ykm/h，根据姐姐步行路程加上爸爸一个人骑车路程等于弟弟坐车路程，姐姐步行路程加上姐姐坐车路程等于6.6km列方程，可求出x，y的值，从而可得答案．
【解答】解：设姐姐，弟弟的步行速度为xkm/h，爸爸搭载﹣名未成年人时的速度为ykm/h，
根据图象可得：625y=925x+(925−625)(y+5)(35−925)y+925x=6.6，
解得：x=5y=20，
∴625y+（925−625）（y+5）+（35−925）y=35y+35=35×20+35=12.6，
∴爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是12.6km，
故答案为：12.6．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息列方程解决问题．
11．（2022•兴城市二模）将直线y＝2x+1向上平移3个单位长度，平移后的直线与y轴的交点坐标为 （0，4） ．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（0，4）．
【分析】利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与y轴的交点．
【解答】解：∵直线y＝2x+1向上平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝2x+1+3，即y＝2x+4．
当x＝0，则y＝4，
∴平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
12．（2022•苏家屯区一模）在正比例函数y＝﹣2x的图象上有三点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），则用“＞”号将y1，y2，y3连接起来的结果是 y1＞y2＞y3 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】y1＞y2＞y3．
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣3＜﹣1＜3，可得出y1＞y2＞y3．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）均在正比例函数y＝﹣2x的图象上，﹣3＜﹣1＜3，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13．（2022•营口一模）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（2，k）在第 一 象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】一．
【分析】因为在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，所以k＞0，所以点P（2，k）在第一象限．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（2，k）在第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．（2021•铁东区模拟）若一次函数y＝（2k﹣8）x+1的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＜4 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】k＜4．
【分析】根据一次函数的增减性得到关于k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2k﹣8）x+1的函数值y随x的增大而减小，
∴2k﹣8＜0，
∴k＜4，
故答案为：k＜4．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的增减性得到关于k的不等式．
15．（2021•葫芦岛二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y=33x上，若A1（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn．则Sn可表示为 22n﹣1 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．
【专题】常规题型；解题方法；能力层次．
【答案】Sn=22n−13．
【分析】根据条件容易判定所有阴影△是30°的直角三角形；相似比恰好是1：2．
【解答】解：根据条件知道正比例函数中的k=33是一个特殊数据，可以判断直线与x 轴的夹角是30°；
再据等边三角形条件，得到所有阴影△都是30°的直角三角形；
前一个阴影△的斜边恰好是第二个阴影△的最小直角边，故相似比恰好是1：2．
得到 S2：S1＝1：4； S3：S2＝1：4； …Sn=S1×4n−1=S1×22(n−1)．
在Rt△A2B1B2 中，∵∠B1B2A2＝30°，
∴S1=12×3×(A2B1)2=12×3×22=23．
所以 Sn=23×22(n−1)=22n−13．
故答案为：22n−13．
【点评】本题考查一次函数中特殊的k值与直线与x轴的夹角关系，直角三角形中特殊角（30°）涉及三边的数量关系；相似三角形性质（面积）的应用，
三．解答题（共7小题）
16．（2023•皇姑区模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（16，0），与y轴交于点B（0，8），点C是AB上一点，四边形CDOE是矩形，点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且OD＝2OE，作直线OC．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）将矩形CDOE沿射线CB方向平移，点C，D，O，E的对应点分别为C′，D′，O′，E′，边C′E′始终平行于x轴．
①如图2，当点D′落在直线OC上时，△C′D′C的面积等于 8 ；
②如图3，点F（0，14）是y轴上一点，在平移过程中，连接FE′，FC′，直接写出FE′+FC′的最小值为 16 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=−12x+8；
（2）C（8，4）；
（3）①8；
②16．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设C（t，−12t+8），根据OD＝2OE，可得方程t＝﹣t+16，求出t的值即可求C点坐标；
（3）①设矩形CDOE沿x轴负方向平移2t个单位，则沿y轴正方向平移t个单位，则平移后的点C'（8﹣2t，4+t），D'（8﹣2t，t），E'（﹣2t，4+t），O'（﹣2t，t），
将D'点坐标代入直线OC的解析式求出t的值，从而确定点的坐标，再求面积即可；
②作F点关于直线AB的对称点M，连接C'M，则C'M＝FC'，过点E'作NE'∥C'M，过点M作MN∥E'C'，E'N与MN交于N点当F、E'、N三点共线时，FE'+FC'的值最小，最小值为NF，连接FM交直线AB于点G，过G点作GH⊥y轴交于H点，可求G（−125，465），再由G点是M、F的中点，求出M（−245，225），N（−645，225），即可求FE′+FC′的最小值16．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴16k+b=0b=8，
解得k=−12b=8，
∴直线AB的解析式为y=−12x+8；
（2）设C（t，−12t+8），
∴OD＝t，OE=−12t+8，
∵OD＝2OE，
∴t＝﹣t+16，
解得t＝8，
∴C（8，4）；
（3）∵C（8，4），
∴E（0，4），
设矩形CDOE沿x轴负方向平移2t个单位，则沿y轴正方向平移t个单位，
∴平移后的点C'（8﹣2t，4+t），D'（8﹣2t，t），E'（﹣2t，4+t），O'（﹣2t，t），
①设直线OC的解析式为y＝k'x，
∴8k'＝4，
解得k'=12，
∴直线OC的解析式为y=12x，
∵D'落在直线OC上，
∴t=12（8﹣2t），
解得t＝2，
∴C'（4，6），D'（4，2），
∴△C′D′C的面积=12×C'D'×（8﹣4）=12×4×4＝8，
故答案为：8；
②作F点关于直线AB的对称点M，连接C'M，则C'M＝FC'，
过点E'作NE'∥C'M，过点M作MN∥E'C'，E'N与MN交于N点，
∴四边形E'C'MN是平行四边形，
∴NE'＝MC'，
∴FC'＝NE'，
∴FE′+FC′＝FE'+NE'≥NF，
当F、E'、N三点共线时，FE'+FC'的值最小，最小值为NF，
连接FM交直线AB于点G，过G点作GH⊥y轴交于H点，
由对称性可知，FG⊥AB，
∵∠FBG＝∠OBA，
∴tan∠FBG＝tan∠OBA＝2，
∴GF＝2GB，
∵F（0，14），B（0，8），
∴FB＝6，
在Rt△FBG中，FG=1255，GB=655，
∵GH⊥FB，
∴12×FG×GB=12×FB×GH，即1255×655=6GH，
解得GH=125，
∴G（−125，465），
∵G点是M、F的中点，
∴M（−245，225），
∴MN＝EB，MN∥EB，EB＝8，
∴N（−645，225），
∴NF＝16，
∴FE′+FC′的最小值16，
故答案为：16．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
17．（2023•大连二模）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）18千米/小时，0.5；
（2）y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）4.5千米．
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），
点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，9），B（2.5，27），
∴0.5k+b=92.5k+b=27，
解得：k=9b=4.5，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18．（2023•阜新模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价；
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共400件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）购入纪念册133件，吉祥物267件时，商店获得利润最高．
【分析】（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据“购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，根据总利润＝两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时m得值．
【解答】解：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，
根据题意得25x+20y=525020x+25y=6000，
解得x=50y=200，
答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（400﹣m）件，利润为w元，
根据题意得：w＝（65﹣50）m+（220﹣200）（400﹣m）＝15m+20（400﹣m）＝﹣5m+8000，
∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，
∴400﹣m≤2m，
解得m≥4003，
∵m为正整数，
∴m的最小值为133，
∵﹣5＜0，
∴当m＝133时，w有最大值，
此时，400﹣m＝400﹣133＝267（件），
购入纪念册133件，吉祥物267件时，商店获得利润最高．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
19．（2022•盘山县二模）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+1即可求得A、B的坐标；
（2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA＝OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB＝∠OBA＝45°，即可求得∠APE＝45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ＝90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP＝∠BPQ．
（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）QP＝QO；（ⅱ）QP＝QO；（ⅲ） 若PO＝PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，
令x＝0，则y＝0+1＝1，
∴A（0，1），
令y＝0，则0＝﹣x+1，
解得：x＝1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP＝∠BPQ．
理由如下：
过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE＝45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ＝90°，
∵∠AOP+∠OPE＝90°，
∴∠AOP＝∠BPQ．
（3）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如图，过P点PE⊥OA交OA于点E，
（ⅰ）若OP＝OQ，
则∠OPQ＝∠OQP，
∴∠POQ＝90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP＝QO，
则∠OPQ＝∠QOP＝45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y＝﹣x+1得x=12，
∴点P坐标为（12，12），
（ⅲ） 若PO＝PQ
∵∠OPQ+∠1＝∠2+∠3，
而∠OPQ＝∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠3＝∠4＝45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB＝OA＝1，
∴AP=2−1
由勾股定理求得PE＝AE＝1−22，
∴EO=22，
∴点P坐标为（1−22，22），
∴点P坐标为（0，1），（12，12）或（1−22，22）时，△OPQ是等腰三角形．
【点评】本题考查了一次函数综合题，解题的关键是要分类讨论，同时假设存在，能求出点的坐标，则存在，否则，不存在．
20．（2022•和平区校级三模）实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的23，求点D的坐标；
（3）在y轴右侧是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）（0，4）或（0，﹣4）；（3）平面内存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线l1的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，利用三角形的面积公式结合△OCD的面积是△AOC面积的23，可求出OD的长，进而可得出点D的坐标；
（3）设点E的坐标为（m，n），分OA为对角线、OC为对角线及AC为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点E的坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝2x＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（0，3），C（1，2）代入y＝kx+b，得：b=3k+b=2，
解得：k=−1b=3，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+3．
（2）当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵S△OCD=23S△AOC，即12×1×OD=23×12×2×OA，
∴OD=43OA＝4，
∴点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
（3）设点E的坐标为（m，n），分三种情况考虑（如图2）：
①当OA为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴m+1=0+3n+2=0+0，解得：m=2n=−2，
∴点E1的坐标为（2，﹣2）；
②当OC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴m+3=0+1n+0=0+2，解得：m=−2n=2，
∴点E2的坐标为（﹣2，2）（不合题意）；
③当AC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴m+0=3+1n+0=0+2，解得：m=4n=2，
∴点E3的坐标为（4，2）．
综上所述：平面内存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）利用两三角形面积间的关系，求出OD的长；（3）分OA为对角线、OC为对角线及AC为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点E的坐标．
21．（2021•和平区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为83的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为 （﹣6，0） ；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为363时，请直接写出此时点E的坐标为 （﹣24，﹣43）或（﹣30，63） ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】动点型；函数思想；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x；
（2）（﹣6，0）；
（3）（﹣24，﹣43）或（﹣30，63）．
【分析】（1）由题知直线OB过原点和B点，用待定系数法求解析式即可；
（2）根据平移速度求出平移距离即可求出C点坐标；
（3）分在x轴上移动和在AB边上运动两种情况计算出E点坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线OB过原点，
∴设直线OB解析式为y＝kx，
点B（﹣30，30）代入解析式，
得30＝﹣30k，
解得k＝﹣1，
∴OB的解析式为y＝﹣x；
（2）∵△CDE是边长为83的等边三角形，设DE边与x轴交于点F，
∴CF=CD2−DF2，
∵CD＝83，DF=12DE＝43，
∴CF＝12，
∵12+3×2＝18，△CDE向左移动了6个单位还在x轴上，
∴点C的坐标为（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）；
（3）①假设△CDE在x轴上移动，
此时△ACE的高一直为EF＝43，
∵S△ACE=12AC•EF＝363，
∴AC＝18，
∴OF＝OC+CF＝OA﹣AC+CF＝30﹣18+12＝24，
∴E点坐标为（﹣24，﹣43），
②假设△CDE在AB边上移动，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△CDE是边长为83的等边三角形，
∴EH=12DE＝43，CH=CE2−EH2=12，
又∵S△ACE=12AE•CH＝363，
∴12AE×12＝363，
解得AE＝63＞43，
∴点E在第二象限，
∴E（﹣30，63），
综上，点E的坐标为（﹣24，﹣43）或（﹣30，63），
故答案为（﹣24，﹣43）或（﹣30，63）．
【点评】本题考查了一次函数的几何应用、等边三角形的性质、平移的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题的关键．
22．（2021•沈阳模拟）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程的应用；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；
（2）①甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能；
②甲工程队平整52天，乙工程队平整2天，最低费用为107000元．
【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意得：12000x=9000x−500，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
解得x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元），
此时甲工程队平整52天，乙工程队平整2天，
答：甲工程队平整52天，乙工程队平整2天，最低费用为107000元．
【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型。