山东省烟台市蓬莱区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

蓬莱区2022—2023学年度第二学期期末学业水平检测初二数学试题（时间：120分钟）一、单选题（本题共10个题，每小题3分，共30分）1. 下列说法正确的是（ ）A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件；B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投10次一定可投中7次；C. “守株待兔”是不可能事件；D. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件．【答案】D【解析】【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】解：A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次有可能可投中7次，故该选项不正确，不符合题意；C. “守株待兔”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；D. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故该选项正确，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义以及概率的意义，熟悉定义是解题的关键．2. 若是关于，的二元一次方程，则（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可得，然后求解即可．【详解】解∶根据题意，得，更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 解得．故选：B．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．3. 若成立，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．【详解】解：A. ∵，∴，∴，原不等式成立，符合题意； B. ∵，∴，∴，原不等式不成立，不符合题意； C.当时，不成立，原不等式不成立，不符合题意； D. ∵，∴，原不等式不成立，不符合题意； 故选A．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．4. 如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图像，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：A．【点睛】本题考查三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．5. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．A. 54 B. 64 C. 74 D. 114【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：∵，都与地面l平行，∴，∴，∴，∵，，∴，∴当时，．故选：B．【点睛】此题考查了平行线判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．6. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（　　）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出且，再代入关于的不等式，解不等式即可得．【详解】解：由得：，关于的不等式的解集为，，且，，代入关于的不等式得：，解得，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．7. 某种商品的进价为200元，商场的标价是300元，后来由于商品积压，商场准备打折销售，为了保证利润率不低于，则该商品最多打几折（　　）A. 9折 B. 8折 C. 7折 D. 6折【答案】C【解析】【分析】设该商品打x折，由题意得：，计算求解即可．【详解】解：设该商品打x折，由题意得：，解得：，∴该商品最多可打7折．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列不等式．8. 如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（　　）A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C【解析】【分析】先根据得，又因为得，然后证明，从而知道，即可知道的值．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∵的中垂线交于点D，∴，在与中，，∴，∴，，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查的是等边对等角以及全等三角形的判定等知识内容，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．9. 如图，结合图形作出了如下判断或推理：①如图甲，如果，为垂足，那么点到的距离等于，两点间的距离；②如图乙，如果，那么；③如图丙，如果，，那么；④如图丁，如果，，那么．其中正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离的定义可判断①；根据平行线的性质及三角形的外角的性质可判断②；根据平行线的判定可判断③；根据平行线的判定与性质可判断④．【详解】解：①由于直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故正确；②设AB与DE相交于点O．∵AB∥CD，∴∠AOE=∠D．又∵∠AOE＞∠B，∴∠D＞∠B，故错误；③∵∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD， ，故错误；④∵∠1=∠2，∴AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，又∵∠D=120°，∴∠BCD=60°，故正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，正确理解相关概念和性质是解本题的关键．10. 如图，平分，于，且，下列结论正确的有（ ）个．①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】C【解析】【分析】如图，过作于，在上截取，使，连接，由角平分线的性质可得，，证明，则，，由，可得，进而可证明①的证误；由，可得，即，，，由，可得，即，，进而可判断②的正误；由，可得，证明，则，可判断③的正误确；根据，可判断④的正误；，可判断⑤的正误．【详解】解：如图，过作于，在上截取，使，连接， ∵平分，，，∴，，∵，，，∴，∴，，∵，∴，①错误，故不符合要求；∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，即，∴，②正确，故符合要求；∵，∴，∵，，，∴，∴，③正确，故符合要求；∴，④正确，故符合要求；∴，⑤正确，故符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是___________．【答案】“两个角相等的三角形是等腰三角形”【解析】【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等腰三角形， 结论为两个角相等，互换即可．【详解】解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”，故答案为：“两个角相等的三角形是等腰三角形”．【点睛】本题考查逆命题的概念，解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念，知道题设和结论互换．12. 如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于_________． 【答案】56°##56度【解析】【分析】根据尺规作图的痕迹，作了的垂直平分线和的平分线，先根据矩形的性质和平行线的性质得到的度数，再利用角平分线和互余计算出的对顶角的度数，然后根据对顶角的性质得到的度数．【详解】解：根据尺规作图的痕迹，垂直平分，平分， ∵在矩形中，∴∴∴的度数为故答案为：【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．13. 已知线段，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么能组成等腰或者直角三角形的概率是________．【答案】##【解析】【分析】由题意知，，即，可知当三角形为等腰三角形时，的值为3或4，当三角形为直角三角形时，由，可得，然后求概率即可．【详解】解：由题意知，，即，当三角形为等腰三角形时，的值为3或4，当三角形为直角三角形时，由，可得，∴当长度为3，4，5，能组成等腰或者直角三角形，∴能组成等腰或者直角三角形的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，勾股定理，简单的概率计算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14. 如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点，则不等式的解集为____________．【答案】【解析】【分析】直接结合函数图象即可得．【详解】解：不等式表示的是函数的图象位于轴的下方，则由函数图象可知，，不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的下方，则由函数图象可知，，所以不等式的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．15. 上午8时，一艘船从港口出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛处，从两处望灯塔，分别测得．若该船从海岛继续向正北航行，则船与灯塔的最短距离为________． 【答案】15海里【解析】【分析】作于点D，根据题意得出海里，当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为的长度，易证，进而可以求得．【详解】解：作于点D， 根据题意得，（海里），当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为的长度，∵，∴，∴（海里），∴（海里），∴船与灯塔C的最短距离15海里．故答案为：15海里．【点睛】本题主要含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．16. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为__．【答案】2【解析】【分析】连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解．【详解】解：连接，∵是的平分线，∴，在和中，，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．三、解答题17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析．【解析】【分析】分别解两个不等式，然后将两个解集取公共部分即可；【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为：．在数轴上表示为：【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练运用不等式的基本性质是解题关键．18. 若关于x的不等式组有四个整数解，求a的取值范围．【答案】﹣≤a＜﹣【解析】【分析】先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围．【详解】解：解①得，解②得，∵此不等式组有解集∴解集为：∵不等式组有四个整数解∴整数解为、、、∵，的最大整数值为∴∴．故答案是：【点睛】本题考查了知道不等式组解的情况求参数范围，能正确得到参数的不等式组是解本题的关键．19. 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：（1）表中________；（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到）（3）试估算摸到红球的概率是________（精确到）（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．【答案】（1） （2） （3） （4）这个不透明的口袋中红球有15个【解析】【分析】（1）根据题目表中的数据，直接计算摸到白球的频率即可得到答案；（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得；（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．【小问1详解】解：由表中数据可知摸到白球的频率； 故答案为：；【小问2详解】解：由表格中计算的频率过程可知，当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近；故答案为：；【小问3详解】解：由题意得：摸到白球的概率为，则摸到红球的概率是，故答案为：；【小问4详解】解：设红球的个数为x，根据题意，得：，解得：，经检验是原方程的解，答：这个不透明的口袋中红球有15个．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1．20. 如图，已知中，，，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，，求的长． 【答案】10【解析】【分析】根据平分及可证出，再证，从而得到的长，在中求出即可．【详解】证明：平分，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．21. 某单位计划在端午节期间组织员工到某生态园进行采摘活动，参加的人数估计为8至15人．该生态体验园现推出了甲、乙两种消费卡，设入园人数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，请解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园人数确定该单位选择哪种卡消费比较合算．【答案】（1） （2）当时，选择甲消费卡比较合算；当入园人数等于10人时，选择两种消费卡费用一样；当时，选择乙消费卡比较合算．【解析】【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．【小问1详解】解：设，根据题意得，解得，∴；设，根据题意得：，解得，∴；【小问2详解】解：①，即，解得，即当时，选择甲消费卡比较合算；②，即，解得，即当入园人数等于10人时，选择两种消费卡费用一样；③，即，解得，即当时，选择乙消费卡比较合算．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解的坐标，由图象得出正确信息是解题关键．22. 已知关于 x、y 的二元一次方程组．（1）当时，解这个方程组；（2）若，设，求S的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）时，方程组为 ，采用加减消元法即可求解；（2）利用得，，即：，再根据，可得 ，问题随之得解．【小问1详解】 时，方程组为 ， 得，，得，， 解得：，将 代入②得，，解得，即方程组的解是；【小问2详解】， 得，，即：， ∵，∴ ，即 ，∴S 的取值范围是：．【点睛】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．23. 2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．【答案】（1）每个A品牌足球的销售利润分别为元、每个B品牌足球的销售利润为元； （2）①y与x之间的函数关系式为；②最大利润为元【解析】【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得；（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．【小问1详解】解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：，解得：，答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；【小问2详解】解：①由题意知，，∴y与x之间的函数关系式为；②∵购进A品牌足球的个数不少于个，且不超过B品牌足球个数的4倍，∴，解得：，中，∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，y取得最大值，最大值为，即最大利润为元．【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．24. 感知：分子，分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②．解不等式组①，得，解不等式组②，得．所以原分式不等式的解集为或．（1）探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式．（2）应用：求不等式的解集．【答案】（1） （2）【解析】【分析】先转化成不等式组，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．【小问1详解】探究：．根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①，或②，解不等式组①，得，解不等式组②得此不等式组无解．所以原分式不等式的解集为；【小问2详解】应用：，原不等式可化为不等式组：①或②，解不等式组①得：不等式组无解，解不等式组②得：，所以不等式的解集是，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．25. 【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）；见解析；（3）【解析】【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2AD2=（DC+BD）2；（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知，据此可得答案．【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+BD；（2），如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，CE=BD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴DA2+AE2=DE2，∴；（3）如图3，连接PQ，∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，∴QN=MN=1，∴，由（2）知．∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．摸球次数15030060090012001500摸到白球的频数63123247365484603摸到白球的频率