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    专题2.8 二次函数重难点应用题归纳(六大题型)-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》(人教版)
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    专题2.8 二次函数重难点应用题归纳(六大题型)-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》(人教版)

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    这是一份专题2.8 二次函数重难点应用题归纳(六大题型)-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》(人教版),文件包含专题28二次函数重难点应用题归纳六大题型原卷版docx、专题28二次函数重难点应用题归纳六大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共52页, 欢迎下载使用。

    【题型1 运动类- 落地类型】
    【题型2 运动类- 最值类型】
    【题型3 经济类问题-与一次函数综合问题】
    【题型4 经济类问题-每每问题】
    【题型5 面积类问题】
    【题型6 拱桥类问题】
    【模型1:运动类】
    (1)落地模型
    最值模型
    【模型2:经济类】
    销售问题常用等量关系 :
    利润=收入-成本; 利润=单件利润×销量 ;
    【模型3:面积类】
    【模型4:拱桥类】
    一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.
    【题型1 运动类- 落地类型】
    【典例1】(2023•方城县一模)掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名女生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示,掷出时起点处高度为,当水平距离为3m时,实心球行进至最高点3m处.
    (1)求y关于x的函数表达式.
    (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生),投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m,此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分,请说明理由.
    【变式1-1】(2023•大连模拟)已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=﹣(x﹣1)2+4,则该同学此次投掷实心球的成绩是( )
    A.2mB.3mC.3.5mD.4m
    【变式1-2】(2022秋•牡丹区校级期末)校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高h(m)与水平距离x(m)之间的函数关系满足h=﹣x2+x+,则该运动员掷铅球的成绩是( )
    A.6mB.10mC.8mD.12m
    【变式1-3】(2022秋•西华县期中)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t﹣5t2,小球运动到最高点所需的时间是( )
    A.2sB.3sC.4sD.5s
    【变式1-4】(2023•静乐县一模)2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注,在半决赛中,梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门,此时,足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为h=﹣t2+bt.已知足球被踢出9s时落地,那么足球到达距离地面最大高度时的时间l为( )
    A.3sB.3.5sC.4sD.4.5s
    【变式1-5】(2023春•阳山县校级期中)在羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣x2+x+1的一部分(如图所示,水平地面为x轴,单位:m),则下列说法不正确的是( )
    A.出球点A离点O的距离是1 m
    B.羽毛球横向飞出的最远距离是3 m
    C.羽毛球最高达到 m
    D.当羽毛球横向飞出 m时,可到达最高点
    【变式1-6】(2023•沭阳县模拟)小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳,函数h=3.5t﹣4.9t2(t的单位:s,h的单位:m)可以描述他跳跃时重心高度的变化,则他起跳后到重心最高时所用的时间是 s.
    【题型2 运动类- 最值类型】
    【典例2】(2022秋•乐亭县期末)飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=60t﹣1.5t2,那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来( )
    A.10sB.20sC.30sD.40s
    【变式2-1】(2021秋•厦门期末)某种爆竹点燃后升空,并在最高处燃爆.该爆竹点燃后离地高度h(单位:m)关于离地时间t(单位:s)的函数解析式是h=20t﹣5t2,其中t的取值范围是( )
    A.t≥0B.0≤t≤2C.2≤t≤4D.0≤t≤4
    【变式2-2】(2023春•青秀区校级期末)某学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式为h=﹣t2+14t+3,当火箭升空到最高点时,距离地面 m.
    【变式2-3】(2023•襄阳模拟)某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是S=﹣0.25t2+8t,无人机着陆后滑
    行 秒才能停下来.
    【变式2-4】(2023•襄城区校级二模)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t﹣t2,飞机着陆至停下来共滑行 .
    【变式2-5】(2022秋•南岗区校级期中)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间t(单位:s)函数解析式y=﹣1.5t2+60t,在飞机着陆滑行中,最后4秒滑行的距离是 m.
    【题型3 经济类问题-与一次函数综合】
    【典例3】(2023春•双峰县月考)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品,根据物价部门规定:该产品每千克售价不得超过90元,在销售过程中发现的售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系,对应关系如下表:
    (1)求y与x的函数关系式;
    (2)该批发商若想获得4000元的利润,应将售价定为多少元?
    (3)该产品每千克售价为多少元时,批发商获得的利润w(元)最大?此时的最大利润为多少元?
    【变式3-1】(2023春•冷水滩区校级月考)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
    (1)求y与x之间的函数表达式;
    (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入﹣成本);
    (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
    【变式3-2】(2023•五华县校级开学)某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:
    (1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
    (2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
    (3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?
    【变式3-3】(2023•汉川市校级模拟)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).
    (1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值;
    (2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:m与t的函数关系为;y与t的函数关系如图所示.
    ①分别求出当0≤t≤50和50<t≤100时,y与t的函数关系式;
    ②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大?并求出最大值.(利润=销售总额﹣总成本)
    【变式3-4】(2023•广水市模拟)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).
    (1)求出w与x的函数关系式;
    (2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
    (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.
    【变式3-5】(2023•五华县校级开学)为了“创建文明城市,建设美丽家园”,我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化,一部分种草,剩余部分栽花,设种草部分的面积为x(m2),种草所需费用y1(元)与x(m2)的函数关系式为,其图象如图所示:栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000(0≤x≤1000).
    (1)请直接写出k1、k2和b的值;
    (2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元),请利用W与x的函数关系式,求出绿化总费用W的最大值;
    (3)若种草部分的面积不少于700m2,栽花部分的面积不少于100m2,请求出绿化总费用W的最小值.
    【题型4 经济类问题-每每问题】
    【典例4】(2022秋•莘县校级期末)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;
    (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?
    (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?
    【变式4-1】(2023•广西模拟)某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,销售单价为100元时,每月的销售量为50件,而销售单价每降低2元,则每月可多售出10件,且要求销售单价不得低于成本.
    (1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(不需要求自变量取值范围)
    (2)若使该商品每月的销售利润为4000元,并使顾客获得更多的实惠,销售单价应定为多少元?
    (3)超市的销售人员发现:当该商品每月销售量超过某一数量时,会出现所获利润反而减小的情况,为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元?
    【变式4-2】(2023•鄂伦春自治旗一模)某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具,若按每件50元销售,一个月可售出500件,销售价每涨1元,月销量就减少10件.设销售价为每件x元(x≥50),月销量为y件,月销售利润为w元.
    (1)写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式;
    (2)商店要在月销售成本不超过10000的情况下,使月销售利润达到8000元,销售价应定为每件多少元?
    (3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润?求出最大利润.
    【变式4-3】(2022秋•定远县期末)某宾馆有客房90间,当每间客房的定价为每天140元时,客房会全部住满.当每间客房每天的定价每涨10元时,就会有5间客房空闲.如果旅客居住客房,宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用.
    (1)请写出该宾馆每天的利润y(元)与每间客房涨价x(元)之间的函数关系式;
    (2)设某天的利润为8000元,8000元的利润是否为该天的最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大利润,并指出此时客房定价应为多少元?
    (3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润?
    【题型5 面积类问题】
    【典例5】(2022秋•蒙城县期末)如图,有长为24m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.
    (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围;
    (2)要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?
    【变式5-1】(2022秋•庄河市期末)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym2.
    (1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
    (2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大?最大为多少?
    【变式5-2】(2023•汶上县一模)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如图).
    (1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值;
    (2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?
    【变式5-3】(2023•凉山州模拟)2022年5月,教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中,要求以丰富开放的劳动项目为载体,培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为12米),另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域,并在如图所示的两处各留1米宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长28米,设矩形ABCD的一边CD长为x米.
    (1)矩形ABCD的另一边BC长为 米(用含的代数式表示);
    (2)若矩形ABCD的面积为63m2,求x的值;
    (3)当x为何值时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为多少平方米?
    【变式5-5】(2022秋•孟州市校级期末)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
    (1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池,且需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长;
    (2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?
    【变式5-6】(2023•青山区模拟)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD,如图1,再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒,底面为矩形EFGH,如图2.设小正方形的边长为x厘米.
    (1)若矩形纸板ABCD的一边长为90cm,
    ①当纸盒的底面积为1056cm2时,求x的值;
    ②求纸盒的侧面积的最大值;
    (2)当EH:EF=7:2,且侧面积与底面积之比为9:7时,求x的值.
    【变式5-9】(2023•青山区模拟)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD,如图1,再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒,底面为矩形EFGH,如图2.设小正方形的边长为x厘米.
    (1)若矩形纸板ABCD的一边长为90cm,
    ①当纸盒的底面积为1056cm2时,求x的值;
    ②求纸盒的侧面积的最大值;
    (2)当EH:EF=7:2,且侧面积与底面积之比为9:7时,求x的值.
    【题型6 拱桥类问题】
    【典例6】(2023•碑林区校级模拟)某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示,在图中建立的直角 坐标系(以AB中点为原点,抛物线对称轴所在直线为y轴)中,拱桥高度OC=5m,跨度 AB=20m.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)拱桥下,有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH(H,G分别在抛物线的左右侧上),已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m(EF在地面上,无需使用钢材),求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离.
    【变式6-1】(2023•晋中模拟)如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥,按如图所示建立坐标系,得到函数,在正常水位时水面宽AB=30米,当水位上升5米时,则水面宽CD=( )
    A.20米B.15米C.10米D.8米
    【变式6-2】(2023•丰润区二模)如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m,水面宽6m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是( )
    A.B.C.y=﹣3x2D.y=3x2
    【变式6-3】(2023•遵化市二模)如图是一款抛物线型落地灯筒示意图,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.5米,最高点C距灯柱的水平距离为1.6米,灯柱AB=1.5米,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为多少米( )
    A.3.2B.0.32C.2.5D.1.6
    【变式6-4】(2023•榆阳区二模)廊桥是我国古老的文化遗产,如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图.已知抛物线的函数表达式为,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是( )
    A.米B.10米C.米D.米
    【变式6-5】(2022秋•昆明期末)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m;如果水面下降4m,则水面宽度增加( )
    A.4mB.2mC.4mD.(4﹣4)m
    【变式6-6】(2023•中原区校级三模)一座抛物线型拱桥如图所示,当桥下水面宽度AB为20米时,拱顶点O距离水面的高度为4米.如图,以点O为坐标原点,以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)汛期水位上涨,一艘宽为5米的小船装满物资,露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m,宽为3m的矩形),若它恰好能从这座拱桥下通过,求此时水面的宽度(结果保留根号).
    【变式6-7】(2023•洛阳二模)某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,长方形的长AD=4m,宽AB=3m,抛物线的最高点E到BC的距离为4m.
    (1)按如图①所示的直角坐标系,抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示.求该抛物线的函数表达式;
    (2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②,在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m,求每个B型活动板房的成本是多少?(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)
    (3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n(元)定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大?最大利润是多少?
    售价x(元/千克)

    50
    60
    70
    80

    销售量y(千克)

    100
    90
    80
    70

    售价x(元/千克)
    50
    60
    70
    销售量y(千克)
    100
    80
    60
    时间x(天)
    1
    30
    60
    90
    每天销售量p(件)
    198
    140
    80
    20
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