河南省青桐鸣2022-2023学年高一下学期6月联考数学试题（含解析）

这是一份河南省青桐鸣2022-2023学年高一下学期6月联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省青桐鸣2022-2023学年高一下学期6月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，，若，，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知为虚数单位，复数，其中a，，则（    ）
A．， B．， C．， D．，
4．已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ）
A．6 B．5 C．3 D．2
5．某中学有高一学生1400人，高二学生1100人，高三学生1000人，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取若干人参加荒山绿化活动，若抽取的高三学生人数比抽取的高二学生人数少5，则抽取的高一学生人数为（    ）
A．60 B．65 C．70 D．75
6．已知甲同学在学校组织的荒山绿化活动中，种植了A，B，C不同种类的树各一棵，若A，B，C三种树成活的概率分别为，，，三种树成活与否互不影响，则该同学种植的3棵树都成活的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
8．某车间生产一种六角螺母，每一个六角螺母是由棱长和高均为的正六棱柱形的工件加工而成，需要在工件底面的中心处打一个圆柱形通孔（如图），若通孔内凹槽忽略不计，则六角螺母表面积的最大值为（    ）

A． B．
C． D．

二、多选题
9．某校开展丰富多彩的体育运动项目，并统计了甲、乙两位同学8次立定跳远比赛的成绩（单位：米），得到如下折线图：

则下列说法正确的是（    ）
A．甲同学成绩的极差大于乙同学成绩的极差
B．甲同学成绩的75%分位数大于乙同学成绩的75%分位数
C．甲同学成绩的均值小于乙同学成绩的均值
D．甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差
10．已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
11．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）
  
A． B． C． D．曲线关于点对称
12．已知菱形ABCD的边长为2，，将沿AC翻折，使点D与点B重合，如图所示．记点P为翻折过程中点D的位置（不包含在点B处的位置），则下列结论正确的是（    ）
  
A．无论点P在何位置，总有
B．存在点P，使得
C．当时，M为PB上一点，则的最小值为
D．当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为

三、填空题
13．若复数，，为虚数单位，则______．
14．设平面向量，，，若，则______．
15．已知袋中有形状、大小均相同的若干小球，其颜色有三种，分别为红色、黑色、蓝色．从袋中随机抽取一个小球，其中抽到红色小球或黑色小球的概率为0.7，抽到黑色小球或蓝色小球的概率为0.5，则抽到黑色小球的概率为______．
16．我国古代数学名著《九章算术》对许多几何体的体积计算问题有深入的研究，如方亭、圆亭、鳖臑、阳马等，其中圆亭是指圆台．如图，在圆亭的轴截面ABCD中，，点M为弧上一点，且，若，则______．
  

四、解答题
17．已知复数（，为虚数单位）．
(1)当时，求；
(2)设为复数z的共轭复数，若不是纯虚数，求m的取值范围．
18．已知平面向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，求实数m的值．
19．如图，直四棱柱的底面为平行四边形，E为与的交点．
  
(1)证明：平面ACE；
(2)设底面ABCD是边长为2的正方形，若三棱锥的体积为2，求棱的长．
20．今年“双碳”再次成为全国两会的热点词汇．“双碳”即我国提出力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和．低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的首选．某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
  
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
(3)销售部从年龄在，两组的样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取4人，再从这 4 人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．
21．如图，在平面四边形ABCD中，，，AC与BD交于点E，且，．
  
(1)设，，请用向量，分别表示向量，；
(2)若，求．
22．如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点O，且．
  
(1)求OA的长；
(2)若，求四边形ABCD的面积．

参考答案：
1．D
【分析】根据复数的几何意义求解.
【详解】，对应的复平面的坐标为，在第四象限；
故选：D.
2．A
【分析】根据条件，可确定集合中的元素，即可求解.
【详解】因为，，所以，
因为，，所以，
所以.
故选：A
3．B
【分析】根据复数表达的唯一性求解.
【详解】，，
故选：B.
4．C
【分析】根据向量数量积公式，即可求解.
【详解】.
故选：C
5．C
【分析】设抽取的总人数为，借助比例分配及已知列式求解作答.
【详解】设从该校学生中抽取了人，以分层随机抽样的方式按照的比例抽取，
则高二抽取的学生数为，高三抽取的学生数为，
依题意，，解得，
所以高一抽取的学生数为.
故选：C
6．C
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算作答.
【详解】依题意，该同学种植的3棵树都成活的概率为.
故选：C
7．D
【分析】根据给定条件，构造函数并判断单调性，再结合零点存在性定理推理判断作答.
【详解】令函数，显然函数在上单调递增，
而，又，因此，
令函数，显然函数在上单调递增，
，又，因此，
所以.
故选：D
8．A
【分析】设通孔的半径为，利用棱柱、圆柱的表面积公式把六角螺母表面积表示为的函数，再求出函数最大值作答.
【详解】设通孔的半径为，则六角螺母表面积，
因此当时，，
所以六角螺母表面积的最大值为.
故选：A
9．AC
【分析】观察折线图，求出极差、75%分位数、均值判断ABC；由数据的波动大小判断D作答.
【详解】甲同学成绩的极差为0.35，乙同学成绩的极差为，
所以甲同学成绩的极差大于乙同学成绩的极差，A正确；
甲同学成绩按从小到大排序为：2.30,2.35,2.40,2.50,2.50,2.50,2.60,2.65，由于，
则甲同学成绩的分位数为，
乙同学成绩按从小到大排序为：2.40,2.40,2.50,2.50,2.50,2.55,2.55,2.60，由于，
则乙同学成绩的分位数为，
所以甲同学成绩的分位数等于乙同学成绩的分位数，B错误；
甲同学成绩的均值为，
乙同学成绩的均值为，
所以，C正确；
由折线图可知，甲的成绩波动大，而乙的成绩波动小，所以甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差，D错误.
故选：AC
10．AD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项.
【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减，
所以在区间上单调递增，
根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法，
可知，在上单调递增，故A正确，B错误；
在上单调递减，故C错误，D正确.
故选：AD
11．AC
【分析】根据给定的图象，可得是函数图象的一条对称轴，再逐项分析判断作答.
【详解】观察图象知，，因此，即是函数图象的一条对称轴，
与相邻的另一条对称轴为，于是函数的周期，A正确；
，B错误；
由，得，而，则，C正确；
观察图象知曲线不关于点对称，D错误.
故选：AC
12．ABD
【分析】取的中点，证明平面判断A；确定的轨迹，借助圆锥的特性判断B；把展开在同一平面内，借助两点间线段长最短判断C；确定体积最大时，点的位置，再借助等体积法求解判断D作答.
【详解】依题意，都是正三角形，
取的中点，则，又平面，
  
于是平面，又平面，因此，正确；
的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧，显然圆锥轴截面的顶角为，大于，
则存在两条母线互相垂直，即存在点P，使得，而翻折前，
因此存在点，使得，B正确；
当时，三棱锥为正四面体，将展开在同一平面内，如图，
  
显然四边形为菱形，，当三点共线时，取得最小值，C错误；
由选项A知，平面，，是二面角的平面角，
三棱锥的体积，
当且仅当时取等号，此时平面，，
等腰的面积为，设点到平面的距离为，
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，则，D正确.
故选：ABD
13．5
【分析】根据复数相等得结论即可.
【详解】因为，由复数相等可得.
故答案为：.
14．/
【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示及数量积的运算律计算作答.
【详解】向量，，，则，，
由，得，解得，
所以.
故答案为：
15．0.2/
【分析】根据互斥事件加法公式求解.
【详解】设取到红色小球为事件A，取到黑色小球为事件B，取到蓝色小球为事件C，
则A，B，C为两两互斥事件，，
；
故答案为：0.2.
16．2
【分析】由圆台轴截面特征可得，再结合圆台的结构特征得，再利用余弦定理求解作答.
【详解】在等腰梯形中，，则，又，因此四边形为平行四边形，
于是，连接，由，得，而，
  
则，由平面，得，，
在△中，由余弦定理得，
即，解得，
所以.
故答案为：2
17．(1)；
(2).

【分析】（1）把代入，利用复数除法运算及复数模的意义求解作答.
（2）利用复数除法运算求出复数及，再利用纯虚数的意义求解作答.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）依题意，，则，
于是，
当是纯虚数时，则，解得，则当不是纯虚数时，，
所以的取值范围为.
18．(1)；
(2).

【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角公式求解作答.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，共线向量的坐标表示求解作答.
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由（1）知，，，
因为，因此，解得，
所以实数m的值为.
19．(1)证明见解析；
(2)3.

【分析】（1）连接，证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）利用柱体、锥体的体积公式，结合割补法列式计算作答.
【详解】（1）在直四棱柱中，连接，与交于点，如图，
  
因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又四边形为矩形，，则为的中点，
连接，则为的中位线，即，又平面平面，
所以平面.
（2）直四棱柱的底面是正方形，连接，而为的中点，
则，解得，
所以棱的长为3.
20．(1)答案见解析
(2)45岁
(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可；
（2）利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可；
（3）根据分层抽样，计算年龄在内的有1人,记为；年龄在内的有3人，分别记为，由列举法以及古典概型的计算公式计算可得答案.
【详解】（1）年龄在的频率为，补充完整的频率分布直方图如下图：
        
（2）所有用户的平均年龄的估计值为,
故估计样本中所有用户的平均年龄为45岁.
（3）由分层随机抽样的方法可知,抽取的4人中,年龄在内的有1人,记为；
年龄在内的有3人，分别记为
则从这4人中随机抽取2人的所有基本事件有共6种；
记这2人取自不同年龄区间为事件,其基本事件有,共3种，
故这2人取自不同年龄区间的概率为.
21．(1)
(2)

【分析】（1）根据条件求出，再根据图形运用向量的线性运算规则求解；
（2）建立直角坐标系，运用坐标计算.
【详解】（1）  
依题意：，则，
，；
，
；
（2），
以B为原点，BC为x轴，BD为y轴建立直角坐标系如下图：
  
则，
设直线AC的方程为，并将A，C点的坐标代入上式得：，解得，
，；
22．(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理求解作答.
（2）由（1）的信息，求出，再利用三角形面积公式，借助割补法求解作答.
【详解】（1）由，得，又，则，
在中，由正弦定理，得，
在中，由余弦定理得，，
所以.
（2）由，得，
在中，由（1）知，又，则，
于是，即有，
所以四边形的面积

.