2022-2023学年河南师范大学附属中学高一下学期6月月考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年河南师范大学附属中学高一下学期6月月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=1,2，b=−1,1，c=m,2，且a−2b⊥c，则实数m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 任意实数
2.设复数z的共轭复数z满足2−iz=1+i，则|z|等于
( )
A. 1B. 102C. 22D. 52
3.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为12π，则该圆锥的体积为
( )
A. 4πB. 4 3πC. 9 3πD. 12 3π
4.已知△ABC是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A. 3B. 32C. 1D. 32
5.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6∶5，为了解学生的视力情况，现要求按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n20的样本，若样本中男生比女生多9人，则n=( )
A. 990B. 1320C. 1430D. 1980
6.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A. ①用简单随机抽样法，②用分层随机抽样法
B. ①用简单随机抽样法，②用简单随机抽样法
C. ①用分层随机抽样法，②用简单随机抽样法
D. ①用分层随机抽样法，②用分层随机抽样法
7.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A. 112B. 512C. 712D. 56
8.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立，若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则选择去百花村的概率是
( )
A. 23B. 13C. 49D. 19
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是
( )
A. 若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形
B. 若△ABC为锐角三角形，有A+B>π2，则sinA>csB
C. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若sin2A+sin2B10.已知复数z满足z+2i1−i2=2+4i，则
( )
A. z=−2+iB. z= 5
C. z的虚部为−iD. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
11.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是
( )
A. 若m⊂α，则m⊥βB. 若m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C. 若，m⊥β，则m//αD. 若α∩β=m，n⊥m，则n⊥α
12.2019年4月，我省公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是( )
A. 选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%
B. 选物理的考生可报大学专业占47.53%
C. 选历史的考生大学录取率为2.83%
D. 选历史的考生可报大学专业占52.47%
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF，拼成一个大的正六边形GHMNPQ，若AB=AG=1，则BE⋅GD= ．
14.若复数z满足(2−i)z=i，其中i为虚数单位，则z= ．
15.如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1−ABC1的体积为 ．
16.某中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)．
(1)求满足a=mb+nc的实数m，n的值；
(2)若d满足d//(a+b)，且|d|= 20，求d．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，ΔPCD是正三角形，PC⊥AC,E是PA的中点．
(1)证明：AC⊥PD；
(2)求三棱锥P−BDE的体积．
19.(本小题12分)
如图1，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=60∘,AB=AD=2,BC=3，点E在线段BC上，BE=2EC，将▵ABE沿AE翻折至△PAE的位置，连接PD，点F为PD中点，连接CF，如图2，

(1)在线段AD上是否存在一点Q，使平面PAE//平面FQC?若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由；
(2)当平面PAE⊥平面AECD时，求三棱锥P−AEF的体积，
20.(本小题12分)
为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A，1.5小时以上，B，1−1.5小时，C，0.5−1小时，D，0.5小时以下．图(1)，(2)是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
(1)本次一共调查了多少名学生．
(2)在图(1)中将B对应的部分补充完整．
(3)若该校有3000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？
21.(本小题12分)
小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
22.(本小题12分)
某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；
(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率；
(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．
根据向量的坐标运算，求得a−2b=(3,0)，再结合向量垂直的条件，列出方程，即可求解．
【解答】
解：由题意，向量a=1,2，b=−1,1，可得a−2b=(3,0)，
又由c=m,2，且a−2b⊥c，可得3m+0×2=0，解得m=0．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和复数的模，属于基础题．
利用复数除法运算法则求出z=12−32i，再求出z=12+32i，进而可得答案．
【解答】
解：因为2−iz=1+i，
所以z=2−i1+i=2−i1−i1+i1−i=12−32i，
则z=12+32i，|z|= 122+322= 102．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥的体积，属于基础题．
先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积．
【解答】
解：设圆锥的内切球的半径为r，则4πr2=12π，所以r= 3．
又圆锥的轴截面为等边三角形，
所以圆锥的高为3r=3 3，圆锥的底面半径为3 3 3=3，
则圆锥的体积V=13×π×32×3 3=9 3π．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．
本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
【解答】
解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为9 34的等边三角形，可得 34AB2=9 34，
∴AB=BC=AC=3，
可得：AO1=23× 32×3= 3，
球O的表面积为16π，
外接球的半径为：4πR2=16π，解得R=2，
所以O到平面ABC的距离为： 4−3=1．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．
【解答】
解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，
按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n20的样本，
样本中男生比女生多9人，
设男生数为6k，女生数为5k，
则6k+5k=n611×n20−511×n20=9,
解得k=180，n=1980．
∴n=1980．
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了抽样方法的判断，属于基础题．
根据调查对象的特点合理选择抽样方法即可．
【解答】
解：对于①，∵社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，∴要从中抽一个样本量是100的样本应该用分层随机抽样法；
对于②，由于样本量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查古典概型的概率，准确列出样本点是解题的关键，属于基础题．
列出四张卡片随机排成一行所有样本点，满足条件的样本点1种，即可求出结论．
【解答】
解：由题意，样本点空间为 ｛1,1,3,4，1,1,4,3，1,3,1,4，
1,3,4,1，1,4,1,3，1,4,3,1，3,1,1,4，3,1,4,1，3,4,1,1，
4,1,3,1，4,1,1,3，4,3,1,1｝，所以共有12种不同排法，
而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P=112．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题．
根据相互独立事件概率计算公式，结合已知条件列方程组，解方程组求得选择去百花村的概率．
【解答】
解：用事件A表示“旅行团选择去百花村”，事件B表示“旅行团选择去云洞岩”，
则P(AB)=49，P(AB)=P(AB)．
设P(A)=x，P(B)=y，则xy=49,x(1−y)=(1−x)y,
解得x=23,y=23(负值舍去)，故选择去百花村的概率是23．
故选：A
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查的是正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
结合选项分别利用正弦函数的单调性、正弦定理和余弦定理进行判断即可．
【解答】
解：
对于A，若sinA=sinB，则A=B或A+B=π，
又因为A+B+C=π，则A=B，∴△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若△ABC为锐角三角形，有A+B>π2，则A>π2−B，
由正弦函数在(0,π2)上单调递增可得，得sinA>sin⁡(π2−B)，即sin A>cs B成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得b= 82+102−2×8×10×12= 84=4 21，只有一解，故C错误；
对于D，若sin2A+sin2B则根据正弦定理得a2+b2∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故D正确；
故选ABD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，复数的模，共轭复数，复数的几何意义和四则运算，属于基础题．
化简复数为z=−2−i，结合共轭复数的概念，复数模和复数的几何意义，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：由题意，可得z=2+4i1−i2−2i=2+4i−2i−2i=−2+i−2i=−2−i，
则z=−2+i，故A 正确；
又由z= −22+−12= 5，故B正确；
由复数z的虚部为−1，故C错误；
复数z在复平面内对应的点为−2,−1，位于第三象限，故D 正确．
故答案选：ABD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考察了空间中直线与平面的位置关系的判定，属于基础题；
选项A根据线面位置关系，结合面面垂直的性质进行判断即可；
选项B根据线线位置关系，结合面面垂直的性质进行判断即可；
选项C根据面面垂直的性质和线面垂直的性质，结合线面位置关系进行判断即可；
选项D根据面面垂直的性质定理进行判断即可．
【解答】
解：对于A，直线m与平面β可能垂直，也可能平行或m在平面β内，也有可能相交但不垂直，故 A不正确；
对于B，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；
对于C，m⊥β，则m//a或m⊂α，又m⊄α，所以m//a，故 C正确；
对于D，缺少条件n⊂β，故 D不正确；
故选：ABD
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查扇形图的应用，属于基础题．
观察统计图，逐项分析即可得出答案．
【解答】
解：由图可知：
对A，选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64％，所以A正确；
对B，选物理的可报大学专业占47.53％+49.64％=97.17％，大于47.53％，所以B错误；
对C，选历史的可报大学专业占49.64％+2.83％=52.47％，大于2.83％，所以 C错误；
对D，选历史的考生可报大学专业占49.64％+2.83％=52.47％，所以D正确．
故选AD．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查向量数量积运算，属于中档题．
由图可以知BE⊥FD转化为等量关系，然后利用向量数量积计算即可．
【解答】
解：在正六边形ABCDEF中，∠EFA=∠FED=120°，而EF=ED，故∠EFD=∠EDF=30°，
故∠DFA=120°−30°=90°，故FD⊥FA，易得EB//FA，
故BE⊥FD，则BE⋅FD=0，
所以BE⋅GD=BE⋅(GF+FD)=BE⋅GF+BE⋅FD=BE⋅GF.
因为六边形GHMNPQ是正六边形，
所以∠PFQ=60∘，且G，F，E，P四点共线．
又AB=AG=1，所以GF=FE=1，
所以BE⋅GF=BE⋅FE=|BE||FE|cs∠PFQ=1×2×12=1.
故答案为：1．
14.【答案】−15−25i
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算与共轭复数的概念，属于基础题．
先求出z，再由共轭复数概念即可得到答案．
【解答】
解：由(2−i)z=i得z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，
所以z=−15−25i．
故答案为−15−25i．
15.【答案】 312
【解析】【分析】
本题考查三棱锥体积的求解，为基础题．
利用等体积法将三棱锥B1−ABC1的体积转化为三棱锥A−B1BC1的体积，即可得解．
【解答】
解：三棱锥B1−ABC1的体积等于三棱锥A−B1BC1的体积，三棱锥A−B1BC1的高为 32，底面积为12，故其体积为13×12× 32= 312．
16.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于中档题．
将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，利用列举法列出基本事件，再根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，
从中任选2人，有(a,b)，(a,A)，(a,B)，(b,A)，(b,B)，(A,B)，共6种情况，
其中恰好选中2名女生的情况有(A,B)，共1种，
故选中的2人都是女生的概率为16．
故答案为：16
17.【答案】解：(1)由题可知：(3,2)=m(−1,2)+n(4,1)，
∴(3,2)=(−m+4n,2m+n)，
∴−m+4n=32m+n=2，解得m=59,n=89；
(2)由已知a+b=(2,4)，又 d//(a+b)，
则可设d=λ(a+b)=(2λ,4λ)，
又|d|= 20 ，则 4λ2+16λ2= 20 ，
即λ=±1，
故d=(2,4) 或d=(−2,−4)．

【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
(1)由题意得(3,2)=m(−1,2)+n(4,1)，运用向量相等即可求解；
(2)由d//(a+b)，可设d=λ(a+b)=(2λ,4λ)，根据 |d|= 20 ，则 4λ2+16λ2= 20 ，求出λ=±1，即可求解．
18.【答案】解：(1)证明：∵AD//BC,AB⊥AD，，
∵AB=BC=1，，
由余弦定理得：，
∴AC2+CD2=4=AD2，
∴AC⊥CD，
∵PC⊥AC，PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵PD⊂平面PCD，
∴AC⊥PD；
(2)连接CE，
由(1)得AC⊥平面PCD，CD= 2，
∵E是PA的中点，AD//BC，
∴VP−BDE=VP−CDE=VC−PDE=12VC−ADP
=16× 34CD2·AC= 612．

【解析】本小题主要考查线线垂直的证明，考查余弦定理解三角形，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
(1)利用余弦定理求得CD的长，利用勾股定理证得AC⊥CD，结合PC⊥AC，证得AC⊥平面PCD，由此证得AC⊥PD ；
(2)连接CE，利用等体积法进行转化，即VP−BDE=VP−CDE=VC−PDE=12VC−ADP=12VA−CDP，根据(1)得到AC是三棱锥A−CDP的高，由此计算出几何体的体积．
19.【答案】解：(1)当Q是AD的中点时，平面PAE//平面FQC，理由如下：
如图，连接FQ,CQ，
依题意得AD//EC，且AD=2,EC=1，则AQ//CE,AQ=CE，
所以四边形AECQ是平行四边形，则AE//CQ，
又AE⊂平面PAE,CQ⊄平面PAE，所以CQ//平面PAE，
因为Q,F分别为AD,PD的中点，所以PA//QF，
又PA⊂平面PAE,QF⊄平面PAE，所以QF//平面PAE，
因为QF,CQ⊂平面FQC,QF∩CQ=Q，所以平面PAE//平面FQC，

(2)取AE的中点M，连接DM，
因为BE=2EC,BC=3,∠ABC=60∘，则BE=2=AB，
所以△PAE为边长为2的等边三角形，则S▵PAE=12×2×2× 32= 3，
因为AM=1,AD=2,∠MAD=60∘，
所以由余弦定理得MD= 1+4−2×1×2×12= 3，
所以在▵AMD中，MD2+AM2=AD2，则AM⊥MD，
因为平面PAE⊥平面AECD，平面PAE∩平面AECD=AE,MD⊂平面AECD，
所以MD⊥平面PAE，
因为F为PD的中点，所以F到平面PAE的距离h=12MD= 32，
所以VP−AEF=VF−PAE=13S▵PAE⋅h=13× 3× 32=12．

【解析】本题考查面面平行的判定，棱锥的体积，属于中档题．
(1)利用线面平行与面面平行的判定定理证明即可；
(2)利用余弦定理与勾股定理证得AE⊥MD，进而利用线面垂直的判定定理证得MD⊥平面PAE，从而得到F到平面PAE的距离，再利用等体积法即可得解．
20.【答案】解：(1)从题图中知，选A的共60人，占总人数的百分比为30%，
所以总人数为60÷30%=200，即本次一共调查了200名学生．
(2)被调查的学生中，选B的有200−60−30−10=100(人)，补充完整的条形统计图如图所示．
(3)3000×5%=150，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下．
【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
(1)从题图中知，选A的共60人，占总人数的百分比为30%，由此能求出本次一共调查了200名学生．
(2)被调查的学生中，求出选B的有100人，由此能补充完整的条形统计图．
(3)3000×5%=150，由此能估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下．
21.【答案】解：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率为：
p=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9=0.398．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率为：
p=1−0.2×0.3×0.1=0.994．
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)利用相互独立事件概率乘法公式能求出这三列火车恰好有两列正点到达的概率．
(2)利用对立事件概率计算公式能求出这三列火车至少有一列正点到达的概率．
22.【答案】解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为660=110．
(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,
BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab，
其中恰有1名女同学的结果有8种：
Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,，
根据古典概率计算公式，
从6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率为P=815
(3)这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率1−115=1415．
【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于中档题．
(1)首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求概率;
(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，列出所有满足的情况，根据古典概型的计算方式求解;
(3)利用对立事件来求解概率，更简单．