2024湖北省武昌实验中学高二下学期3月月月考试题数学含答案

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命题教师：李明刚 考试时间：2024年3月21日下午14:00—16:00
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，则 =（ ）
A．-6B．-3C．3D．6
2．已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
4．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．只有一个零点 B．恒成立
C．在处得到极大值 D．是上的增函数
10．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．是奇函数
11．已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A．B．
C．在上至少有2个零点D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的单调递减区间为 .
13．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 ．
14．若存在使对于任意不等式 恒成立，则实数的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数，直线l：与x轴交于点A．
(1)求过点A的的切线方程；
(2)若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
16．（15分）
已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)求函数在区间上的最大值．
17．（15分）
已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数．
18．（17分）
已知函数，.
(1)若函数在取极大值，求实数a的值；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
19．（17分）
给出下列两个定义：
I．对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II．对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.