2024届河南省信阳市浉河区信阳高级中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届河南省信阳市浉河区信阳高级中学高三上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算即可化简求值.
【详解】由得，
故选：A
2．设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
3．点集表示的曲线总长度等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意整理得，，且，结合直线，圆的方程分析求解.
【详解】由题意可知：，解得，
因为，则或，
若，且，表示以为端点的线段，
此时表示的曲线总长度为；
若，整理得，表示以为圆心，半径为1的上半圆，
此时表示的曲线总长度为；
综上所述：点集表示的曲线总长度等于.
故选：C.
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的奇偶性可排除C，求导，再根据函数在上的单调性即可判断BD.
【详解】，
因为，所以函数为奇函数，故排除C；
，
当时，，
所以函数在上单调递增，故排除BD.
故选：A.
5．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）

A．面积为的圆B．面积为的圆C．离心率为的椭圆D．离心率为的椭圆
【答案】D
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹.
【详解】连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，
所以，
因为，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆，
所以椭圆的离心率为，
故选：D

6．已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据二倍角公式及辅助角公式化简解析式，再把问题转化为在内有4个不同的零点，借助于正弦函数的性质即可求解．
【详解】由题意得，，
令，解得．
，
，
函数在上恰有4个不同的零点，
则，
，解得．
故选：D．
7．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数以及基本不等式判断出的大小关系.
【详解】构造函数，
当时，，
所以在上单调递减，，
所以，即，
也即，则，
，
所以.
故选：D
二、多选题
9．已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当取得最大值时D．当取得最大值时
【答案】ABC
【分析】A选项，根据等差数列的求和公式列方程得到；B选项，根据等差数列的通项公式判断；CD选项，根据等差数列的求和公式和二次函数单调性判断.
【详解】设公差为，则，
所以，解得，故A正确；
，故B正确；
，所以当时，最大，故C正确，D错.
故选：ABC.
10．设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】AC
【分析】根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得或，
要使得为函数的极小值点，
当时，则满足，解得，所以A正确；
当时，则满足，解得，所以C正确.
故选：AC.
11．若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．直线AB的方程为
C．AB中点的轨迹方程为D．四边形的面积为
【答案】AB
【分析】先求得直线的方程，根据弦的长求得的关系式，由此确定AB选项的正确性，根据轨迹方程、四边形的面积等知识确定CD选项的正确性.
【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
因为圆的圆心为，半径为2，且公共弦AB的长为，
则到直线的距离为1，
所以，解得，
所以直线AB的方程为，故A，B正确；
由圆的性质可知直线垂直平分线段AB，
所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，
设AB中点的坐标为，则，即，故C错误；
易得四边形为菱形，且，，
则四边形的面积为，故D错误．
故选：AB
12．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）
A．点四点不共面
B．在底面内的射影面积为定值
C．直线与平面所成角的正弦的最大值为
D．当为中点时，四棱锥外接球的表面积为
【答案】BCD
【分析】对于A，当点与点重合时，即可判断四点共面；对于B，由在底面的射影为线段和即可判断在底面内的射影面积为定值；对于C，设直线与平面所成角为，则，当点在与点重合时，直线与平面所成角最大，此时可得到；对于D，当为中点时，可得外接球的半径为，从而求出四棱锥外接球的表面积.
【详解】如图，
当点与点重合时，四点共面，故A错误；
因为在底面的射影为线段，又因为，所以在底面内的射影面积为，故B正确；
设直线与平面所成角为，则，故只需点到平面的距离最大，
如图，
过做平面，垂足为，连接，
因为在直角中，，
所以当点与点重合时，点到平面的距离最大，为，
所以直线与平面所成角最大为，此时，故C正确；
如图，
当为中点时，连接，交于点，过做，垂足为，连接.
则在直角中，,所以,
又因为,所以到四棱锥各个顶点的距离相等，
所以正方形的中心即为外接球的球心，所以外接球的半径为，
从而四棱锥外接球的表面积为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】由角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
可得，根据三角函数的定义，可得，
又由
故答案为：.
14．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为 .用表示
【答案】/
【分析】先计算向量与向量的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案.
【详解】∵夹角为，，
∴，
∴所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
15．已知△ABC的面积为1，且AB=2BC，则当AC取得最小值时， BC的长为 .
【答案】
【分析】记，由面积得，由余弦定理得，结合导数可得．
【详解】记，由已知，，
，
令，则，
所以当时，，当时，，
设，则时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当即时，，即AC取得最小值，
此时，.
故答案为：．
16．数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为 ．
【答案】
【分析】将化为，构造数列满足，结合两角差的正切公式，使用裂项相消法求，再由的取值范围求解即可.
【详解】由已知，，
令，，则，
∵，，∴，
∴的前n项和，
又∵，，∴，
∵，∴，
又∵，
∴的范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：合理构造数列，使用裂项相消法求和，是本题解题的关键所在.
四、证明题
17．（Ⅰ）证明柯西不等式：；
（Ⅱ)若且，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）答案见解析，（Ⅱ）．
【分析】（1）利用做差比较法，两边做差，化成一个完全平方式，利用实数的平方都是非负的，从而证得结果（2）利用换元的思想，结合柯西不等式求得式子的最小值
【详解】（Ⅰ）证明：左边,
右边,
左边右边
左边右边, 命题得证．
（Ⅱ）令，则
，
，
，由柯西不等式得：，
当且仅当，即，或时，的最小值是，
所以 的最小值是．
五、问答题
18．设数列为等差数列，其前n项和为，数列为等比数列．已知．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意，列方程求解即可得答案；
（2）根据错位相减法求和即可.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由可得，即，解得，
所以，，
，，
则；
（2），
则①，
可得②，
①②得：
，
因此，；
【点睛】本题考查等差等比数列的基本计算，错位相减法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于掌握错位相减法求和的基本方法，第一步列式，第二步，乘公比错位，第三步两式做差整理.
六、解答题
19．如图所示，多面体中，底面为正方形，四边形为矩形，且，，.
(1)求平面与平面所成二面角大小；
(2)点P在线段上，当平面时，求与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明平面，则可得，再证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面，即可得出答案；
（2）先根据线面平行的性质说明点的位置，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为底面为正方形，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以平面与平面所成二面角大小为；
（2）如图，设，则为的中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
又，所以，所以点为线段的中点，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
由，得，
则，
故，
设平面得法向量为，
则有，令，则，
所以，
则，
所以与平面所成的角的正弦值为.
七、问答题
20．已知的内角的对边分别为，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算；
（2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围.
【详解】（1）∵，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得，
注意到，且，则，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分线交于点，则，
∵，则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为.
21．设，.
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论在区间上的极值点个数；
（3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 （2）见解析（3）
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先求函数导数，转化为研究零点个数，利用二次求导易得在区间上单调递增，其零点个数决定于最小值的大小，讨论其最小值与零的大小得到极值点个数， （3）由题意得在区间上与轴相切切点为极值点，由（2）得 ，再根据极值点定义可得方程组 ，解得
试题解析：解：（1）当时：，（）
故
当时：，当时：，当时：．
故的减区间为：，增区间为
（2）
令，故,,
显然，又当时：．当时：．
故，，．
故在区间上单调递增，
注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．
①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．
综上：当或时：在上无极值点．
当时：在上有唯一极值点．
（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，
由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：
…（*）同时成立．
联立得：，即代入（*）可得．
令，．
则，，当 时 （2）．
故在上单调递减．又， ．
故在上存在唯一零点．
即当时，单调递增．当时，单调递减．
因为，．
故在上无零点，在上有唯一零点．
由观察易得，故，即：．
综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．
八、解答题
22．已知椭圆左、右焦点分别为、，
(1)过右焦点的直线被C所截线段是弦，当垂直于x轴时弦为通径ST，求证： 最小值是通径；
(2)如图所示，若C的右顶点为，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点.
（ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（ⅱ）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ），（ⅱ）
【分析】（1）分解直线斜率等于零和不等于零两种情况讨论，结合弦长公式即可得出结论；
（2）（ⅰ）根据题意 ，点在直线上，并且 ，得到椭圆方程；
（ⅱ）根据三角形面积公式可得，即，直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，根据也得到坐标的关系式，消参后，根据的取值范围求.
【详解】（1），
当直线的斜率等于时，方程为，
此时，
当直线的斜率不等于时，设方程为，
联立，消得，
恒成立，
则，
所以
，
当，即时，，
此时，直线垂直于轴，
综上所述，最小值是通径；
（2）（ⅰ）由题意轴，且点在轴的下方，，
在椭圆中，
令，得，则，
所以 ，
所以椭圆的方程是；
（ⅱ）因为，
所以，
直线的方程为，令，得，所以，
设方程，，
联立方程得：，
恒成立，
则（*），
又，有，
将代入（*）可得，整理得，
因为，有，
则且，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.