2023-2024学年广东省珠海市香洲区容闳书院九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省珠海市香洲区容闳书院九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2−2x=0B. x+1=2C. x2+y=0D. x3+2x2=1
3.如果2是方程x2−3x+k=0的一个根，则常数k的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
4.“a是实数，a2≥0”这一事件是( )
A. 不可能事件B. 不确定事件C. 随机事件D. 必然事件
5.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是( )
A. x2+4=0B. x2−2x+1=0C. x2−x−3=0D. x2+2x=0
6.抛物线y=x2−9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是( )
A. 3B. 6C. 9D. 18
7.反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,3)，则此图象一定经过下列哪个点( )
A. (3,2)B. (−3,−2)C. (−3,2)D. (−2,−3)
8.如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是( )
A. 90°B. 30°C. 45°D. 60°
9.若A(−4,y1)，B(−3,y2)为二次函数y=x2+4x的图象上的两点，则( )
A. y1y2D. 不能确定
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc>0；
②b2−4ac>0；
③9a+3b+c>0；
④3a+c>0；
⑤若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，则1x1+1x2>0．
其中正确个数是( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如果关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个解是x=1，则2020−a−b=______．
12.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______．
13.将抛物线y=−2(x−1)2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是______．
14.小丽生日那天要照全家福，她和爸爸、妈妈随意排成一排，则小丽站在中间的概率是______．
15.如图，点P(x,y)在双曲线y=kx的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP=2，则该反比例函数的解析式为______．
16.如图，A点坐标为(2,3)，B点坐标为(0,−3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段A′B，则点A′坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根为−l，求m的值．
18.(本小题6分)
一名男生推铅球，其铅球运行的路线如图，是抛物线的一部分．当水平距离x为3米时，铅球的行进高度y达到最高2米．已知推出铅球的初始高度是32米．
(1)求铅球运行路线的解析式；
(2)求铅球推出的水平距离OA．
19.(本小题6分)
如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x，y．
(1)将△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△AB1C1，请在图中画出△AB1C1．
(2)画出△ABC关于点O对称的图形△A2B2C2．
20.(本小题8分)
某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？
21.(本小题8分)
小帅和小帆参加学校的“六一”减压活动，该活动场地有A、B两个入口，有C、D、E、F四个出口，活动规定：每位同学只能玩一次，且同学进入场地须随机选择一个入口进入，出场地须随机选择一个出口离开. (1)小帅从B入口处进入场地的概率为______ ；
(2)用树状图或列表法求小帆恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的概率．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx(m≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A，B，已知点A的坐标为(3,1)．
(1)求反比例函数解析式；
(2)根据图象直接写出当mx>kx时，x的取值范围；
(3)若点P为y轴上一动点，当△ABP的面积为4时，求点P的坐标．
23.(本小题10分)
如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)AB=______米(用含x的代数式表示)；
(2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
24.(本小题10分)
已知等边△OAB，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)经过AB的中点M，与OB边相交于点N．
(1)求B点坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)连接OM、MN，求△OMN的面积．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3)，点B在x轴的负半轴上，且OA=3OB．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在线段OC上是否存在一点M，使BM+ 22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.该方程符合一元二次方程定义，故本选项符合题意；
B.该方程未知数的次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程未知数的最高次为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x=2代入方程x2−3x+k=0得关于k的方程，然后解关于k的方程即可．
【解答】
解：∵2是一元二次方程x2−3x+k=0的一个根，
∴22−3×2+k=0，解得k=2．
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．
故选：D．
直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．
此题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.此方程的Δ=02−4×1×4=−160，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D.此方程的Δ=22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
计算出各选项中方程的判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ0，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x>1时，函数值随自变量的增大而增大，
∴当x=3是，y=9a+3b+c>0，故结论③正确；
结论④3a+c>0，
∵抛物线对称轴为x=−b2a=1，
∴b=−2a，
当x=−1时，y=a−b+c=a+2b+c=3a+c>0，故结论④正确；
结论⑤若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，则1x1+1x2>0，
∵抛物线与x轴有两个交点，−1