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2024届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三上学期期中数学试题含答案
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这是一份2024届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部.
【详解】，
故的虚部为.
故选：C
2．若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合，再求结果即可.
【详解】因为集合的代表元素是，由对数函数的意义可知，
所以，
而集合，
所以，
故选：D
4．若，，，则实数，，之间的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果．
【详解】∵，∴a=20.3＞20=1，
∵, ∴b=，
又，即0所以．
故选B．
【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题．
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等比中项公式及等差数列的前项和即可求解.
【详解】解：由题意，，得，解得，
所以，
故选：C.
6．已知，则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式得出，再将该等式平方并结合二倍角的正弦公式可求出的值.
【详解】，由诱导公式得，
将该等式两边平方得，即，因此，，
故选D.
【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，在涉及的求值问题，一般将等式平方进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
7．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由，结合题干条件和平面向量基本定理，即得解
【详解】根据题意画出草图，如图：
点是线段上一点，
设，
.
由平面向量基本定理可得解得.
故选：C
8．设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，
因为，可得，解得或，则
当时，此时，；
当时，此时，.
故或.
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数在上为减函数，则的值为1
C．图象关于点成中心对称
D．若，则的最大值是
【答案】BD
【分析】求出全称量词命题的否定判断A；利用幂函数的定义及性质计算判断B；借助反比例函数求出对称中心坐标判断C；利用基本不等式求出最大值判断D.
【详解】对于A，命题“，”是全称量词命题，其否定是“，”，A错误；
对于B，依题意，，解得，B正确；
对于C，函数的图象可视为双曲线向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得，
因此图象关于点成中心对称，C错误；
对于D，当时，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：BD
10．下列说法正确的是（ ）
A．若为第一象限角，则为第一或第三象限角
B．函数是偶函数，则的一个可能值为
C．是函数的一条对称轴
D．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为
【答案】AC
【分析】根据的范围直接求出的范围即可判断A；代入化简即可判断B；代入验证可判断C；将圆心角化为弧度后计算可判断D.
【详解】A选项：若为第一象限角，则，
得，
当k为奇数时，为第三象限角，当k为偶数时，为第一象限角，A正确；
B选项：当时，函数是奇函数，故B错误；
C选项：因为，
所以是函数的一条对称轴，C正确；
D选项：因为，由扇形的弧长公式得，故D错误.
故选：AC
11．已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．是上的偶函数
D．函数有6个零点
【答案】AD
【分析】根据给定条件分析可得函数是周期函数，是上的奇函数，在上递增，关于直线对称等函数性质，对于A，利用周期求解判断；对于B，由单调性结合周期可判断；对于C，利用特值法及偶函数定义判断；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，作出函数图象，数形结合可求解判断.
【详解】对都有，则，
所以函数是周期函数，周期为4，
函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，
又函数的图像关于点对称，
因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数，
当时，，即函数在上递增，在上单调递增，
而，因此在上递增，
由得，则的图象关于直线对称，
则函数在上递减，
对于A，，故A正确；
对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，
则在上递增，故B错误；
对于C，因，即有，
则函数不是R上的偶函数，故C错误；
对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图，
因函数的最大值为1，而当时，，
因此函数与图象的交点在内，
观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，
所以函数有6个零点，故D正确.
故选：AD.
12．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线必过边的中点
C．
D．若，且，则
【答案】ACD
【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.
【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正确；
由，可得
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
三、填空题
13．如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 .
【答案】/
【分析】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，根据向量相等列方程组求出即可得答案.
【详解】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
不妨设小正方形的边长为1，则，
所以，，
则有，
所以，解得，
所以.
故答案为：
14．已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，利用已知判断其单调性，结合求解可得.
【详解】记，则，
因为，所以，在R上单调递增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集为.
故答案为：
15．已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 .
【答案】2024
【分析】首先求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】因为，且，所以，
又是等差数列，所以.
故答案为：
16．在锐角三角形中角A、B、C的对边分别为a， b， c，记，若，则 .
【答案】4
【分析】根据余弦定理和数量积的坐标表示可得，然后对目标式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边可得.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，即.
所以
.
故答案为：4
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调减区间以及在区间]上的最大值和最小值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）减区间为，；
（2）
【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得单调区间和最值；
（2）由（1）得，确定的范围，求出，再由两角差的余弦公式计算．
【详解】（1）
由
解得，
∴减区间为，
又，所以，
由正弦函数性质知.
（2）由题意，
而，所以，
所以，
所以.
18．如图，在长方体中，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）借助线面垂直的判定定理，要证平面，只需证明，即可;
（2）借助空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量的夹角的余弦公式即可.
【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，
而平面，所以，
在中，，，，所以，
所以，又，，平面，
因此平面.
（2）如图所示，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设是平面的法向量，
则，
设是平面的法向量，
则，
所以.
19．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
20．在中，
(1)求；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理的边角互化以及和差角公式即可化简得，进而可得.
（2）利用正弦定理化边为角，即可利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）由正弦定理可得,由于,所以,
故,
化简得,由于,所以,
由于为三角形的内角，所以,
（2）由正弦定理可得,
所以,故
,其中，
故当时，取最大值1，故的最大值为
21．已知数列的前n项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．理由见解析
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即（），
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，
所以m的值为1，2，3． .
22．已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；
②证明：当时，．
【答案】(1)；极大值为，极小值为
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求导后，利用可求得的值，进而得到，由导函数正负可确定单调性，由极值定义可求得结果；
（2）①当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围；
②由①可得，令，可得，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前项和，由此可得结论.
【详解】（1），又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述：；极大值为，极小值为.
（2）①，
令，则；
（i）.当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ii）.当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
②由①知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；
，
，
即当时，.
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部.
【详解】，
故的虚部为.
故选：C
2．若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合，再求结果即可.
【详解】因为集合的代表元素是，由对数函数的意义可知，
所以，
而集合，
所以，
故选：D
4．若，，，则实数，，之间的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果．
【详解】∵，∴a=20.3＞20=1，
∵, ∴b=，
又，即0
故选B．
【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题．
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等比中项公式及等差数列的前项和即可求解.
【详解】解：由题意，，得，解得，
所以，
故选：C.
6．已知，则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式得出，再将该等式平方并结合二倍角的正弦公式可求出的值.
【详解】，由诱导公式得，
将该等式两边平方得，即，因此，，
故选D.
【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，在涉及的求值问题，一般将等式平方进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
7．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由，结合题干条件和平面向量基本定理，即得解
【详解】根据题意画出草图，如图：
点是线段上一点，
设，
.
由平面向量基本定理可得解得.
故选：C
8．设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，
因为，可得，解得或，则
当时，此时，；
当时，此时，.
故或.
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数在上为减函数，则的值为1
C．图象关于点成中心对称
D．若，则的最大值是
【答案】BD
【分析】求出全称量词命题的否定判断A；利用幂函数的定义及性质计算判断B；借助反比例函数求出对称中心坐标判断C；利用基本不等式求出最大值判断D.
【详解】对于A，命题“，”是全称量词命题，其否定是“，”，A错误；
对于B，依题意，，解得，B正确；
对于C，函数的图象可视为双曲线向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得，
因此图象关于点成中心对称，C错误；
对于D，当时，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：BD
10．下列说法正确的是（ ）
A．若为第一象限角，则为第一或第三象限角
B．函数是偶函数，则的一个可能值为
C．是函数的一条对称轴
D．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为
【答案】AC
【分析】根据的范围直接求出的范围即可判断A；代入化简即可判断B；代入验证可判断C；将圆心角化为弧度后计算可判断D.
【详解】A选项：若为第一象限角，则，
得，
当k为奇数时，为第三象限角，当k为偶数时，为第一象限角，A正确；
B选项：当时，函数是奇函数，故B错误；
C选项：因为，
所以是函数的一条对称轴，C正确；
D选项：因为，由扇形的弧长公式得，故D错误.
故选：AC
11．已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．是上的偶函数
D．函数有6个零点
【答案】AD
【分析】根据给定条件分析可得函数是周期函数，是上的奇函数，在上递增，关于直线对称等函数性质，对于A，利用周期求解判断；对于B，由单调性结合周期可判断；对于C，利用特值法及偶函数定义判断；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，作出函数图象，数形结合可求解判断.
【详解】对都有，则，
所以函数是周期函数，周期为4，
函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，
又函数的图像关于点对称，
因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数，
当时，，即函数在上递增，在上单调递增，
而，因此在上递增，
由得，则的图象关于直线对称，
则函数在上递减，
对于A，，故A正确；
对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，
则在上递增，故B错误；
对于C，因，即有，
则函数不是R上的偶函数，故C错误；
对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图，
因函数的最大值为1，而当时，，
因此函数与图象的交点在内，
观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，
所以函数有6个零点，故D正确.
故选：AD.
12．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线必过边的中点
C．
D．若，且，则
【答案】ACD
【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.
【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正确；
由，可得
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
三、填空题
13．如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 .
【答案】/
【分析】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，根据向量相等列方程组求出即可得答案.
【详解】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
不妨设小正方形的边长为1，则，
所以，，
则有，
所以，解得，
所以.
故答案为：
14．已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，利用已知判断其单调性，结合求解可得.
【详解】记，则，
因为，所以，在R上单调递增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集为.
故答案为：
15．已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 .
【答案】2024
【分析】首先求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】因为，且，所以，
又是等差数列，所以.
故答案为：
16．在锐角三角形中角A、B、C的对边分别为a， b， c，记，若，则 .
【答案】4
【分析】根据余弦定理和数量积的坐标表示可得，然后对目标式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边可得.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，即.
所以
.
故答案为：4
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调减区间以及在区间]上的最大值和最小值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）减区间为，；
（2）
【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得单调区间和最值；
（2）由（1）得，确定的范围，求出，再由两角差的余弦公式计算．
【详解】（1）
由
解得，
∴减区间为，
又，所以，
由正弦函数性质知.
（2）由题意，
而，所以，
所以，
所以.
18．如图，在长方体中，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）借助线面垂直的判定定理，要证平面，只需证明，即可;
（2）借助空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量的夹角的余弦公式即可.
【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，
而平面，所以，
在中，，，，所以，
所以，又，，平面，
因此平面.
（2）如图所示，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设是平面的法向量，
则，
设是平面的法向量，
则，
所以.
19．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
20．在中，
(1)求；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理的边角互化以及和差角公式即可化简得，进而可得.
（2）利用正弦定理化边为角，即可利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）由正弦定理可得,由于,所以,
故,
化简得,由于,所以,
由于为三角形的内角，所以,
（2）由正弦定理可得,
所以,故
,其中，
故当时，取最大值1，故的最大值为
21．已知数列的前n项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．理由见解析
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即（），
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，
所以m的值为1，2，3． .
22．已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；
②证明：当时，．
【答案】(1)；极大值为，极小值为
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求导后，利用可求得的值，进而得到，由导函数正负可确定单调性，由极值定义可求得结果；
（2）①当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围；
②由①可得，令，可得，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前项和，由此可得结论.
【详解】（1），又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述：；极大值为，极小值为.
（2）①，
令，则；
（i）.当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ii）.当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
②由①知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；
，
，
即当时，.
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