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第二十二章 二次函数（易错30题7个考点）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）
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这是一份第二十二章 二次函数（易错30题7个考点）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版），文件包含第二十二章二次函数易错30题7个考点原卷版docx、第二十二章二次函数易错30题7个考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
D．当﹣1＜x＜3时，y＜0
【答案】D
【解答】解：A、对称轴为直线x＝＝1，正确，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项错误；
C、一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3正确，故本选项错误；
D、应为当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确．
故选：D．
二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣，下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞B．b2﹣4ac＜0C．2b+c＞0D．4a﹣2b+c＜0
【答案】D
【解答】解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＜0，b＞0，∴abc＞0，错误；
B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，错误；
C、∵﹣＝﹣，
∴b＝a，
∵x＝1时，a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，错误；
D、∵图象与x轴交于左边的点在﹣2和﹣3之间，
∴x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，正确；
故选：D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a﹣b+c＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，所以①错误；
抛物线开口向上，则a＞0；对称轴在y轴右侧，x＝﹣＞0，则b＜0；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则c＜0，于是abc＞0，所以②正确；
当x＝﹣2，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，所以③正确；
抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以④正确；
x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而a﹣b+c＜0，则3a+c＜0，所以⑤错误；
a＞0，c＜0，则a﹣c＞0，所以⑥正确．
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
【答案】C
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 （4，33） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
四．二次函数的最值（共1小题）
6．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．顶点坐标（﹣1，﹣4）
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．线段AB的长为3
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【答案】A
【解答】解：由图可知，对称轴为﹣＝﹣1，b＝2；
c＝﹣3，
则函数解析式为y＝x2+2x﹣3．
其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
由图可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1；x2＝﹣3．
可知线段AB长为1﹣（﹣3）＝4，
由图可知当﹣3＜x＜1时，y＜0．
可见，只有A正确，
故选：A．
六．二次函数的应用（共4小题）
8．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
∴a（0﹣6）2+6＝0，解得a＝﹣，
∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，
即y＝﹣x2+2x．（0≤x≤12）
（2）当x＝6﹣0.5﹣2.5＝3（或x＝6+0.5+2.5＝9）时
y＝4.5＜5
故不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）设点A的坐标为（m，﹣m2+2m）
则OB＝m，AB＝DC＝﹣m2+2m
根据抛物线的轴对称，可得：OB＝CM＝m，
故BC＝12﹣2m，即AD＝12﹣2m
令L＝AB+AD+DC＝﹣m2+2m+12﹣2m﹣m2+2m＝﹣m2+2m+12＝﹣（m﹣3）2+15
故当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．
9．嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当6≤y≤10时可看成一条线段，当10≤y≤18时可看成抛物线P＝﹣y2+8y+m
（1）写出y与x之间的函数关系式
（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元/件？
（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额一总成本）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点（18，6）、（6，18）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
函数表达式为：y＝﹣x+24；
（2）当6≤y≤10时，同理可得：P＝10y，
由题意得：利润w＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24）＝45，
解得：x＝15或19（舍去19），
即：此时的售价为15；
（3）①当6≤y≤10时，w1＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24），
当x＝17时，w1有最大值为49万元；
②10≤y≤18时，把点（10，100）代入二次函数并解得：m＝40，
w2＝yx﹣P＝（24﹣x）2+（24﹣x）（x﹣8）﹣40＝﹣x2+x﹣，
当x＝﹣＝14时，w2的最大值为40万元，
49＞40，
故：x＝17元时，w有最大值为49万元．
10．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
（2）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣20x+1800（60≤x≤80），W＝﹣20x2+3000x﹣108000；（2）4480元．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（80﹣x）×20
＝﹣20x+1800，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1800（60≤x≤80）；
W＝（x﹣60）y
＝（x﹣60）（﹣20x+1800）
＝﹣20x2+3000x﹣108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W＝﹣20x2+3000x﹣108000；
（2）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，
∴76≤x≤78，
w＝﹣20x2+3000x﹣108000，
对称轴为x＝﹣＝75，
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，
∴x＝76时，W有最大值，最大值＝（76﹣60）（﹣20×76+1800）＝4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
11．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“精准扶贫”优惠政策，使贫困户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；过程见解答；（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元，过程见解答．
【解答】解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得 x1＝25，x2＝35．
∵35＞30，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
七．二次函数综合题（共19小题）
12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．②④
【答案】C
【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cs∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
13．如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S△ABC＝3，如果存在，请求出C点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝﹣x+3；（3）C（1，4）或C（2，3）．
【解答】解：（1）∵（1，4）是二次函数的顶点，
∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4．
又∵图象过点A（3，0），
∴代入可得4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4或y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3可知，B为（0，3）．
设直线AB的解析式为：y＝kx+t（k≠0），
将A（3，0）和B（0，3）代入可得k＝﹣1，b＝3
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（3）∵C在直线AB上方的抛物线上，
∴可设C（x，﹣x2+2x+3）其中x＞0，
过C作CD∥y轴，交AB于D点．
则D坐标为（x，﹣x+3），
又∵S△ABC＝3，
∴[（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）]×3＝3，
解得x1＝1，x2＝，2，代入﹣x2+2x+3得4或3．
∴C点坐标为（1，4）或（2，3）．
15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）1，3；
（3）E的坐标为（﹣1，2）；
（4）点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；
故答案为：1，3；
（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，
此时点E的坐标为（﹣1，2）；
（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
分三种情况：
①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；
②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；
③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；
综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （1，0） ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）；
（2）（1，0）；
（3）y＝x2﹣4x+3；
（4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i）当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点M（1，2）；
（3）点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点M（1，2）；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，
根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PC＝CD时，
则12+（t﹣3）2＝10，
解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），
∴P（1，6）；
②当CD＝PD时，
则10＝t2，
解得：t＝±，
∴P1（1，），P2（1，﹣）；
③当PC＝PD时，
则12+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝，
P（1，）；
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．
18．如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P的横坐标为3，求△BPC的面积；
（3）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标．
（4）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）S△BPC＝；
（3）S四边形ABPC的最大值为24，此时，点P的坐标为（2，6）；
（4）点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点B（4，0）、C（0，6），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+6，
∵点P的横坐标为3，
∴P（3，），
如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，
则E（3，），
∴PE＝﹣＝，
∴S△BPC＝S△BPE+S△CPE＝××（4﹣3）+××3＝；
（3）∵y＝﹣x2+x+6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A和点B（4，0）关于直线x＝1对称，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∵C（0，6），
∴OC＝6，
∴S△ABC＝AB•OC＝×6×6＝18，
如图2，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，﹣t2+t+6），则E（t，t+6），
∴PE＝﹣t2+t+6﹣（t+6）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝PE•（xB﹣xP）+PE•（xP﹣xC）＝×（﹣t2+3t）×4＝﹣t2+6t，
∴S四边形ABPC＝S△PBC+S△ABC＝﹣t2+6t+18＝﹣（t﹣2）2+24，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，S四边形ABPC有最大值，最大值为24．
此时，点P的坐标为（2，6）；
（4）由（2）知P（3，），B（4，0），
∵点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，
∴设M（m，0），N（n，﹣n2+n+6），
当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合，
则，
解得：，（此时点N与点P重合，舍去），
∴M（8，0）；
当BM、PN为对角线时，BM与PN的中点重合，
则，
解得：，，
∴M（﹣，0）或（，0）；
当BN、PM为对角线时，BN与PM的中点重合，
则，
解得：，（此时点N与点P重合，舍去），
∴M（0，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．
19．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．
【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）FG的最大值为：；
（3）或．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，而点D和点C关于直线x＝1对称，
∴D（2，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）记AD于y轴的交点为E，
当x＝0时，y＝x+1＝1，则E（0，1），
∴OA＝OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴∠EAO＝∠AEO＝45°，
过F作FN∥y轴交AD于N，
∴∠FNG＝45°，
∴△FGN为等腰直角三角形，
∴，
设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），
∴，
当时，FN有最大值，
∴FG的最大值为：；
（3）如图，当P在AM的右边，
记直线AM交y轴于R，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得 ，
解得 ，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2x+2＝2，则R（0，2），
设P（0，y），而四边形APQM为矩形，
∴∠RAP＝90°，
∴（2﹣y）2＝12+y2+12+22，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当P在AM的左边，
同理可得：（y﹣2）2＝（1﹣0）2+（4﹣2）2+（0﹣1）2+（y﹣4）2，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
20．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标是m，矩形ABCD的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x；
（2）当m＝1时，周长L有最大值10；
（3）点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）依题意得顶点P的坐标（2，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
把点M（4，0）代入解析式，
解得a＝﹣1，
所以y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x．
（2）∵点D的横坐标是m，
∴点D的纵坐标是﹣m2+4m，BC＝4﹣2m，
∴矩形ABCD的周长L＝2（﹣m2+4m+4﹣2m）＝﹣2（m﹣1）2+10，
∴当m＝1时，周长L有最大值10．
（3）①OM是平行四边形的边时：
点F的横坐标：2﹣4＝﹣2，
纵坐标：y＝﹣（﹣2）2+4×（﹣2）＝﹣12，
此时，点F（﹣2，﹣12）；
或点F的横坐标：2+4＝6，
纵坐标：y＝﹣62+4×6＝﹣12，
此时，点F（6，﹣12）．
②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，
∴EF都在抛物线的对称轴上，
∴点F与点P重合，
∴点F（2，4）．
综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
21．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）P（﹣2，0）；（3）存在，P（1，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得，
∴解析式y＝x2﹣x+1．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A 处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．
∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），
∴P（﹣2，0）．
（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，
∴∠OBP＝∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴，
即，
整理得a2﹣4a+3＝0，
解得a＝1或a＝3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；
（3）△CBF的最大面积为4，E（2，1）．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在抛物线y＝x2+bx+c上，则，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由：
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∴D（，0），且C（0，2），
∴CD＝＝，
∵点P在对称轴上，
∴可设P（，t），
∴PD＝|t|，PC＝，
当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；
当PC＝CD时，则有＝，解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝4，
此时P点坐标为（，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；
（3）当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
设直线BC解析式为y＝kx+s，由题意可得，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
∵点E是线段BC上的一个动点，
∴可设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m2+m+2），
∴EF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∴S△CBF＝×4•EF＝2[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S△CBF有最大值，最大值为4，
此时﹣x+2＝1，
∴E（2，1），即E为BC的中点，
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为（2，1）．
23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）m的值为2；
（3）点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，
把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，
解得m1＝2，m2＝0（舍去），
故m的值为2；
（3）∵S△ABP＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣＝3，
∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，
设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），
分两种情况：
①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，
∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，
解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），
∴Q（﹣4，﹣5）；
②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，
同理可得a＝1，
∴Q（1，0），
综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
24．如图1和图2，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x＝﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°，请求出点Q坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）点B的坐标为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，故点A（﹣3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则AC交函数对称轴于点M，则点M为所求，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝2，故点M（﹣1，2）；
（3）如图，设直线BQ交y轴于点H，作HG⊥BC于点G，
tan∠OCB＝，∠CBQ＝45°，
则设：BG＝HG＝x，则CG＝3x，
则BC＝BG+CG＝4x＝＝，解得x＝，
CH＝x＝，则点H（0，），
由点B、H的坐标可得，直线BQ的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝1（舍去）或﹣，
故点Q（﹣，）．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求△CDB的面积．
（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）（x﹣3）．
把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．
a＝﹣1．
故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，
∴BD2＝BC2+CD2．
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．
∴S△BCD＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．
（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），
根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，
又∵P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即 x2﹣3x+1＝0，
解得 x1＝，x2＝＜1 （舍去），
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P坐标为（，）．
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），
∴符合条件的点P坐标为（，） 或（2，3）．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值；
（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；y＝x﹣3；
（2），P（，﹣）；
（3）（2，﹣1）或（，），
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）如图1，
作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），
∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝×3×（﹣m2+3m）
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PAB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），
27．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A，C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx经过D，A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的P点的坐标．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）y＝﹣x2+x；
（3）P1（3，0），P2（3，﹣4）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∵直线y＝x与BC边相交于点D，
∴点D的纵坐标为3，
令y＝3，得3＝x，
解得：x＝4，
∴D（4，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3），A（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．
∵CB∥OA，
∴∠P1OM＝∠CDO，
∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．
∵x＝﹣＝3，
∴该点坐标为P1（3，0）．
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P2MO＝∠DOC，
∴Rt△P2OM∽Rt△DCO．
在△P2P1O和△DCO中，
，，
∴△P2P1O≌△DCO（AAS）．
∴CD＝P1P2＝4，
∵点P2位于第四象限，
∴P2（3，﹣4）．
∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3，0），P2（3，﹣4）．
28．已知一次函数y1＝﹣3x+3与x轴，y轴分别交于点A，B两点，抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）；
（1）若抛物线经过点B，求出抛物线的解析式；
（2）抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，第一象限一点M是抛物线上一动点，连接AM，BM，设点M的横坐标为t，四边形BOAM的面积为S，求出S与t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值是多少？
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；
（3）S＝﹣t2++（0＜t＜3），当t＝时，S有最大值是．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
将B（0，3）代入y2＝ax2﹣2ax+a+4中得：a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x﹣1）2+4，
当x＝1时，y2＝4，
∴抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；
（3）如图，连接OM，
当y＝0时，﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴A（1，0），
由题意得：M（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），
∴S＝S△OBM+S△AOM
＝•OB•xM+•OA•yM
＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）
＝﹣t2++（0＜t＜3）
＝﹣（t﹣）2+；
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S有最大值是．
29．已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C．∠BAC的平分线AD交y轴于点D．过点D的直线l与射线AC、AB分别交于点M、N．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当实数a＞﹣2时，求二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值；（可用含a的代数式表示）
（3）当直线l绕点D旋转时，试证明为定值，并求出该定值．
【答案】（1）x＝；
（2）当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；
（3）证明见解答过程，定值是．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为：x＝＝；
（2）①当a≤时，如图：
此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝a时取得，最大值为y＝﹣a2+a+3，
②当a＞时，如图：
此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝时取得，最大值为y＝4，
综上所述，当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；
（3）过M作ME⊥x轴于E，
在y＝﹣x2+x+3中令x＝0得y＝3，令y＝0得x1＝﹣，x2＝3，
∴A（﹣，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝，OC＝3，
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝60°，即∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交y轴于点D，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝1，
∴D（0，1），
①当M在线段AC上时，如图：
设AM＝a，AN＝b，则ON＝AN﹣OA＝b﹣，
∴N（b﹣，0），
设直线DN解析式为y＝kx+m，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：
，解得，
∴直线DN解析式为y＝x+1，
在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，
∴AE＝a，ME＝a，
∴OE＝﹣a＝，
∴M（，a），
将M（，a）代入y＝x+1得：
a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），
∴a+b＝ab，
∴＝+＝＝＝，
∴为定值，是；
②当M在线段AC延长线上时，如图：
设AM＝a，AN＝b，则ON＝OA﹣AN＝﹣b，
∴N（b﹣，0），
设直线DN解析式为y＝tx+n，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：
，解得，
∴直线DN解析式为y＝x+1，
在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，
∴AE＝a，ME＝a，
∴OE＝a﹣＝，
∴M（，a），
将M（，a）代入y＝x+1，得：
a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），
∴a+b＝ab，
∴＝+＝＝＝，
∴为定值，是；
综上所述，直线l绕点D旋转时，为定值，该定值是．
30．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，
则有
解得：，
∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）
S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；
（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CP∥AB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，
∴x＝，此时P（，3）．
∴线段BM上存在点P（ ，3）使△PCD为直角三角形．
当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO•P′D′，
即9+m2＝3（﹣2m+6），
∴m2+6m﹣9＝0，
解得：m＝﹣3±3，
∵1≤m＜3，
∴m＝3（﹣1），
∴P′（3﹣3，12﹣6）
综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
D．当﹣1＜x＜3时，y＜0
【答案】D
【解答】解：A、对称轴为直线x＝＝1，正确，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项错误；
C、一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3正确，故本选项错误；
D、应为当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确．
故选：D．
二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣，下列结论中，正确的是（ ）
A．abc＞B．b2﹣4ac＜0C．2b+c＞0D．4a﹣2b+c＜0
【答案】D
【解答】解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＜0，b＞0，∴abc＞0，错误；
B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，错误；
C、∵﹣＝﹣，
∴b＝a，
∵x＝1时，a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，错误；
D、∵图象与x轴交于左边的点在﹣2和﹣3之间，
∴x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，正确；
故选：D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a﹣b+c＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，所以①错误；
抛物线开口向上，则a＞0；对称轴在y轴右侧，x＝﹣＞0，则b＜0；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则c＜0，于是abc＞0，所以②正确；
当x＝﹣2，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，所以③正确；
抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以④正确；
x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而a﹣b+c＜0，则3a+c＜0，所以⑤错误；
a＞0，c＜0，则a﹣c＞0，所以⑥正确．
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
【答案】C
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 （4，33） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
四．二次函数的最值（共1小题）
6．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．顶点坐标（﹣1，﹣4）
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．线段AB的长为3
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【答案】A
【解答】解：由图可知，对称轴为﹣＝﹣1，b＝2；
c＝﹣3，
则函数解析式为y＝x2+2x﹣3．
其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
由图可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1；x2＝﹣3．
可知线段AB长为1﹣（﹣3）＝4，
由图可知当﹣3＜x＜1时，y＜0．
可见，只有A正确，
故选：A．
六．二次函数的应用（共4小题）
8．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
∴a（0﹣6）2+6＝0，解得a＝﹣，
∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，
即y＝﹣x2+2x．（0≤x≤12）
（2）当x＝6﹣0.5﹣2.5＝3（或x＝6+0.5+2.5＝9）时
y＝4.5＜5
故不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）设点A的坐标为（m，﹣m2+2m）
则OB＝m，AB＝DC＝﹣m2+2m
根据抛物线的轴对称，可得：OB＝CM＝m，
故BC＝12﹣2m，即AD＝12﹣2m
令L＝AB+AD+DC＝﹣m2+2m+12﹣2m﹣m2+2m＝﹣m2+2m+12＝﹣（m﹣3）2+15
故当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．
9．嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当6≤y≤10时可看成一条线段，当10≤y≤18时可看成抛物线P＝﹣y2+8y+m
（1）写出y与x之间的函数关系式
（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元/件？
（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额一总成本）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点（18，6）、（6，18）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
函数表达式为：y＝﹣x+24；
（2）当6≤y≤10时，同理可得：P＝10y，
由题意得：利润w＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24）＝45，
解得：x＝15或19（舍去19），
即：此时的售价为15；
（3）①当6≤y≤10时，w1＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24），
当x＝17时，w1有最大值为49万元；
②10≤y≤18时，把点（10，100）代入二次函数并解得：m＝40，
w2＝yx﹣P＝（24﹣x）2+（24﹣x）（x﹣8）﹣40＝﹣x2+x﹣，
当x＝﹣＝14时，w2的最大值为40万元，
49＞40，
故：x＝17元时，w有最大值为49万元．
10．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
（2）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣20x+1800（60≤x≤80），W＝﹣20x2+3000x﹣108000；（2）4480元．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（80﹣x）×20
＝﹣20x+1800，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1800（60≤x≤80）；
W＝（x﹣60）y
＝（x﹣60）（﹣20x+1800）
＝﹣20x2+3000x﹣108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W＝﹣20x2+3000x﹣108000；
（2）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，
∴76≤x≤78，
w＝﹣20x2+3000x﹣108000，
对称轴为x＝﹣＝75，
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，
∴x＝76时，W有最大值，最大值＝（76﹣60）（﹣20×76+1800）＝4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
11．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“精准扶贫”优惠政策，使贫困户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；过程见解答；（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元，过程见解答．
【解答】解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得 x1＝25，x2＝35．
∵35＞30，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
七．二次函数综合题（共19小题）
12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．②④
【答案】C
【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cs∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
13．如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S△ABC＝3，如果存在，请求出C点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝﹣x+3；（3）C（1，4）或C（2，3）．
【解答】解：（1）∵（1，4）是二次函数的顶点，
∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4．
又∵图象过点A（3，0），
∴代入可得4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4或y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3可知，B为（0，3）．
设直线AB的解析式为：y＝kx+t（k≠0），
将A（3，0）和B（0，3）代入可得k＝﹣1，b＝3
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（3）∵C在直线AB上方的抛物线上，
∴可设C（x，﹣x2+2x+3）其中x＞0，
过C作CD∥y轴，交AB于D点．
则D坐标为（x，﹣x+3），
又∵S△ABC＝3，
∴[（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）]×3＝3，
解得x1＝1，x2＝，2，代入﹣x2+2x+3得4或3．
∴C点坐标为（1，4）或（2，3）．
15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）1，3；
（3）E的坐标为（﹣1，2）；
（4）点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；
故答案为：1，3；
（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，
此时点E的坐标为（﹣1，2）；
（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
分三种情况：
①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；
②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；
③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；
综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （1，0） ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）；
（2）（1，0）；
（3）y＝x2﹣4x+3；
（4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i）当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点M（1，2）；
（3）点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点M（1，2）；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，
根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PC＝CD时，
则12+（t﹣3）2＝10，
解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），
∴P（1，6）；
②当CD＝PD时，
则10＝t2，
解得：t＝±，
∴P1（1，），P2（1，﹣）；
③当PC＝PD时，
则12+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝，
P（1，）；
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．
18．如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P的横坐标为3，求△BPC的面积；
（3）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标．
（4）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）S△BPC＝；
（3）S四边形ABPC的最大值为24，此时，点P的坐标为（2，6）；
（4）点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点B（4，0）、C（0，6），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+6，
∵点P的横坐标为3，
∴P（3，），
如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，
则E（3，），
∴PE＝﹣＝，
∴S△BPC＝S△BPE+S△CPE＝××（4﹣3）+××3＝；
（3）∵y＝﹣x2+x+6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A和点B（4，0）关于直线x＝1对称，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∵C（0，6），
∴OC＝6，
∴S△ABC＝AB•OC＝×6×6＝18，
如图2，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，﹣t2+t+6），则E（t，t+6），
∴PE＝﹣t2+t+6﹣（t+6）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝PE•（xB﹣xP）+PE•（xP﹣xC）＝×（﹣t2+3t）×4＝﹣t2+6t，
∴S四边形ABPC＝S△PBC+S△ABC＝﹣t2+6t+18＝﹣（t﹣2）2+24，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，S四边形ABPC有最大值，最大值为24．
此时，点P的坐标为（2，6）；
（4）由（2）知P（3，），B（4，0），
∵点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，
∴设M（m，0），N（n，﹣n2+n+6），
当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合，
则，
解得：，（此时点N与点P重合，舍去），
∴M（8，0）；
当BM、PN为对角线时，BM与PN的中点重合，
则，
解得：，，
∴M（﹣，0）或（，0）；
当BN、PM为对角线时，BN与PM的中点重合，
则，
解得：，（此时点N与点P重合，舍去），
∴M（0，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．
19．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．
【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）FG的最大值为：；
（3）或．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，而点D和点C关于直线x＝1对称，
∴D（2，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）记AD于y轴的交点为E，
当x＝0时，y＝x+1＝1，则E（0，1），
∴OA＝OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴∠EAO＝∠AEO＝45°，
过F作FN∥y轴交AD于N，
∴∠FNG＝45°，
∴△FGN为等腰直角三角形，
∴，
设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），
∴，
当时，FN有最大值，
∴FG的最大值为：；
（3）如图，当P在AM的右边，
记直线AM交y轴于R，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得 ，
解得 ，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2x+2＝2，则R（0，2），
设P（0，y），而四边形APQM为矩形，
∴∠RAP＝90°，
∴（2﹣y）2＝12+y2+12+22，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当P在AM的左边，
同理可得：（y﹣2）2＝（1﹣0）2+（4﹣2）2+（0﹣1）2+（y﹣4）2，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
20．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标是m，矩形ABCD的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x；
（2）当m＝1时，周长L有最大值10；
（3）点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）依题意得顶点P的坐标（2，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
把点M（4，0）代入解析式，
解得a＝﹣1，
所以y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x．
（2）∵点D的横坐标是m，
∴点D的纵坐标是﹣m2+4m，BC＝4﹣2m，
∴矩形ABCD的周长L＝2（﹣m2+4m+4﹣2m）＝﹣2（m﹣1）2+10，
∴当m＝1时，周长L有最大值10．
（3）①OM是平行四边形的边时：
点F的横坐标：2﹣4＝﹣2，
纵坐标：y＝﹣（﹣2）2+4×（﹣2）＝﹣12，
此时，点F（﹣2，﹣12）；
或点F的横坐标：2+4＝6，
纵坐标：y＝﹣62+4×6＝﹣12，
此时，点F（6，﹣12）．
②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，
∴EF都在抛物线的对称轴上，
∴点F与点P重合，
∴点F（2，4）．
综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
21．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）P（﹣2，0）；（3）存在，P（1，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得，
∴解析式y＝x2﹣x+1．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A 处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．
∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），
∴P（﹣2，0）．
（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，
∴∠OBP＝∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴，
即，
整理得a2﹣4a+3＝0，
解得a＝1或a＝3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；
（3）△CBF的最大面积为4，E（2，1）．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在抛物线y＝x2+bx+c上，则，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由：
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∴D（，0），且C（0，2），
∴CD＝＝，
∵点P在对称轴上，
∴可设P（，t），
∴PD＝|t|，PC＝，
当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；
当PC＝CD时，则有＝，解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝4，
此时P点坐标为（，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；
（3）当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
设直线BC解析式为y＝kx+s，由题意可得，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
∵点E是线段BC上的一个动点，
∴可设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m2+m+2），
∴EF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∴S△CBF＝×4•EF＝2[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S△CBF有最大值，最大值为4，
此时﹣x+2＝1，
∴E（2，1），即E为BC的中点，
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为（2，1）．
23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）m的值为2；
（3）点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，
把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，
解得m1＝2，m2＝0（舍去），
故m的值为2；
（3）∵S△ABP＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣＝3，
∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，
设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），
分两种情况：
①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，
∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，
解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），
∴Q（﹣4，﹣5）；
②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，
同理可得a＝1，
∴Q（1，0），
综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
24．如图1和图2，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x＝﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°，请求出点Q坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）点B的坐标为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，故点A（﹣3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则AC交函数对称轴于点M，则点M为所求，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝2，故点M（﹣1，2）；
（3）如图，设直线BQ交y轴于点H，作HG⊥BC于点G，
tan∠OCB＝，∠CBQ＝45°，
则设：BG＝HG＝x，则CG＝3x，
则BC＝BG+CG＝4x＝＝，解得x＝，
CH＝x＝，则点H（0，），
由点B、H的坐标可得，直线BQ的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝1（舍去）或﹣，
故点Q（﹣，）．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求△CDB的面积．
（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）（x﹣3）．
把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．
a＝﹣1．
故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，
∴BD2＝BC2+CD2．
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．
∴S△BCD＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．
（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），
根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，
又∵P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即 x2﹣3x+1＝0，
解得 x1＝，x2＝＜1 （舍去），
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P坐标为（，）．
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），
∴符合条件的点P坐标为（，） 或（2，3）．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值；
（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；y＝x﹣3；
（2），P（，﹣）；
（3）（2，﹣1）或（，），
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）如图1，
作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），
∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝×3×（﹣m2+3m）
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PAB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），
27．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A，C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx经过D，A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的P点的坐标．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）y＝﹣x2+x；
（3）P1（3，0），P2（3，﹣4）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∵直线y＝x与BC边相交于点D，
∴点D的纵坐标为3，
令y＝3，得3＝x，
解得：x＝4，
∴D（4，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3），A（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．
∵CB∥OA，
∴∠P1OM＝∠CDO，
∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．
∵x＝﹣＝3，
∴该点坐标为P1（3，0）．
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P2MO＝∠DOC，
∴Rt△P2OM∽Rt△DCO．
在△P2P1O和△DCO中，
，，
∴△P2P1O≌△DCO（AAS）．
∴CD＝P1P2＝4，
∵点P2位于第四象限，
∴P2（3，﹣4）．
∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3，0），P2（3，﹣4）．
28．已知一次函数y1＝﹣3x+3与x轴，y轴分别交于点A，B两点，抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）；
（1）若抛物线经过点B，求出抛物线的解析式；
（2）抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，第一象限一点M是抛物线上一动点，连接AM，BM，设点M的横坐标为t，四边形BOAM的面积为S，求出S与t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值是多少？
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；
（3）S＝﹣t2++（0＜t＜3），当t＝时，S有最大值是．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
将B（0，3）代入y2＝ax2﹣2ax+a+4中得：a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x﹣1）2+4，
当x＝1时，y2＝4，
∴抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；
（3）如图，连接OM，
当y＝0时，﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴A（1，0），
由题意得：M（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），
∴S＝S△OBM+S△AOM
＝•OB•xM+•OA•yM
＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）
＝﹣t2++（0＜t＜3）
＝﹣（t﹣）2+；
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S有最大值是．
29．已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C．∠BAC的平分线AD交y轴于点D．过点D的直线l与射线AC、AB分别交于点M、N．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当实数a＞﹣2时，求二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值；（可用含a的代数式表示）
（3）当直线l绕点D旋转时，试证明为定值，并求出该定值．
【答案】（1）x＝；
（2）当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；
（3）证明见解答过程，定值是．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为：x＝＝；
（2）①当a≤时，如图：
此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝a时取得，最大值为y＝﹣a2+a+3，
②当a＞时，如图：
此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝时取得，最大值为y＝4，
综上所述，当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；
（3）过M作ME⊥x轴于E，
在y＝﹣x2+x+3中令x＝0得y＝3，令y＝0得x1＝﹣，x2＝3，
∴A（﹣，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝，OC＝3，
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝60°，即∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交y轴于点D，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝1，
∴D（0，1），
①当M在线段AC上时，如图：
设AM＝a，AN＝b，则ON＝AN﹣OA＝b﹣，
∴N（b﹣，0），
设直线DN解析式为y＝kx+m，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：
，解得，
∴直线DN解析式为y＝x+1，
在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，
∴AE＝a，ME＝a，
∴OE＝﹣a＝，
∴M（，a），
将M（，a）代入y＝x+1得：
a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），
∴a+b＝ab，
∴＝+＝＝＝，
∴为定值，是；
②当M在线段AC延长线上时，如图：
设AM＝a，AN＝b，则ON＝OA﹣AN＝﹣b，
∴N（b﹣，0），
设直线DN解析式为y＝tx+n，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：
，解得，
∴直线DN解析式为y＝x+1，
在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，
∴AE＝a，ME＝a，
∴OE＝a﹣＝，
∴M（，a），
将M（，a）代入y＝x+1，得：
a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），
∴a+b＝ab，
∴＝+＝＝＝，
∴为定值，是；
综上所述，直线l绕点D旋转时，为定值，该定值是．
30．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，
则有
解得：，
∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）
S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；
（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CP∥AB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，
∴x＝，此时P（，3）．
∴线段BM上存在点P（ ，3）使△PCD为直角三角形．
当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO•P′D′，
即9+m2＝3（﹣2m+6），
∴m2+6m﹣9＝0，
解得：m＝﹣3±3，
∵1≤m＜3，
∴m＝3（﹣1），
∴P′（3﹣3，12﹣6）
综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．
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