河南省信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

这是一份河南省信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知x∈{2，3，7}，y∈{﹣3，﹣4，8}，则xy可表示不同的值的个数为（ ）
A．10B．6C．8D．9
2．（5分）已知函数f（x）＝x2+1，则＝（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（5分）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
4．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），若f（x）＝x3+3f'（1）x2+2x，则f'（2）＝（ ）
A．26B．12C．8D．2
5．（5分）二项式展开式中的常数项是（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
6．（5分）已知函数y＝xf'（x）的图象如图所示（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力．它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．192B．240C．96D．48
8．（5分）若动点P在直线y＝x+1上，动点Q在曲线x2＝﹣2y上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）在某地新高考“3+1+2”的改革方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．根据相关要求，学生首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．现某学生想选三门选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若物理必选，则选法总数为
B．若生物必选，则选法总数为
C．若化学、生物至少选一门，则选法总数为
D．若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为
（多选）10．（6分）已知（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6+a7（x﹣1）7，则（ ）
A．a0＝1
B．a1+a2+a3+…+a6+a7＝37﹣1
C．a5＝﹣672
D．a2+a4+a6＝1092
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．f（x）既有极大值又有极小值
C．若方程m＝f（|x|）有4个根，则m∈（0，+∞）
D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1x2﹣（x1+x2）+1＜0
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知的展开式中x3项的系数为 ．
13．（5分）对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于ABC的正整数），如果在a＝5，b＝6，c＝7，时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（1，2）中有逆序“2与1”，“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以正数数组（1，2）的“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是 ．
14．（5分）已知曲线y＝ex+1﹣e在x＝0的切线与曲线y＝ln（x+m）只有一个公共点，则实数m的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f（x）＝3x3﹣9x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
16．（15分）已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56：3，
（1）求展开式中的常数项．
（2）求展开式中系数最大的项．
17．（15分）已知f（x）＝（1+x）m，g（x）＝（1+2x）n（m，n∈N*）．
（1）若m＝3，n＝4，求f（x）g（x）的展开式含x2的项．
（2）令h（x）＝f（x）+g（x），h（x）的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
18．（17分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．
（1）求函数f（x）的单调性与极值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x+mx2＝0有两个解，求实数m的取值范围．
19．（17分）已知函数在定义域上有两个极值点x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知x∈{2，3，7}，y∈{﹣3，﹣4，8}，则xy可表示不同的值的个数为（ ）
A．10B．6C．8D．9
【分析】根据计数原理求解即可．
【解答】解：因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，
y从集合{﹣3，﹣4，8}中任取一个值共有3个不同的值，
且x，y互不相同，故xy可以表示为3×3＝9（个）不同的值．
故选：D．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）已知函数f（x）＝x2+1，则＝（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】先对f（x）求导，再结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝x2+1，
则f'（x）＝2x，
＝f'（1）＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【分析】先排宫、徵、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解．
【解答】解：先将宫、徵、羽三个音节进行排序，且徵位于羽的左侧，有种，
再将商、角插入4个空中，共有种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），若f（x）＝x3+3f'（1）x2+2x，则f'（2）＝（ ）
A．26B．12C．8D．2
【分析】根据导数运算性质计算即可．
【解答】解：因为f'（x）＝3x2+6f'（1）x+2，所以f'（1）＝3×12+6f'（1）×1+2，解得：f'（1）＝﹣1，所以f'（2）＝3×22+6×（﹣1）×2+2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
5．（5分）二项式展开式中的常数项是（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
【分析】二项式展开式的通项公式为Tr+1＝ x12﹣r＝2r ，令12﹣＝0，解得 r＝8，从而得出结论．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tr+1＝ x12﹣r ＝2r ，
令12﹣＝0，解得 r＝8，故二项式展开式中的常数项是第9项．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
6．（5分）已知函数y＝xf'（x）的图象如图所示（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．
【解答】解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，
当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
故选：C．
【点评】本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．
7．（5分）春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力．它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．192B．240C．96D．48
【分析】丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可．
【解答】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，
若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，
若丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有种情况，
故不同的坐法的种数为．
故选：A．
【点评】本题考查了相邻问题的排列计算，属于基础题．
8．（5分）若动点P在直线y＝x+1上，动点Q在曲线x2＝﹣2y上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，假设直线y＝x+1平行且与曲线x2＝﹣2y相切的直线为y＝x+b，设直线y＝x+b与曲线x2＝﹣2y的切点为（t，﹣），利用导数的几何意义求出切点的坐标，分析可得切点到直线y＝x+1的距离就是|PQ|的最小值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，假设直线y＝x+1平行且与曲线x2＝﹣2y相切的直线为y＝x+b，
设直线y＝x+b与曲线x2＝﹣2y的切点为（t，﹣），
对于曲线x2＝﹣2y，即y＝﹣，其导数y′＝﹣x，
则曲线x2＝﹣2y在点（t，﹣）处切线的斜率k＝y′|x＝t＝﹣t，
则有﹣t＝1，解可得t＝﹣1，即切点的坐标为（﹣1，﹣），
点（﹣1，﹣）到直线y＝x+1的距离就是|PQ|的最小值，则其最小值d＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数分析曲线的切线方程，涉及点到直线的距离，属于基础题．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）在某地新高考“3+1+2”的改革方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．根据相关要求，学生首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．现某学生想选三门选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若物理必选，则选法总数为
B．若生物必选，则选法总数为
C．若化学、生物至少选一门，则选法总数为
D．若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为
【分析】A：仅需从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门即可；B：先从物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学3门科目中选择1门；C：先从物理、历史2门科目中选择1门，再分情况从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门：①化学、生物都选；②化学、生物只选其中1门；D：同选项C的选取方式相似．
【解答】解：对于A，若物理必选，则仅需从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门即可，选法总数为，故A正确；
对于B，若生物必选，则先需从物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学3门科目中选择1门，则选法总数，故B正确；
对于C，若化学、生物至少选一门，则先需从物理、历史2门科目中选择1门，
再分情况从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门：
①化学、生物都选，则有1种选法；
②化学、生物只选其中1门，再从政治、地理两门里面选1门，则种选法；
故选法总数为2（+1），故C错误；
对于D，若历史必选，政治、地理至少选一门，则根据选项C的选取方法可知选法总数为+1，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查排列组合公式的运用，并结合分类讨论的思想，需考虑全面，不重不漏，是中档题．
（多选）10．（6分）已知（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6+a7（x﹣1）7，则（ ）
A．a0＝1
B．a1+a2+a3+…+a6+a7＝37﹣1
C．a5＝﹣672
D．a2+a4+a6＝1092
【分析】直接利用二项式的展开式，赋值法和函数的求导的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：令x＝1时，解得a0＝1，故A正确；
对于B：令x＝2，解得，故a1+a2+a3+…+a6+a7＝37﹣1，故B正确；
对于C：（2x﹣1）7＝[2（x﹣1）+1]7，（0≤r≤7，r∈N），当r＝2时，，故C错误；
对于D：令x＝0时，a0﹣a1+a2﹣﹣a7＝﹣1，，
故，由于a0＝1，所以a2+a4+a6＝1092，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，函数的求导，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．f（x）既有极大值又有极小值
C．若方程m＝f（|x|）有4个根，则m∈（0，+∞）
D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1x2﹣（x1+x2）+1＜0
【分析】对于A：计算f（），f（2），并比较大小，即可判断A是否正确；
对于B：求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可判断B是否正确；
对于C：把f（x）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到f（|x|）的图象，方程m＝f（|x|）有4个根等价于函数y＝m与函数y＝f（|x|）的图象有4个交点，即可判断选项C正确；
对于D：x1x2﹣（x1+x2）+1＝（x1﹣1）（x2﹣1），由图可知：0＜x1＜1＜x2或0＜x2＜1＜x1，即可判断D选项是否正确．
【解答】解：对于A：，f（2）＝2﹣ln2＞1，
所以f（）＜f（2），故A正确；
对于B：f（x）的定义域为（0，+∞），
，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）只有极小值没有极大值，故B错误；
对于C：由B选项的解析知，f（x）的最小值为f（1）＝0，
当x→0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
把f（x）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到f（|x|）的图象，如图所示：
方程m＝f（|x|）有4个根等价于函数y＝m与函数y＝f（|x|）的图象有4个交点，则m∈（0，+∞），故C正确；
对于D：x1x2﹣（x1+x2）+1＝（x1﹣1）（x2﹣1），
若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），由图可知：0＜x1＜1＜x2或0＜x2＜1＜x1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知的展开式中x3项的系数为 5 ．
【分析】把（1+x）5按照二项式定理展开，可得（1﹣）（1+x）5展开式中含x3项的系数．
【解答】解：＝（1﹣）（+•x+•x2+•x3+•x4+•x5），
所以展开式中含x3的项的系数为：
﹣＝10﹣5＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目．
13．（5分）对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于ABC的正整数），如果在a＝5，b＝6，c＝7，时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（1，2）中有逆序“2与1”，“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以正数数组（1，2）的“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是 13 ．
【分析】根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，可用6个数字中选出2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数
【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，
从6个数字中任选2个共有15种组合，
∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，
∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是所有组合数减去2，
共有15﹣2＝13种结果，
故答案为：13
【点评】本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目，难点是理解“逆序”
14．（5分）已知曲线y＝ex+1﹣e在x＝0的切线与曲线y＝ln（x+m）只有一个公共点，则实数m的值为 ．
【分析】先求出曲线y＝ex+1﹣e在x＝0处的切线方程为y＝ex，由题意可得直线y＝ex与曲线y＝ln（x+m）相切，设切点为P（x0，y0），利用导数可求得切点P（﹣m，﹣1），再代入y＝ex求解即可得出答案．
【解答】解：因为y＝ex+1﹣e，
所以y′＝ex+1，
所以曲线y＝ex+1﹣e在x＝0处的切线斜率k＝y′|x＝0＝e，
所以切线方程为y﹣0＝e（x﹣0），即y＝ex，
因为函数y＝ln（x+m）的定义域为（﹣m，+∞），且在定义域上单调递增，
y′＝，
要使切线y＝ex与曲线y＝ln（x+m）只有一个公共点，
则直线y＝ex与曲线y＝ln（x+m）相切，
设切点为P（x0，y0），
可得＝e，x0＝﹣m，
则y0＝ln（﹣m+m）＝﹣1，
所以切点为P（﹣m，﹣1），
将切点P（﹣m，﹣1）代入直线y＝ex，
得﹣1＝1﹣em，
解得m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的综合应用、导数的几何意义，解题注意转化思想的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f（x）＝3x3﹣9x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；
（2）求出极值和端点值，比较后确定最值．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f'（x）＝9x2﹣9＝9（x+1）（x﹣1），
令f'（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1；令f'（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，
∴递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递减区间（﹣1，1）；
（2）根据（1）列表如下：
∴函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值为59，最小值为﹣49．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属中档题．
16．（15分）已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56：3，
（1）求展开式中的常数项．
（2）求展开式中系数最大的项．
【分析】首先利用已知求出二项式指数，然后求出特征项以及系数最大项．
【解答】解：（1）∵的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56：3，
∴，解得n＝10，
，由得r＝2，
所以展开式的常数项为第三项，T3＝180；
（2）由得，
又∵r∈N，∴r＝7，
系数最大的项为第8项；
【点评】本题考查了二项式定理的运用；应用二项式定理求特征项必须明确展开式的通项．
17．（15分）已知f（x）＝（1+x）m，g（x）＝（1+2x）n（m，n∈N*）．
（1）若m＝3，n＝4，求f（x）g（x）的展开式含x2的项．
（2）令h（x）＝f（x）+g（x），h（x）的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
【分析】（1）利用二项式定理，分别找出得到x2的所有可能情况然后相加；
（2）由h（x）的展开式中含x的项的系数为12，得到m，n的关系式，然后将x2的系数用m，n表示，化简为关于一个变量的解析式，根据自变量范围求最小值．
【解答】解：（1）m＝3，n＝4，f（x）＝（1+x）3，g（x）＝（1+2x）4，
∴f（x）g（x）＝（1+x）3（1+2x）4，∴展开式含x2的项有1×+1×x2＝27x2；
（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝）＝（1+x）m+（1+2x）n，
∵h（x）的展开式中含x的项的系数为12，
∴＝12x，即m+2n＝12，
此时x2的系数为＝＝4n2﹣25n+66＝4（n﹣）2﹣+66，n∈N*，
∴n＝3时，x2的项的系数取得最小值．
【点评】本题考查了二项式定理的运用；明确项的系数的组成形式是解答的关键．
18．（17分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．
（1）求函数f（x）的单调性与极值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x+mx2＝0有两个解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，极值．
（2）问题转化为关于x的方程m＝﹣有两个解，设g（x）＝﹣，x＞0，则y＝a与y＝g（x）有两个交点，即可得出答案．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣1＝，
令f′（x）＝0，得x＝1，
所以在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，无极小值．
（2）因为若关于x的方程f（x）+2x+mx2＝0有两个解，
所以关于x的方程lnx﹣x+2x+mx2＝0有两个解，
所以关于x的方程lnx+x+mx2＝0有两个解，x＞0，
所以关于x的方程m＝﹣有两个解，
所以g（x）＝﹣，x＞0，
g′（x）＝﹣＝﹣＝，
令h（x）＝﹣1+x+2lnx，x＞0，则h（x）单调递增，
又h（1）＝0，
所以在（0，1）上h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递增，
在（1，+∞）上h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）max＝g（1）＝﹣1，
x→0时，g（x）→+∞；x→+∞时，g（x）→0，
所以﹣1＜m＜0，
所以m的取值范围为（﹣1，0）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
19．（17分）已知函数在定义域上有两个极值点x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的值．
【分析】（1）求导，然后利用判别式以及韦达定理求解；
（2）计算f（x1）+f（x2），然后代入x1+x2，x1x2的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解．
【解答】解：（1）由已知，
因为函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，
所以，解得0＜a＜1，
所以实数a的取值范围为（0，1）．
（2）由（1）得0＜a＜1，，
即两个极值点x1，x2为方程ax2﹣2x+1＝0的两根，
则，
所以
＝，
代入得，其中0＜a＜1，
则，得，
设g（x）＝x﹣xlnx，0＜x＜1，
则g′（x）＝1﹣（1+lnx）＝﹣lnx，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）上单调递增，
又，
所以．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
x
﹣3
（﹣3，﹣1）
﹣1
（﹣1，1）
1
（1，3）
3
f′（x）
+
0
﹣
0
+
y＝f（x）
﹣49
单调递增
极大值11
单调递减
极小值﹣1
单调递增
59