2023-2024学年广东省珠海市香洲区容闳书院九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省珠海市香洲区容闳书院九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2−2x=0B. x+1=2C. x2+y=0D. x3+2x2=1
3.如果2是方程x2−3x+k=0的一个根，则常数k的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
4.“a是实数，a2≥0”这一事件是( )
A. 不可能事件B. 不确定事件C. 随机事件D. 必然事件
5.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是( )
A. x2+4=0B. x2−2x+1=0C. x2−x−3=0D. x2+2x=0
6.抛物线y=x2−9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是( )
A. 3B. 6C. 9D. 18
7.反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,3)，则此图象一定经过下列哪个点( )
A. (3,2)B. (−3,−2)C. (−3,2)D. (−2,−3)
8.如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是( )
A. 90°B. 30°C. 45°D. 60°
9.若A(−4,y1)，B(−3,y2)为二次函数y=x2+4x的图象上的两点，则( )
A. y1y2D. 不能确定
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc>0；
②b2−4ac>0；
③9a+3b+c>0；
④3a+c>0；
⑤若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，则1x1+1x2>0．
其中正确个数是( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如果关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个解是x=1，则2020−a−b=______．
12.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______．
13.将抛物线y=−2(x−1)2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是______．
14.小丽生日那天要照全家福，她和爸爸、妈妈随意排成一排，则小丽站在中间的概率是______．
15.如图，点P(x,y)在双曲线y=kx的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP=2，则该反比例函数的解析式为______．
16.如图，A点坐标为(2,3)，B点坐标为(0,−3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段A′B，则点A′坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根为−l，求m的值．
18.(本小题6分)
一名男生推铅球，其铅球运行的路线如图，是抛物线的一部分．当水平距离x为3米时，铅球的行进高度y达到最高2米．已知推出铅球的初始高度是32米．
(1)求铅球运行路线的解析式；
(2)求铅球推出的水平距离OA．
19.(本小题6分)
如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x，y．
(1)将△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△AB1C1，请在图中画出△AB1C1．
(2)画出△ABC关于点O对称的图形△A2B2C2．
20.(本小题8分)
某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？
21.(本小题8分)
小帅和小帆参加学校的“六一”减压活动，该活动场地有A、B两个入口，有C、D、E、F四个出口，活动规定：每位同学只能玩一次，且同学进入场地须随机选择一个入口进入，出场地须随机选择一个出口离开. (1)小帅从B入口处进入场地的概率为______ ；
(2)用树状图或列表法求小帆恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的概率．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx(m≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A，B，已知点A的坐标为(3,1)．
(1)求反比例函数解析式；
(2)根据图象直接写出当mx>kx时，x的取值范围；
(3)若点P为y轴上一动点，当△ABP的面积为4时，求点P的坐标．
23.(本小题10分)
如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)AB=______米(用含x的代数式表示)；
(2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
24.(本小题10分)
已知等边△OAB，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)经过AB的中点M，与OB边相交于点N．
(1)求B点坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)连接OM、MN，求△OMN的面积．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3)，点B在x轴的负半轴上，且OA=3OB．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在线段OC上是否存在一点M，使BM+ 22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.该方程符合一元二次方程定义，故本选项符合题意；
B.该方程未知数的次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程未知数的最高次为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x=2代入方程x2−3x+k=0得关于k的方程，然后解关于k的方程即可．
【解答】
解：∵2是一元二次方程x2−3x+k=0的一个根，
∴22−3×2+k=0，解得k=2．
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．
故选：D．
直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．
此题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.此方程的Δ=02−4×1×4=−16<0，方程没有实数根，不符合题意；
B.此方程的Δ=(−2)2−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C.此方程的Δ=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D.此方程的Δ=22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
计算出各选项中方程的判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】B
【解析】解：令y=0，即x2−9=0，解得x1=3，x2=−3，
∴A、B两点的坐标为(−3,0)，(3,0)，
∴A、B两点的距离=3−(−3)=6．
故选：B．
通过解方程x2−9=0得A、B两点的坐标为(−3,0)，(3,0)，从而得到A、B两点的距离．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
7.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,3)，
∴k=−2×3=−6，
A.3×2=6≠−6，图象不经过点(3,2)；
B.−3×−2=6≠−6，图象不经过点(−3,−2)；
C.−3×2=−6，图象经过点(−3,2)；
D.−2×−3=6≠−6，图象不经过点(−2,−3)；
∴C选项符合题意，
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据A点的坐标求出k值．
8.【答案】C
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵△BEC绕点C旋转至△DFC的位置，
∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°．
故选：C．
【分析】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，然后判断出△CEF是等腰直角三角形是解题的关键．
根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=x2+4x，
∴对称轴为x=−b2a=−42=−2，
∵−4<−3<−2，0∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y1>y2．
故选：C．
根据y=x2+4x得到对称轴为x=−b2a=−42=−2，结合−4<−3<−2，且y随x的增大而减小，得到y1>y2计算即可．
本题考查了抛物线的对称轴，增减性，熟练掌握对称性和增减性是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：结论①abc>0，
根据题意可得，a>0，c<0，
∵抛物线的对称轴为x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴b<0，
∴abc>0，故结论①正确；
结论②b2−4ac>0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故结论②正确；
结论③9a+3b+c>0，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x>1时，函数值随自变量的增大而增大，
∴当x=3是，y=9a+3b+c>0，故结论③正确；
结论④3a+c>0，
∵抛物线对称轴为x=−b2a=1，
∴b=−2a，
当x=−1时，y=a−b+c=a+2b+c=3a+c>0，故结论④正确；
结论⑤若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，则1x1+1x2>0，
∵抛物线与x轴有两个交点，−1∴x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，且a>0，b<0，c<0，
∵1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=−baca=−bc<0，
∴1x1+1x2>0错误，故结论⑤错误；
综上所述，正确的有①②③④，4个，
故选：C．
根据图象与对称轴可判定结论①；根据抛物线与x轴有两个交点，可判定结论②；根据函数图象当x=3时可判定结论③；根据抛物线的对称轴，x=−1时可判定结论④；根据函数与x轴有两个交点，韦达定理的知识可判定结论⑤；由此即可求解．
本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系，对称轴的计算方法，图象与x轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．
11.【答案】2019
【解析】解：把x=1代入方程ax2+bx−1=0，得a+b−1=0，
∴a+b=1，
∴2020−a−b=2020−(a+b)=2020−1=2019．
故答案为：2019．
利用一元二次方程解的定义得到a+b=1，然后把2020−a−b变形为2020−(a+b)，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】200(1+x)2=242
【解析】解：依题意得200(1+x)2=242．
故答案为：200(1+x)2=242．
利用第三天揽件数量=第一天揽件数量×(1+该快递店揽件日平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】y=−2(x+2)2+5
【解析】解：∵向左平移3个单位，则解析式中的x加3，向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2，
∴平移之后的解析式为：y=−2(x+3−1)2+3+2=−2(x+2)2+5．
故答案为：y=−2(x+2)2+5．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可算出正确结果．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟记平移规律是解决本题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：画树状图为：
由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中小丽站在中间的结果数为2，
所以小丽站在中间的概率=26=13．
故答案为：13．
先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】y=−4x
【解析】解：∵点P(x,y)在双曲线y=kx的图象上，PA⊥x轴，
∴xy=k，OA=−x，PA=y．
∵S△AOP=2，
∴12×AO⋅PA=2．
∴−x⋅y=4．
∴xy=−4，
∴k=xy=−4．
∴该反比例函数的解析式为y=−4x．
故答案为：y=−4x．
利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
16.【答案】(−6,−1)
【解析】解：作AD/​/y轴，CD//x轴，作A′C⊥CD于C，
∵∠A′BA=90°，
∴∠A′BC+∠ABD=90°，
∵∠A′BC+∠CA′B=90°，
∴∠CA′B=∠ABD，
又AB=A′B，∠C=∠D=90°，
∴△BDA≌△A′CB(AAS)，
∴BD=A′C，CB=AD，
∵A点坐标为(2,3)，B点坐标为(0,−3)，
∴BD=2，AD=6，
∴BC=6，A′C=2，A′E=3−2=1
∴A′(−6,−1)，
故答案为(−6,−1)．
作AD/​/y轴，CD//x轴，作A′C⊥CD于C，就可以得出△BDA≌△A′CB，就可以得出BD=A′C，CB=AD，由A的坐标就可以求出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
17.【答案】(1)证明：∵Δ=(m+2)2−4(2m−1)=(m−2)2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即Δ>0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
(2)解：根据题意，得：
(−1)2+1×(m+2)+(2m−1)=0，
解得，m=−23．
【解析】(1)根据关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0的根的判别式的符号来证明结论；
(2)根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0，即可求得m的值．
本题主要考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义．
18.【答案】解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+2，
把(0,32)代入上式得32=a(0−3)2+2，
解得a=−118，
则二次函数的解析式为：y=−118(x−3)2+2；
(2)由题意可得：−118(x−3)2+2=0，
解得x1=−3(舍去)，x2=9，
∴OA=9m，
则铅球推出的距离为9m．
【解析】(1)把(0,32)代入y=a(x−3)2+2，求出a的值即可；
(2)y=0，再解一元二次方程即可．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握顶点式法求函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△AB1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为x．
根据题意得50(1−x)2=40.5，
解得：x1=0.1，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
答：该商品连续两次下降的百分率为10%;
(2)设降价m元，利润为w元．
根据题意得w=(50−30−m)(48+8m)
=−8m2+112m+960
=−8(m−7)2+1352．
∴当m=7，即售价为43元时，可获最大利润1352元．
答：每天要想获得最大利润，则每件售价43元，最大利润为1352元．
【解析】(1)根据增长率(下降率)公式列出一元二次方程即可求解；
(2)根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式．
21.【答案】12
【解析】解：(1)小帅从B入口处进入场地的概率为12；
故答案为：12；
(3)画树状图为：
共有8种等可能的结果，小帆恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的结果数为2，
所以小帆恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的概率=28=14．
(1)直接根据概率公式计算；
(2)画树状图展示所有8种等可能的结果，找出小帆恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
22.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(3,1)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y=3x；
(2)由正比例函数与反比例函数的对称性可得B(−3,−1)，
故观察图象，当mx>kx时，x的取值范围是x>3或−3(3)∵一次函数y=mx(m≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A，B，已知点A的坐标为(3,1)，
∴B(−3,−1)，
∴S△ABP=12OP⋅(3+3)=4，
∴OP=43，
∴点P的坐标为(0,43)或(0,−43)．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)根据图象即可求得；
(3)根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据三角形面积公式得到S_△，即可求得P的坐标．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等，解答本题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23.【答案】解：(1)(51−3x)
(2)依题意，得：(51−3x)x=210，
整理，得：x2−17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10．
当x=7时，AB=51−3x=30>25，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51−3x=21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
(3)不可能，理由如下：
依题意，得：(51−3x)x=240，
整理得：x2−17x+80=0，
∵Δ=(−17)2−4×1×80=−31<0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．
【解析】解：(1)设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=49+2−3x=(51−3x)米，
故答案为：(51−3x)；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
(2)根据矩形围栏ABCD的面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
(3)根据矩形围栏ABCD的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−31<0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
24.【答案】解：(1)∵等边△OAB，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，
作BE⊥x轴，如图1，

∵∠AOB=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=12BO=4，OE= 82−42=4 3，
∴B(4 3,4)；
(2)∵M是AB的中点，A(0,8),B(4 3,4)，
∴M(2 3,6)，
代入y=kx(x>0)得到k=2 3×6=12 3，
∴反比例函数的解析式为y=12 3x(x>0)；
(3)作MC⊥x轴于C，ND⊥x轴于D，得到S△MOC=S△NOD=12k，如图2，

∵B(4 3,4)，
∴设直线OB为y=mx，代入(4 3,4)，
解得：m= 33，
∴直线OB为y= 33x，
∴y= 33xy=12 3x，
解得：x=6y=2 3或x=−6y=−2 3(舍去)，
∴N(6,2 3)，
∴S△OMN=S△OMC+S梯形MCDN−S△OND=S梯形MCDN=12(6+2 3)(6−2 3)=12．
【解析】(1)根据等边三角形的性质即可求得B的坐标；
(2)求出M的坐标，代入y=kx(x>0)即可求得k的值；
(3)作MC⊥x轴于C，ND⊥x轴于D，得到S△MOC=S△NOD=12k，求出OB的解析式，再联立方程组求出点N的坐标，再根据S△MON=S梯形MCDN即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得M、N的坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)OA=3OB=3，则点B(−1,0)，
设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，
∵点C(0,3)在抛物线上，
∴−3a=3，解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)过点P作y轴的平行线交CA于点H，P(x,−x2+2x+3)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x+3，则H(x,−x+3)，
△ACP的面积=12PH×OA=12×3×(−x2+2x+3+x−3)=32(−x2+3x)=−32(x−32)2+278，
当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P(32,154)；
(3)过点M作MN⊥AC，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴MN= 22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+ 22CM=BN最小，
∵BN⊥AC，则∠NBA=45°，
AB=4，
即BN= 22AB=2 2=AN，
则点N(1,2)，
由点B(−1,0)、N(1,2)的坐标得，直线BN的表达式为：y=x+1，
故点M(0,1)．
【解析】(1)OA=3OB=3，则点B(−1,0)，抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，即可求解；
(2)△ACP的面积=12PH×OA=12×3×(−x2+2x+3+x−3)=32(−x2+3x)，即可求解；
(3)故当B、M、N三点共线时，BM+ 22CM=BN最小，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．