河南省信阳市光山县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳市光山县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
（分值：150分 时间：150分钟）一、单选题：本题共8道小题，每一题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．复数满足，则的模等于（ ）
A．B．0C．1D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的最小值是（ ）
A．2B．aC．3D．4
4．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且，则（ ）
A．3B．
C．2D．1
5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．7
8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．三棱柱D．三棱锥
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．若，则
C．若，与垂直的单位向量只能为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上单调递减
三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分
12．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为
13．设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的投影向量是 .
14．设为内一点，且满足关系式，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答莹写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．
16．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
17．已知向量满足.
(1)求向量的夹角；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
18．如图，在中，已知，，为锐角，是线段的中点，在线段上，且，，相交于点，的面积为．

(1)求的长度；
(2)求的余弦值．
19．某公园拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

(1)请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
(2)设，求的取值范围.
1．C
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，进而求得复数的模，得到答案.
【详解】由，可得，所以.
故选：C.
2．B
【分析】判断出，，，即可求解.
【详解】
，故；
，故，故.
故选：B.
3．C
【解析】由，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，则，
当且仅当，即时取等号.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．B
【分析】以向量为基底，将分别表示出来，可得到关于的方程，即可求出和.
【详解】由题知,
,
,
，
,
,解得，
.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的线性运算、向量的基本定理，属于基础题.
5．C
【分析】根据幂函数的概念得即或，再根据性质可得时符合题意.
【详解】因为为幂函数，
所以，得或，
当时，为偶函数关于y轴对称，且在上单调递增，不满足题意；
当时，，偶函数关于y轴对称，且在上单调递减，满足题意，
故选：C
6．C
【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
7．D
【分析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案.
【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设，，因为，，
所以，，，所以，，
，所以，
所以，
所以当，即时，的最小值为7，
故选：D．
8．A
【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可，
【详解】
由得
则或，
作出的图象如图，
则若，则或，
设，由得，
此时或，
当时，，有两个根，当时，，有1个根，
则必须有，有5个根，
设，由得，
若，由得，或，有一个根，有两个根，此时有3个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，或或，，
当时，，有一个根，当时，，有3个根，
当时，，有一个根，此时有个根，满足条件．
故，
即实数a的取值范围是，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键综合性较强，难度较大．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．
9．BCD
【分析】根据棱柱，棱锥和棱台的定义结合图形分析判断即可
【详解】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确，
若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，
故选：BCD
10．AB
【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断．
【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确；
对B：若，则，解得，故B正确；
对C：若,，易知也是与垂直的单位向量，故C错误；
对D：若与的夹角为钝角，则，
且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误；
故选：AB．
11．ABC
【分析】利用函数周期性及对称性的定义可得A、B，使用换元法，令，可得，结合复合函数单调性可得C、D.
【详解】对A：，
故是函数的一个周期，故A正确；
对B：
，故是函数的一条对称轴，故B正确；
对C、D：令，有，
因为，所以，
则，
由，则函数的最大值为，最小值为，故C正确；
函数由和复合而成，
函数在上先增后减，在上递减，且，
则函数在上不是单调递减，故D错误.
故选：ABC.
12．
【分析】先根据三棱柱的体积求圆柱的底面半径与母线长，再根据圆柱的侧面积求结果.
【详解】设圆柱的底面半径为母线为，则底面正三角形边长为由三棱柱的体积得，因此圆柱的侧面积为
【点睛】若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．关键是求出高.
13．
【分析】利用投影向量的公式，即可求解.
【详解】向量、满足，，且，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
14．
【分析】由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到，分别取的中点为，可得，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC
与S△ABC的关系，可得所求.
【详解】∵，
∴，
∴，分别取的中点为，
∴，
∴；
；
.
∴
故答案为：．
15．（1）；（2）．
【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积.
（2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最短路径长．
【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．
圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，
∴几何体表面积为．
（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．
则．
∴、两点间在侧面上的最短路径长为．
16．（1）；（2）2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.
试题解析：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案；
（2）求出向量与的数量积，求得的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】（1）由，得，即，
故，则，
而，所以；
（2），
，
所以.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）由面积公式求出，依题意可得，根据数量积的运算律及定义计算可得；
（2）用、表示，再根据计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，因为为锐角，所以，
因为在线段上，且，
所以，
所以
，
所以，即.
（2）因为是线段的中点，
所以，
所以，
又
，
所以，
所以的余弦值为．
19．(1)，时， ；
(2).
【分析】（1）由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得关于的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解.
（2）由平面向量基本定理首先得，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可.
【详解】（1）连接，

依题意，，，，，
在中，，由正弦定理得，
即，则，，
则顾客的休息区域面积
，由，得，
则当，即时，顾客的休息区域面积取得最大值，
且最大值为平方米.
（2）由（1），，
所以，
依题意，，则，
所以
，由，得，
则，
所以.
【点睛】关键点睛：关键是熟悉三角变换公式，熟练进行三角恒等变换，再借助三角函数性质示解.