第1章 一元二次方程（中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年上学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版）

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A．5.76（1+x）2＝6.58B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58D．5.76x2＝6.58
2．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
3．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5%B．10%C．20%D．21%
4．（2021•盐城）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．2D．3
5．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
6．（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25
7．（2019•泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
8．（2019•盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
9．（2019•淮安）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＞1
二．填空题（共8小题）
10．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ．
11．（2023•泰州）关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根之和为 ．
12．（2023•镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝ ．
13．（2023•徐州）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
14．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
15．（2023•连云港）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
17．（2022•镇江）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
三．解答题（共3小题）
18．（2023•淮安）
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
19．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
20．（2023•盐城）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a＞b＞0，M＝，N＝，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较x2+1与2x﹣1的大小．
小华：∵（x2+1）﹣（2x﹣1）＝x2+1﹣2x+1＝（x﹣1）2+1＞0，
∴x2+1＞2x﹣1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
（2）比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”）
第1章 一元二次方程（中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年上学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．5.76（1+x）2＝6.58B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58D．5.76x2＝6.58
【答案】A
【解答】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．
故选：A．
2．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
3．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5%B．10%C．20%D．21%
【答案】B
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
3000（1+x）2＝3630，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为10%．
故答案为：B．
4．（2021•盐城）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是a＝1，一次项系数b＝﹣2，
∴由韦达定理，得
x1+x2＝2．
故选：C．
5．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
6．（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25
【答案】C
【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
7．（2019•泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【答案】C
【解答】解：由于Δ＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：C．
8．（2019•盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】A
【解答】解：
由根的判别式得，Δ＝b2﹣4ac＝k2+8＞0
故有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．（2019•淮安）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＞1
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣k）
＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
10．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3
＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3
＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3
＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3
＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3
＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2
＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，
∵x，y均为实数，
∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，
∴原式W≥﹣2，
即原式的W的最小值为：﹣2，
解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，
∵x为实数，
∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，
即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，
∴W≥﹣2，
∴W的最小值为：﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（2023•泰州）关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根之和为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：x2+2x﹣1＝0，
x1+x2＝﹣＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（2023•镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，
解得m＝5．
故答案为：5．
13．（2023•徐州）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故答案为：4．
14．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 k＜1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
15．（2023•连云港）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＜1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得Δ＝4﹣4a＞0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
16．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
17．（2022•镇江）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得：m＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共3小题）
18．（2023•淮安）
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【答案】生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m．
【解答】解：生态园的面积能为40m2，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设AB的长度为x m，则BC的长度为m，
由题意得：x•＝40，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝10，x2＝8，
∴生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m．
19．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；
（2）﹣1＜x＜3．
【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，
∴x＝＝，
∴，；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．
20．（2023•盐城）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a＞b＞0，M＝，N＝，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较x2+1与2x﹣1的大小．
小华：∵（x2+1）﹣（2x﹣1）＝x2+1﹣2x+1＝（x﹣1）2+1＞0，
∴x2+1＞2x﹣1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
（2）比较大小： ＜ ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】（1）M＞N；
（2）＜．
【解答】解：（1）M﹣N＝﹣＝＝＝，
∵3a＞b＞0，
∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0，
∴＞0，
∴M＞N；
（2）﹣＝＝﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
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