第5章 二次函数（解答题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版）

这是一份第5章 二次函数（解答题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版），共53页。试卷主要包含了之间的函数关系如图所示，的函数关系如图所示，的“﹣2级变换点”，定义等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•淮安）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
二．二次函数的应用（共5小题）
2．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
4．（2023•泰州）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？
5．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
6．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
三．二次函数综合题（共14小题）
7．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
8．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
9．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
10．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
11．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．
（1）b＝ ；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
12．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
13．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
14．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
15．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．
16．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．
17．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
18．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
19．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
20．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
第5章 二次函数（解答题中考经典常考题）
参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2023•淮安）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），
①b的值是 ﹣2 ，点B的坐标是 （﹣1，0） ；
②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．
【答案】（1）①：﹣2；（﹣1，0）；②﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）t＜﹣；（3）n＝﹣5，b＝﹣3，m≤﹣．
【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．
∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴解得，x＝﹣1或x＝3．
∴B（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；（﹣1，0）．
②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上．
∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜﹣．
（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，
∴对称轴x＝﹣＝．
∴b＝﹣3．
∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．
∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5．
由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，
∴m≤﹣．
二．二次函数的应用（共5小题）
2．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
【答案】（1）y＝；
（2）当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y＝；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30﹣m≥24，
解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
4．（2023•泰州）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？
【答案】（1）当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
（3）当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．
【解答】解：（1）根据题意，当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝800×20＝16000，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30，
∴y＝x（﹣0.01x+30）＝﹣0.01x2+30x＝﹣0.01（x2﹣3000x）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500，
∵﹣0.01＜0，1000≤x≤1750，
∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
（3）①当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，
∴﹣0.01（x﹣1500）2+22500＝22100，
解得x1＝1700，x2＝1300；
②当一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售，
设此时函数解析式为y＝kx，
由（2）知，当x＝1750时，y＝﹣0.01（1750﹣1500）2+22500＝21875，
∴B（1750，21875），
把B的坐标代入解析式得：21875＝1750k，
解得k＝12.5，
∴当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y＝12.5x，
当y＝22100时，则22100＝12.5x，
解得x＝1768
综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．
5．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为10m，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
6．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
三．二次函数综合题（共14小题）
7．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ 1 ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【答案】（1）①1；②菱形的边长为；③n﹣m是为定值，n﹣m＝1；
（2）m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝．
【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，
∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，
∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，
∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1），
把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，
故答案为：1；
②设BC交y轴于E，如图：
设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t，
∵B，C关于y轴对称，
∴BE＝CE＝t，
∴B（﹣t，t2），
∴OE＝t2，
∵AE＝＝t，
∴OA＝OE+AE＝t2+t，
∴D（2t，t2+t），
把D（2t，t2+t）代入y＝x2得：
t2+t＝4t2，
解得t＝或t＝0（舍去），
∴菱形的边长为；
③n﹣m是为定值，理由如下：
过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图：
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，m2），D（n，n2），
∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，
∵∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，
∴m＝n2﹣n﹣m2，
∴m+n＝（n﹣m）（n+m），
∵点B、D在y轴的同侧，
∴m+n≠0，
∴n﹣m＝1；
（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，am2），D（n，an2），
①当B，D在y轴左侧时，如图：
∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n﹣m）（n+m），
∵m+n≠0，
∴n﹣m＝；
②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图：
∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∴m+n＝0或n﹣m＝；
③当B，D在y轴右侧时，如图：
∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，
∴m＝an2﹣n﹣am2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∵m+n≠0
∴n﹣m＝；
综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝．
8．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，k＝±；
（2）证明见解答；
（3）0＜n≤1且n≠1/6．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，
则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，
则y1﹣y2＝m2﹣2+﹣m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝，
∵x≥0，
则﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠，
即0＜n≤1且n≠；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
9．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， ① 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
【答案】（1）①；
（2）b＝5或﹣3；
（3）n的值为1或﹣﹣1或．
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），
∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，
故答案为：①；
（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），
∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
设B（x′，0），
则x′（﹣c）＝，
∴x′＝﹣，
∴B（﹣，0），
∴OB＝||，OA＝c，
∵OB＝OA，
∴||＝c，
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，
∴，
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，
∴，
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1，
∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n＜0，
∴n＝﹣﹣1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，
∴，
∴n＝，
综上所述，n的值为1或﹣﹣1或．
10．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】（1）（1，6）；（2）∠BCD＝90°时，L2：y＝﹣x2+2x++3；当∠BDC＝90°，L2：y＝﹣x2+2x﹣3；（3）．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线L1的顶点坐标P（1，﹣4），
∵m＝1，点P和点D关于直线y＝1对称，
∴点D的坐标为（1，6）；
（2）∵抛物线L1的顶点P（1，﹣4）与L2的顶点D关于直线y＝m对称，
∴D（1，2m+4），抛物线L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，
∴当x＝0时，C（0，2m+3），
①当∠BCD＝90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，
∵D（1，2m+4），
∴N（0，2m+4），
∵C（0，2m+3），
∴DN＝NC＝1，
∴∠DCN＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵直线l∥x轴，
∴∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°，BO＝CO，
∵m≥﹣3，
∴BO＝CO＝（2m+3）﹣m＝m+3，
∴B（m+3，m），
∵点B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵当m＝﹣3时，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此时，点B和点C重合，舍去，当m＝0时，符合题意；
将m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，
②当∠BDC＝90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，
同理，BT＝DT，
∴D（1，2m+4），
∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，
∵DN＝1，
∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，
∴B（m+5，m），
∵当B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，
解得m＝﹣3或m＝﹣4，
∵m≥﹣3，
∴m＝﹣3，此时，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合题意；
将m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，
③易知，当∠DBC＝90°，此种情况不存在；
综上所述，L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；
（3）由（2）知，当∠BDC＝90°时，m＝﹣3，
此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，
当∠BCD＝90°时，m＝0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，
由题意得，EF＝FG＝CD＝，取EF的中点Q，
在Rt△CEF中可求得CQ＝EF＝，在Rt△FGQ中可求得GQ＝，
当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为．
11．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．
（1）b＝ ﹣1 ；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）b＝﹣1；
（2）k≤﹣3；
（3）P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．
【解答】解：（1）由题意得，
﹣2b﹣4＝0，
∴b＝﹣1；
（2）∵tan∠AOD＝，
∴设D（2t，5t），
∴，
∴t1＝﹣，t2＝4（舍去），
∴D（﹣1，﹣），
∵y＝﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，
∴新抛物线设为：y＝（x﹣m）2﹣，
∴﹣，
∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），
∴y＝（x+3）2﹣，
∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
∴k≤﹣3；
（3）如图，
作PV⊥CQ 于V，
设P（t，），
∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣t）2+（），
当x＝1时，y＝t2﹣2t﹣，
∴Q（1，t2﹣2t﹣），
∵＞0，
∴∠CPQ＝90°，
∵QV＝（t2﹣2t﹣）﹣（）＝﹣t，
CV＝（﹣t﹣4）﹣（﹣）＝﹣t+，
∴QV＝CV，
∴PV＝CV＝QV，
∴|t﹣1|＝，
∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），
当t＝3时，y＝32﹣3﹣4＝﹣，
∴P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．
12．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 ② （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
【答案】（1）②；
（2）①2；
②，；
（3）＞16．
【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，
∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；
②∵2x2﹣5x+2＝﹣，
∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，
∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，
∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，
∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，
∴2x2﹣3x﹣1＝0，
∴x＝或x＝．
故答案为：，．
（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，
x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，
∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，
∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．
13．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
【答案】（1）b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①EF的最大值为．
②点E的横坐标为2或．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x2+bx+c）的图象经过点B（4，）和点C（﹣1，），
∴，
解得b＝﹣3，c＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝（x2﹣3x﹣2）．
答：b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①如图1，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于G、H，
∵y＝（x2﹣3x﹣2），
∴A（0，﹣），
∴AD＝2，BD＝4，
∴AB＝2，
∴cs，
∴cs，
∴，
∴，
∵A（0，﹣），B（4，）
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线AB的解析式为y＝，
设E（m，），则G（m，），
∴，
∴当m＝2时，EG取得最大值，
∴EF的最大值为．
答：EF的最大值为．
②如图2，已知，令AC＝，BC＝2，在BC上截取AD＝BD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
设CD＝x，则AD＝BD＝2﹣x，
则，
解得x＝，
∴tan∠ADC＝，即tan（2∠ABC）＝2，
如图3，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，
∵tan∠MFA＝tan∠CBA＝tan∠FEN＝，
设AM＝，MF＝2a，
1°当∠FAE＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴E（6a，），
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为6a＝2，
2°当∠FEA＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为，
综上，点E的横坐标为2或．
14．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 ．
【答案】（1）A（2，0），B（1，）；
（2）①∠EDA的大小保持不变；②线段BF的长度最大值为；
（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，得：
，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵y＝﹣＝，
∴顶点B的坐标为（1，）；
（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，
由已知可得：∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
由（1）可抛物线对称轴是直线x＝1，
∴OH＝1，
∴OB＝，
AB＝＝2，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AC＝BC＝AB＝2，
∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，
∵∠GBE＝60°，BG＝BE，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝∠GBE＝60°，BE＝GE，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝120°，
又∵∠DBE＝∠OBA+∠ABC＝120°，
∴∠DBE＝∠AGE，
∵∠BED+∠DEG＝∠GEA+∠DEG＝60°，
∴∠BED＝∠GEA，
∴△DBE≌△AGE（ASA），
∴DE＝AE，
又∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EDA＝60°，
即∠EDA的大小保持不变；
②∵△ADE和△AOB是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DBF＝∠EDA＝60°，
∠BDF+∠EDA＝∠AOD+∠OAD，
∴∠BDF＝∠OAD，
∴△AOD∽△DBF，
∴，
设OD＝x，则BD＝2﹣x，
，
∴BF＝，
∴当x＝1时（此时点D为OB的中点），BF取最大值；
（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，
∵OA＝OB＝AC＝BC＝AB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BC，
∵DN⊥BH，
∴OA∥BC∥DN，
∴∠EBM＝∠DNM，∠BEM＝∠NDM，
又∵DM＝EM，
∴△BEM≌△NDM（AAS），
∴DN＝EB，
∵AD＝AE，DM＝ME，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∴∠BME+∠HMA＝90°，
∵∠BME+∠BEM＝90°，
∴∠HMA＝∠BEM，
∴Rt△BME∽Rt△HAM，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴MH＝BH﹣BM＝，
∴DN＝BE＝，
∴S△BDE＝S△BDM+S△EBM＝＝；
故答案为：．
15．（2023•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．
（2）PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
【解答】解：（1）令y＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴A（2，0），B（4，0）．
答：点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．
（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴对称轴为x＝3．
设P（m，m2﹣6m+8），
∵PM⊥l，
∴M（3，m2﹣6m+8），
连接MT，则MT⊥PT，
∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，
即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m﹣3）2﹣r2，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则，
∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，
∵r＞0，
∴r＝1．
假设⊙M经过点N（3，2），则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方，
∴M（3，3），
∴m2﹣6m+8＝3，
解得m＝5或1，
∵m＞4，
∴m＝5．
②如图，当点M在点N的下方，
∴M（3，1），
∴m2﹣6m+8＝1，
解得，
∵m＞4，
∴，
综上所述，PM＝m﹣3＝2或，
∴当⊙M不经过点N（3，2）时，PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
答：PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
16．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1），
∴32+3m+1＝1，＝1，
解得m＝﹣3，k＝3，
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，反比例函数的解析式为y2＝（x＞0）；
（2）∵二次函数的解析式为y1＝x2﹣3x+1，
∴对称轴为直线x＝，
由图象知，当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，≤x＜3；
（3）由题意作图如下：
∵当x＝0时，y1＝1，
∴A（0，1），
∵B（3，1），
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与△BDE的面积相等，
∴CE＝DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x＝时，y2＝2，
∴E（，2）．
17．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4）；
（2）1+或1﹣或2+或2﹣；
（3）．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM＝MN，
∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，
解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，
∴P点横坐标为1+或1﹣或2+或2﹣；
（3）过Q点作QG∥BC，
∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得，
∴Q（，），
∴DQ＝．
18．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（2m+1，0），C（0，2m+1），∠OBC＝45°；
（2）m＝1；
（3）0＜m＜．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
又∵∠CAQ＞15°，
同法可得m＞，
∵m＞0，
∴0＜m＜．
19．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）②③；
（2）3或﹣1；
（3）≤n≤1．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2，，
∵2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，设A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1或n＝；
∴当≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
20．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案】【分析问题】（﹣3，4）或（3，4）；
【解决问题】小明的猜想正确，证明过程见解答；
【深度思考】存在，m＝4．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±＝±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±＝±，
∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．
∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，
∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），
∴＝m，
∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．
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