河南省南阳市桐柏县2022-2023学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市桐柏县2022-2023学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（40分，每题5分）
1. 已知p：，q：，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（ ）
A. （3，5）B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】因为q是P的必要条件，所以，
解得，所以实数m的取值范围为.
故选：B
2. “”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由真子集列不等式组求解可得.
【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”，
∴，则或，解得．
∴实数a的取值范围为．
故选：D
3. 已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【详解】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
4. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．
【详解】画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．
故选：B．
【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
5. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据底数大于零且不为1得到在为减函数，根据的单调性得到，再根据真数大于零的要求得到实数的取值范围．
【详解】设， 在上是增函数，
，即，解得， 实数的取值范围是 ，
故选C．
【点睛】函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.对于与对数函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求.
6. 定义运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是（ ）
A. [－3，－2）B.
C. [－2，2]D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出f（x），并作出的图象，利用数形结合即可求解.
【详解】由定义可知，
作出函数f（x）的图象如图所示，要使函数恰有两个零点，
则函数的图象和直线有两个不同的交点，
由图象可知或，即实数c的取值范围为．
故选：D
7. 甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，甲乙丙三人数据中丙集中在6环，乙平均分散，甲分散在两边，所以丙最稳定，方差最小；甲最不稳定，方差最大；所以选A.
8. 现有如表所示的五项运动供选择，记试验F“某人运动的总时长大于或等于60min的运动组合方式”，则该试验中样本点的个数为（ ）
A. 7B. 6C. 10D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】运用分类的方法，对表格中满足大于等于60 的组合形式一一枚举即可.
【详解】试验F的样本空间为：由2种运动组成的有:，共7种；
由3种运动组成有：
， 共10种；
由4种运动组成的有： ， 共5种；
由5种运动组成有： 1种；
共有 个样本点；
故选：D.
二、多选题（20分，每题5分）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若集合，则
B. 若，则
C. “”是“”的充要条件
D. 已知，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据集合的包含关系，不等式的性质，充要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．
【详解】根据交集的定义,对任意的，一定有，因此A正确；
，，，B正确；
若，由不能得出，C错；
的否定是：，D错．
故选：AB．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的增区间是
B. 函数是偶函数
C. 函数的减区间是
D. 幂函数图象必过原点
【答案】BC
【解析】
【分析】由复合函数单调性、函数的奇偶性和幂函数知识进行判断即可.
【详解】对于A，由解得或，
∴定义域为，
令，则当时，单调递增，
令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，单调递减，当时，单调递增，
又∵定义域为，
∴由复合函数的单调性知，的增区间是，故选项A错误；
对于B，令，定义域为，，都有，
且，∴是偶函数，故选项B正确；
对于C，定义域为，
令，则当时，单调递减，
令，由A选项的判断过程，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知，的减区间是，故选项C正确；
对于D，幂函数的定义域为，其图象不过原点，故选项D错误.
故选：BC.
11. 已知函数（，且）的值域为，函数，，则下列判断正确的是（ ）
A.
B. 函数在上为增函数
C. 函数在上的最大值为2
D. 若，则函数在上的最小值为-3
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B，对函数化简后由对数函数的单调性进行判断，对于CD，由函数的单调性可求出函数的最值.
【详解】对于A，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，，
所以，所以A正确，
对于B，，，
由，可知和在上单调递减，
所以函数在上为减函数，所以B错误，
对于C，由选项B可知在上为减函数，所以，所以C正确，
对于D，由选项B可知在上为减函数，所以当时，
，所以D正确，
故选：ACD.
12. 设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则事件与一定不互斥
B. 若，则事件与一定对立
C. 若，则的值为
D. 若事件与相互独立且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.
【详解】， ,因为，
则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；
，,，事件与事件不一定对立，故B错误；
，,，则事件与不一定独立，所以 故C错误；
因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（20分，每题5分）
13. 已知奇函数是定义在上的减函数，且满足不等式，则不等式解集 ______ ．
【答案】（2， ）
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，结合减函数的性质进行求解即可.
【详解】因为是奇函数，
所以不等式等价为，
又是定义在上的减函数，
所以，即，解得，
即不等式解集为，
故答案为：．
14. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率是________．
【答案】
【解析】
【详解】假设正六边形的六个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个共有15种基本结果，所取四个点构成矩形四个顶点的结果数为3，所以概率为.
15. 碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据半衰期的定义求解即可.
【详解】根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的，则连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原来的.
故答案为：.
16. 设，则“”是“______”的充分条件，是“______”的必要条件．（答案不唯一，写出一组即可）
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】先解不等式，然后由包含关系可知.
【详解】由，得，所以“”是“”的充分条件，是“”的必要条件．（答案不唯一）
故答案为：，（答案不唯一）
四、解答题（70分，17—20每题10分，21，22每题15分）
17. 已知集合．
（1）若时，求；
（2）时，求a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）直接代入得到集合，利用并集含义即可得到答案；
（2）根据，而，则，解出即可.
【小问1详解】
时，，
或.
【小问2详解】
因为，又，∴
∴，故a的取值范围.
18. 已知函数，且.
（Ⅰ）若，求a的值.
（Ⅱ）若在上的最大值与最小值的差为1，求a的值.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据题意，代入数据，化简计算，即可得答案.
（Ⅱ）若，则为单调递增函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值；若，则为单调递减函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值，综合即可得答案.
【详解】（Ⅰ）因为，所以
所以，即，
解得或（舍）；
（Ⅱ）若，则上 为单调递增函数，
所以的最大值为，最小值为，
根据题意可得，
所以，所以，即，
解得或（舍）；
若，则上 为单调递减函数，
所以的最大值为，最小值为，
根据题意可得，
所以，所以，即，
解得或（舍）
综上，a的值为或.
19. 某公司为了解用户对其产品的满意程度，采用分层随机抽样的方法从A，B两个地区共抽取了500名用户，用户根据满意程度对该公司产品进行评分（满分100分），该公司将收集到的数据按照，，，进行分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知A地区用户约为40000人，B地区用户约为10000人．
（1）求该公司采用分层随机抽样的方法从A，B两个地区分别抽取的用户人数；
（2）估计B地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户的人数；
（3）估计A地区用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）从A，B两个地区抽取的用户人数分别为400和100；
（2）1000； （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样，样本比等于总体比求得抽取的用户人数;
（2）由频率分布图得出频率后可得所求人数;
（3）根据均值的定义求出，作差比较.
【小问1详解】
设从A，B两个地区抽取的用户人数分别为x，y，
则，
所以，，
所以该公司采用分层随机抽样的方法，从A，B两个地区抽取的用户人数分别为400和100；
【小问2详解】
由频率分布直方图，知B地区抽取的用户中，对该产品评分不低于80分的用户频率为，
所以估计B地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户人数为；
【小问3详解】
，理由如下：
由（1）知，
所以，
又，
，
所以，所以，所以
20. 某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．
（1）若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；
（2）若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？
【答案】（1）
（2）不会超过20%
【解析】
【分析】（1）设3个红球的编号为1,2,3，黑球为，黄球为，写出一次性摸出2个球的所有可能，结合古典概型公式即可求解.
（2）写出从袋中连续取两次球，每次取一球后放回，则所有包含的基本事件，结合古典概型概率公式，从而可求出取出的两个球中没有红球，即可判断.
【小问1详解】
3个红球的分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b．
从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个，
有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为．
【小问2详解】
从袋中连续取两次球，每次取1球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个，
取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个，
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为，
所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%．
21. 如图，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a＞2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地EFGH面积为y．
（1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值．
【答案】（1），其中定义域为
（2）当时，则时绿地面积取最大值；
当时，则时绿地面积取最大值.
【解析】
【分析】(1)求得，，利用化简即可求解；
(2)通过（1）可知的图象开口向下的抛物线，且对称轴为，
比较对称轴与的大小关系结合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
由，依题意知：，
，则，
所以，
由题意知：，解得：，
所以，其中定义域为.
【小问2详解】
由（1）知：，
图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，即时，则在处函数取最大值；
当时，即时，函数在上单调递增，则在处函数取最大值；
综上所述：当时，则时绿地面积取最大值；
当时，则时绿地面积取最大值.
22. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；
（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；
（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（Ⅰ）当时，，
对称轴为：，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；
则，
所以在区间上的值域为；
（Ⅱ）由，
令，可得，
即，
令，，，
函数在区间内有且只有一个零点，
等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；
①当时，在上递减，
在上递增，
而，
所以函数与的图象在内有唯一交点.
②当时，图象开口向下，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，
即，
解得，
所以.
③当时，图象开口向上，
对称轴，
在上递减，
在上递增，
与图象在内有唯一交点，
，
即，
解得，
所以.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7：00~8：00
8：00~9：00
9：00~10：00
10：00~11：00
11：00~12：00
30 min
20 min
40 min
30 min
30 min