河南省南阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，保持卷面清洁，不折叠、不破损等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为，不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数的定义域为真数大于零，确定集合，再由分式不等式的解法，确定集合，然后根据集合交集的运算求解即可.
【详解】函数得定义域为：，则，
由不等式得：且，则，
则.
故选：A.
2. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】抽取的一年级学生的人数为，
故选：B
3. 三个实数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据分数指数幂运算化简，判断的范围，即可得答案.
【详解】由于，
，
故，
故选：B
4. 总体由编号为01，02，…， 20的20个个体组成．用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A. 08B. 14C. 16D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机数表，写出选出的前6个号码，即得答案.
【详解】由题意可得选出的前6个号码依次为，
故选出来的第6个个体的编号为16，
故选：C
5. Lgistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）
A. 35B. 36C. 40D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】得到方程，整理后两边取对数，求出.
【详解】，故，
两边取对数，，解得，
故约为.
故选：B
6. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是定义在上的偶函数判断函数的图象的对称性，再结合题意判断其单调性，进而根据可列相应不等式，即可求得答案.
【详解】由于是定义在上的偶函数，故，
则的图象关于直线对称；
对任意的，都有恒成立，
即对任意的，有，则，
故在上单调递减，根据对称性可知在上单调递增，
故由得，即，解得，
即不等式的解集为，
故选：C
7. 甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为，已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由独立事件的概率公式列方程组求解．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
8. 若函数有两个零点，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将函数零点转化为函数图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可判断A；结合图象可判断零点的范围，判断B；利用函数零点即相应方程的根可得，结合对数函数性质化简可得关于的等式，化简，可判断C，D.
【详解】对于A，令，即
则由函数有两个零点，
可知有两个根，
即函数的图象有2个交点，
作出函数的图象如图，

可知要使函数的图象有2个交点，需满足，
即，A错误；
对于B，由A的分析可知函数的图象有2个交点，
交点的横坐标即为，由于，结合图象可知，B错误；
对于C，D，由题意可知，
故，而，a的取值不确定，
但是的值必一正一负，
故，即，故，
C错误，D正确；
故选：D
【点睛】方法点睛：涉及到此类海水零点问题，一般方法是将零点转化为函数图象交点问题，关键在于要判断出零点的范围，继而结合方程的根以及对数函数性质化简即可求解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若集合有个元素，则的真子集的个数为
B. “，使”的否定是“，恒有”
C. 函数的最小值为
D. 函数的零点为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合子集与真子集的个数的判定方法，可判定A正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B错误；利用基本不等式，可判定C正确；根据函数零点的定义和求法，可判定D错误.
【详解】对于A中，若集合有个元素，根据集合子集与真子集的个数的判定方法，可得集合的真子集的个数为，所以A正确；
对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题. “，使”的否定是“，恒有”，所以B错误；
对于C中，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，所以C正确；
对于D中，令，解得或，所以 函数的零点为和，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，且，则下列式子可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.
【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：

则时，的关系有三种可能，分别是：，，.
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数一定是原始数据
B. 在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致
C. 若为相互独立事件，则
D. 若为互斥事件，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数、众数、中位数、极差和标准差的定义即可判断AB；根据相互独立事件和互斥事件的定义即可判断CD.
【详解】对于A，一组数据的中位数为，故A错误；
对于B，在统计学中，平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致，故B正确；
对于C，为相互独立事件，无法判断与的大小，故C错误；
对于D，由互斥事件的定义知，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数对任意恒有，且当时，，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 是定义在上的奇函数
C. 在上单调递增
D. 若对所有的恒成立，则实数
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A：根据赋值法求解即可；
选项B：赋值解得然后结合定义判断函数的奇偶性；
选项C：根据定义作差判断函数的单调性；
选项D：根据不等式恒成立，然后结合以及一次函数的性质求解不等式即可；
【详解】选项A：令，又，选项正确；
选项B：令
令则有是定义在上的奇函数，选项正确；
选项C：设则又当时，，则有
即即
在上单调递减，选项错误；
选项D：因为在上单调递减，且是定义在上的奇函数，
所以，
又对所有的恒成立，
所以即在恒成立，
将函数看成关于的一次函数，
则需，解得：或，选项正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为，方差为41；女生的平均身高为，方差为38．则该班所有学生身高的方差为______．
【答案】58
【解析】
【分析】运用样本方差公式进行求解即可.
【详解】设所有学生身高的平均数为，方差为，
因为高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为；女生的平均身高为，
所以，
因此，
故答案为：
14. ______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：8
15. 新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.1429、密率3.1416这6个数据的极差为______，分位数为______．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】根据已知条件，结合极差和百分位数的定义和求法，即可求解.
【详解】根据题意，所给的6个数据从小到大排列依次为：，，，，，，
所以这6个数据的极差为，
因为，所以第分位数为.
故答案：；.
16. 已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点定义，结合换元法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】函数的图象如下图所示：

令，函数可化为，
函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根，
当时，可有三个不相等的实根，
当时，可有四个不相等的实根，
当时，可有三个不相等的实根，
设的两根为，且，
若，方程无零根，不符合题意，
若，，由题意可知：
，
若，则有，此时，
这时，显然不满足，
综上所述：实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是把函数零点问题转化为方程的实根问题，运用数形结合思想.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合．
（1）在①，②这两个条件中选择一个作为已知条件，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）不论选①，还是选②，都要确定出集合A，根据对数函数单调性求得集合B，根据集合的交集运算即可求得答案；
（2）由题意可推出，分类讨论集合A，列出相应不等式组，即可求得答案.
【小问1详解】
选择①作为已知条件，
则，
又∵，
∴．
选择②作为已知条件，
则，
又∵，
∴．
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
由于，方程的根，
分三种情况讨论：
①当，即时：，不满足题设，舍去；
②当，即时：，
此时须满足，解得：；
③当，即时：，
须满足，无解；
综上：．
18. 已知函数．
（1）若对恒成立，求的取值范围；
（2）若函数的单调递增区间是，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将不等式变形为恒成立，借助于基本不等式求最值，即可求出的范围；
（2）令，结合复合函数的单调性可知单调增区间是，由二次函数的增减性即可求出的取值.
【小问1详解】
即对任意恒成立，
∴恒成立，
又∵，当且仅当，即时“=”成立，
故所求．
【小问2详解】
令，则在单调递增且，
又∵图象开口向上，对称轴为，
∵函数单调增区间是，
∴单调增区间是，
故．
19. 若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数．
（1）求事件“”的概率；
（2）求事件“方程有实数根”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法求解，先列出取两数的所有情况，再找出满足的情况，然后根据古典概型的概率公式求解即可，
（2）由题意可得，再根据对立事件的概率公式求解
【小问1详解】
设事件表示“”．
因为是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数．
所以样本点一共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
符合古典概型模型，事件包含其中3个样本点，
故事件发生的概率为
【小问2详解】
若方程有实数根，则需，即
记事件“方程有实数根”为事件，由（1）知，
故．
20. 对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．
（1）请判断函数是否为“倒戈函数”，并说明理由；
（2）若是定义在上的“倒戈函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）是“倒戈函数”，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由“倒戈函数”的定义可得方程有解，列方程可以直接求解判断；
（2）通过参变量分离转化为函数求最值问题.
【小问1详解】
函数是“倒戈函数”，理由如下：
由得：，
化简得：，解得：，
所以存在实数满足，
故函数是“倒戈函数”．
【小问2详解】
因为是定义在上“倒戈函数”，
所以关于的方程有解，
即有解，
等价于有解，
又因为，
所以
所以，
解得：．
所以.
21. 年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人．

（1）求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）
（2）根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到）
（3）根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）
【答案】（1），；频率分布直方图见解析
（2）分位数为个，中位数为个
（3）平均数为个，方差为．
【解析】
【分析】（1）根据频数与频率关系可构造方程求得，由此可补全频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图估计百分位数和中位数的方法直接求解即可；
（3）由频率分布直方图估计平均数和方差的方法直接求解即可.
【小问1详解】
由每周口罩使用个数在以上（含）的有人得：，解得：，
，
则频率分布直方图如下：
【小问2详解】
，，
分位数位于，设其为，
则，解得：，即估计分位数为个；
，，
中位数位于，设其为，
则，解得：，即估计中位数为个.
【小问3详解】
由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：（个），
方差为，
则所求平均数估计为个，方差估计为．
22. 已知函数的图像关于轴对称．
（1）求的值；
（2）若函数，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数定义结合对数运算求参；
（2）指数函数与二次函数的复合型，分类讨论求最值即可.
【小问1详解】
易知，且恒成立，
即恒成立，
化简得：对任意恒成立，所以，
解得．
【小问2详解】
由（1）知：，
∴，
令，
转化为求的最大值；
又因为函数的图象开口向上，对称轴，所以分两种讨论，
①当时，，
②当时，，
综上所求．
口罩使用数量
频率