专题2.3 二次函数的图像与性质（三）（六大题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型1 利用二次函数的性质判断结论】
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】
【题型3 二次函数的对称性的应用】
【题型4利用二次函数的性质求字母的范围】
【题型5 利用二次函数的性质求最值】
【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】
【典例1】关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3）
C．当x＞2时，y随x的增大而减小
D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，7）
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+3中a＝1＞0，
∴图象的图象开口向上，
∴对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，3），
∴函数有最低点（2，0），当x＞2时，y随x的增大而增大．
令y＝（x﹣2）2+3中的x＝0解得：y＝7，
∴A、B、C选项错误，不符合题意；
D选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-1】已知抛物线y＝2（x﹣3）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝3
C．抛物线的顶点坐标为（3，1）
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣3）2+1，
∴该抛物线的开口向上，故选项A正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x＝3，故选项B正确，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为（3，1），故选项C正确，不符合题意；
当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：D．
【变式1-2】下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（ ）
①开口方向向上；
②对称轴是直线x＝﹣4；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
故①正确，②错误，③正确；
令y＝0，即x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5，
∴抛物线开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣5，0），
∴当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，
故④正确，
综上所述，正确的有：①③④，
故选：C．
【变式1-3】已知点A（a﹣3，﹣3）与点B（2，b+1）关于y轴对称，则下列关于抛物线y＝ax2+bx+1的说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．a＝1，b＝﹣4
C．顶点坐标是（﹣2，﹣3）
D．当x＜2时，y随x减小而增大
【答案】C
【解答】解：∵点A（a﹣3，﹣3）与点B（2，b+1）关于y轴对称，
∴a﹣3+2＝0且﹣3＝b+1，
∴a＝1，b＝﹣4，故B正确，不符合题意；
∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+1开口向上，故A正确，不符合题意；
∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标是（2，﹣3），故C错误，符合题意；
∵抛物线y＝x2﹣4x+1开口向上，对称轴是直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x减小而增大，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】
【典例2】抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k的图象与性质，确定抛物线开口向上，对称轴为x＝2，
∴函数y＝a（x﹣2）2+k可取到最小值，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，
∵点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，A（﹣1，y1）到对称轴距离为2﹣（﹣1）＝3，B（3，y2）到对称轴距离为3﹣2＝1，1＜3，
∴B（3，y2）到对称轴距离比A（﹣1，y1）到对称轴距离近，
∴y1＞y2，
故选：A．
【变式2-1】已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时，则y1、y2、y3
的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【答案】B
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣2）2+2知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线x＝2．
由于点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上，且|2.5﹣2|＜|3﹣2|＜|4﹣2|，
所以y2＜y1＜y3．
故选：B．
【变式2-2】已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y1），B（4，y2）是抛物线上两点，若a＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较
【答案】B
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，
∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y2）到对称轴的距离为4﹣2＝2，
又∵2＜4，
∴点B（4，y2）到对称轴的距离近．
∴y1＜y2，
故选：B．
【变式2-3】已知抛物线：y＝mx2﹣2mx+8（m≠0），若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，0）均在该抛物线上，且x1＜﹣2＜x2＜4，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞0B．0＞y2＞y1C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1
【答案】D
【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx+8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线经过（4，0），
∴m＝﹣1，抛物线开口向下，
∴y＝﹣x2+2x+8，
∴点（﹣2，0）在抛物线上，
则x＜﹣2时，y＜0，﹣2＜x＜4时，y＞0，
∴x1＜﹣2＜x2＜4时，y1＜0＜y2，
故选：D．
【变式2-4】（2022•翔安区模拟）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a＞b＞cD．无法比较大小
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2+x+2＝（x+12）2+74，
∴抛物线的对称轴为直线x=−12，
∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），
∴点（3，c）离直线x=−12最远，（﹣1，b）离直线x=−12最近，
而抛物线开口向上，
∴c＞a＞b；
故选：A．
【变式2-5】（2022•于洪区一模）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−82×(−2)=2，
∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
【变式2-6】（2022春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，
∵0＜m＜n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【题型3 二次函数的对称性的应用】
【典例3】已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和点（﹣3，0），则该抛物线的对称轴为（ ）
A．y轴B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和点（﹣3，0），
∴抛物线对称轴为直线，
故选：B．
【变式3-1】已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（ ）
A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定
【答案】B
【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，
所以对称轴方程是x＝（12+4）÷2＝8．
故选：B．
【变式3-2】二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如：
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝0
【答案】B
【解答】解：∵当x＝﹣3与x＝﹣1时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣2．
故选：B．
【变式3-3】点A（0，5），B（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ）
A．（2，5）B．（2，4）C．（5，2）D．（4，2）
【答案】B
【解答】解：∵点A（0，5），B（4，5）的纵坐标相等，
∴点A（0，5），B（4，5）关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝2，
即直线x＝2，
∵抛物线的顶点在对称轴上，
∴顶点的纵坐标不等于5．
故选：B．
【变式3-4】已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＞8时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜4B．0＜x＜5C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5
【答案】C
【解答】解：表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＝0时，y＝8，
∴当x＝4时，y＝8，
∴当y＞8时，x的取值范围是x＜0或x＞4，
故选：C．
【变式3-5】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如表：
则该二次函数图象的对称轴为 x＝ ．
【答案】x＝．
【解答】解：由图表可知：x＝0时，y＝﹣6，x＝1时，y＝﹣6，
∴二次函数的对称轴为x＝＝，
故答案为：x＝．
【变式3-6】（2022•临安区模拟）已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤−32B．﹣2≤a≤﹣1C．﹣3≤a≤−32D．0≤a≤2
【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），
∴y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴当x=m+12时取最小值，
∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，
∴x=a+a+62=a+3时取最小值，
∴a+3=m+12，
∴m＝2a+5，
方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，
又函数过（a，b）和（a+6，b），
所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，
得出m＝2a+5
∵1≤m≤2，
∴1≤2a+5≤2，
解得﹣2≤a≤−32．
故选：A．
【变式3-7】（2022春•瓯海区月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x=1+20202=20212，
∴x＝2021和x=20212×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【题型4利用二次函数的性质求字母的范围】
【典例4】已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧，
∴，
解得，
故选：B．
【变式4-1】二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，m的取值取值范围是（ ）
A．m＞1B．﹣1＜m＜1C．m＞0D．﹣1＜m＜2
【答案】B
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴为：x＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
又∵﹣1＜x＜m时，y也随x的增大而增大，
∴﹣1＜m≤1，
∴﹣1＜m＜1．
故选：B．
【变式4-2】已知点A（n，y1）、B（n+2，y2）、C（x，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣3B．n＜﹣3C．n＜﹣2D．n＞﹣2
【答案】A
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵C为抛物线的顶点，
∴x0＝﹣2，
∵y0≥y1＞y2，
∴抛物线开口向下，
∵n＜m+2，y0≥y1＞y2，
∴当点A（n，y1）和B（n+2，y2）在直线x＝﹣2的右侧，则n≥﹣2；
当点A（n，y1）和B（n+2，y2）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣n＜n+2﹣（﹣2），解得n＞﹣3；
综上所述，m的范围为n＞﹣3．
故选：A．
【变式4-3】已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．m≥1D．m≤1
【答案】B
【解答】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧，
∴，
解得，
故选：B．
【变式4-4】二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m≥﹣1C．m≤1D．m＞1
【答案】C
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，
∵当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴m的取值范围是m≤1．
故选：C．
【变式4-5】抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），顶点坐标为（m，n），若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3B．m＜1C．m＞1D．m＞5
【答案】C
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（m，n），
∴抛物线对称轴为x＝m，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），y1＞y2＞n，
∴＜m，
∴m＞1，
故选：C．
【题型5 利用二次函数的性质求最值】
【典例5】已知直线y＝2x+t与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有两个不同的交点A（3，5）、B（m，n），且点B是抛物线的顶点，当﹣2≤a≤2时，m的取值范围是 m≤4或m≥4． ．
【答案】m≤2或m≥4．
【解答】解：由题意，将A（3，5）代入y＝2x+t，则t＝﹣1．
∴直线为：y＝2x﹣1．
∵在B（m，n）在直线y＝2x﹣1上，
∴n＝2m﹣1，B为（m，2m﹣1）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B，
∴抛物线解析式可以表示为y＝a（x﹣m）2+2m﹣1．
又A（3，5）在抛物线上，
∴5＝a（3﹣m）2+2m﹣1．
∴a（3﹣m）2＝6﹣2m＝2（3﹣m）．
即a（3﹣m）2＝2（3﹣m）．
∵A、B两点不同，
∴m≠3．
∴3﹣m≠0．
∴a（3﹣m）＝2．
∴m＝3﹣．
∵﹣2≤a≤2，且a≠0，
∴当﹣2≤a＜0时，可得m≥4；当0＜a≤2时，m≤2．
故答案为：m≤2或m≥4．
【变式5-1】二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：∵y＝﹣（x+5）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣5，﹣4），
∵a＝﹣1＜0，函数存在最大值，
∴当x＝﹣5时，最大值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【变式5-2】若实数a，b满足a+b2＝2b+1，则代数式a2﹣4a+2b2﹣4b﹣4的最小值为 ﹣10 ．
【答案】﹣10．
【解答】解：∵a+b2＝2b+1，
∴（b﹣1）2＝2﹣a，
∴2﹣a≥0，即a≤2，
∴b2＝2b+1﹣a，
∴a2﹣4a+2b2﹣4b﹣4
＝a2﹣4a+2（2b+1﹣a）﹣4b﹣4
＝a2﹣4a+2﹣2a﹣4
＝a2﹣6a﹣2
＝（a﹣3）2﹣11，
∵a的最大值为2，
∴代数式a2﹣4a+2b2﹣4b﹣4的最小值等于﹣10，
故答案为：﹣10．
【变式5-3】当m≤x≤m+1，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则m的值为 ﹣1或2 ．
【答案】﹣1或2．
【解答】解：在y＝x2﹣2x+1上，当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当m≤x≤m+1时，函数有最小值1，
结合函数图象可知，m＝2或m+1＝0，
∴m＝2或m＝﹣1，
【变式5-4】已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ﹣ ．
【答案】﹣．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．
故答案为：﹣．
【变式5-5】已知抛物线y＝x2﹣3x+2上任意一点P（m，n），则m﹣n的最大值为 2 ．
【答案】2
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+2上，
∴n＝m2﹣3m+2，
∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣2＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，m﹣n有最大值为2，
故答案为：2．
【变式5-6】已知实数x，y满足y＝﹣x2+3，则x+y的最大值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵y＝﹣x2+3，
∴x+y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，x+y有最大值，
故答案为：．
【变式5-7】已知实数a，b满足a2﹣3a﹣b+6＝0，则a+b的最小值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：由a2﹣3a﹣b+6＝0可得b＝a2﹣3a+6，
∴a+b＝a+a2﹣3a+6＝a2﹣2a+6＝（a﹣1）2+5，
∴a＝1时，a+b取最小值为5，
故答案为：5．
【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】
【典例6】若x2﹣2x+4y＝5，且﹣≤y≤，则x+2y在最小值为 ﹣ ，最大值为 ．
【答案】﹣，．
【解答】解：∵x2﹣2x+4y＝5，
∴y＝＝﹣（x﹣1）2+，
∴﹣≤﹣（x﹣1）2+≤，
∴﹣2≤x≤4．
∵x2﹣2x+4y＝5，
∴4y＝﹣x2+2x+5，
∴2（x+2y）＝2x+4y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴x+2y＝，
∵﹣2≤x≤4，
∴﹣≤x+2y≤，
故答案为：﹣，．
【变式6-1】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，
故﹣1+2+c＝﹣5，
故c＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【变式6-2】函数y＝x2﹣2ax﹣1在1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，
当a≤1时，则x＝1时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝1﹣2a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当a≥4时，则x＝4时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝16﹣8a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当1＜a＜4时，则x＝a时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝a2﹣2a2﹣1＝﹣5，解得a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
综上，实数a的值是2，
故答案为：2．
【变式6-3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ 3或 ．
【答案】3或．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故答案为：3或．
【变式6-4】若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ﹣4或2 ．
【答案】﹣4或2．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为﹣4或2．
【变式6-5】若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
【变式6-6】当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 0或3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故答案为：0或3．
【变式6-7】已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 1或2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
【变式6-8】已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为 ﹣5或 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2＝﹣4（x﹣）2﹣4m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝．
当＜0，即m＜0时，x＝0时y取最大值（如图1所示），
∴﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（不合题意，舍去）；
当0≤≤1，即0≤m≤2时，x＝时y取最大值（如图2所示），
∴﹣4m＝﹣5，
解得：m3＝；
当＞1，即m＞2时，x＝1时y取最大值（如图3所示），
∴﹣4+4m﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m4＝﹣1（不合题意，舍去），m5＝1（不合题意，舍去）．
综上所述，m的值为﹣5或．
故答案为：﹣5或．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
18
8
2
0
2
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…