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2023-2024学年辽宁省丹东市凤城市九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省丹东市凤城市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，三象限B. 第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35，求tanB为( )
A. 34B. 35C. 45D. 43
3.已知反比例函数y=kx的图象经过点P(−1,−2)，则这个函数的图象位于( )
A. 第二、三象限B. 第一、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限
4.某路口的交通信号灯每一轮红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( )
A. 12B. 14C. 13D. 512
5.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A. AB//DC，AB=CDB. AB//CD，AD//BC
C. AC=BD，AC⊥BDD. OA=OB=OC=OD
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：3
B. 2：3
C. 4：5
D. 1：9
7.下列命题正确的是( )
A. 已知：线段a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，则a，b，c，d是比例线段
B. 关于x的方程(m2+1)x2−3=0是一元二次方程
C. 已知点A(−1,y1)，B(−2,y2)是函数y=−5x图象上的两点，则y2>y1
D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形
8.如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6m的女孩站在点P处，OP=2m，则女孩的影子长为( )
A. 13m
B. 45m
C. 14m
D. 25m
9.如图，矩形ABCD中，点E为AB边中点，连接AC、DE交于点F，若△CDF的面积为4，则△AED的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP= 2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有个．( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知xy=35，则2x−yy= ．
12.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．
13.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=______．
14.已知点A是y=kx(x>0)图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC=BC，S△BOC=1，则k的值是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点M是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接MP，将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，若PB′平行于坐标轴时，则此时的时间t为______ 秒.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：2x(x−1)=1−x．
(2)计算：2cs245°+tan60°⋅tan30°−cs60°．
17.(本小题8分)
建国中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3.学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是______ ；
(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，请用“列表”或“画树状图”的方法求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过A、C两点分别作AD//BC，CD//AB交于点D，延长DC至点E，使DC=CE，连接BE．
(1)求证：四边形ACEB是菱形；
(2)若AB=4，BC=6，求四边形ACEB的面积．
19.(本小题8分)
某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每周少卖出10件，每周销量不少于240件．
(1)每件售价最高为多少元？
(2)实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？
20.(本小题8分)
如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000 3m，E在BD的中点处．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点B，A之间的距离．(结果保留根号)
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=mx的图象交于A，B两点，过点B作BE⊥x轴于点E，已知A点坐标是(1,4)，BE=43．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出kx+b≥mx的x的取值范围．
(3)连接OA、OB，求△AOB的面积．
22.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF∽△EGC；
(3)当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．
23.(本小题12分)
已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y=−x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意知，原几何体的左视图为一个长方形，长方形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
根据左视图是从左边看，得出答案即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【解答】
解：在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35=BCAB，
∴AB=5，
∴AC= AB2−BC2=4，
∴tanB=ACBC=43，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点P(−1,−2)，
∴k=(−1)×(−2)=2>0，
∴此函数的图象位于一、三象限．
故选：B．
先根据反比例函数y=kx的图象经过点P(−1,−2)求出k的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
本题考考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知，遇到绿灯的概率是2572+25+3=14，
故选：B．
根据概率公式计算即可．
本题主要考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、AB//DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB//CD，AD//BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AB：DE=OA：OD=1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：D．
根据位似图形的概念得到AB//DE，进而得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、根据线段成比例的定义，线段a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，有ab≠cd，从而a，b，c，d不是成比例线段，该命题错误，不符合题意；
B、根据一元二次方程定义，m2+1≥1≠0，关于x的方程(m2+1)x2−3=0是一元二次方程正确，符合题意；
C、已知点A(−1,y1)，B(−2,y2)是函数y=−5x图象上的两点，结合反比例函数图象的增减性，当k=−5<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大，因此当−1>−2时，y1>y2，该命题错误，不符合题意；
D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意；
故选：B．
根据比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案．
本题考查命题真假判断，涉及比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示，∵CP//AO，
∴△BCP∽△BAO，
∴PBOB=PCOA，即PB2+PB=1.69.6，
解得：PB=0.4．
故选：D．
根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：矩形ABCD中，AE//CD
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC
又∵∠CFD=∠AFE
∴△AEF∽△CDF
∵点E为AB边中点
∴CD=2AE
设△AEF的高为h，则△CDF的高为2h，
∴S△CDF=12×CD×2h=4，
∴CD⋅h=4，
∴2AE⋅h=4，
∴AE⋅h=2
∴S△AED=12×AE×3h=3，
故选：A．
可证明△AEF∽△CDF，且点E为AB边中点，则△CDF的面积为4，从而可计算出△ABC的面积．
本题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握三角形相似的知识点是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
①可证明△COF≌△BOE，进而证明△ABE≌△BCF，进一步得出结论；
②可证明△ABP∽△AEB，从而AB2=AP⋅AE，可证明△AOB∽△ABC，从而AB2=OA⋅AC，进而得出AP⋅AE=OA⋅AC，从而得出结论；
③由四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积可得四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，从而四边形OECF的面积等于△BOC的面积，进而得出结论；
④作∠POQ=90°，交AP于Q，可证得PQ= 2OP及△AOQ≌△BOP，进一步得出结论；
⑤作FG⊥BD于G，设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，可得出tan∠DBF=37，可证得∠DBF=∠CAE，从而得出tan∠CAE=37，从而得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OCF=∠OBE=45°，∠BOC=90°，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠BOC−∠COE=∠EOF−∠COE，
∴∠COF=∠BOE，
∴△COF≌△BOE(AAS)，
∴CF=BE，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠ABE+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
故①正确；
由△ABP∽△AEB得，AB2=AP⋅AE，
由△AOB∽△ABC得，AB2=OA⋅AC，
∴AP⋅AE=OA⋅AC，
∵∠POA=∠CAE，
∴△AOP∽△AEC，
故②正确；
由①知：△COF≌△BOE，
∵四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积，
∴四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，
∴四边形OECF的面积等于△BOC的面积，
而△BOC的面积等于正方形ABCD的面积的14，
∴四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；
故③正确；
如图，
作∠POQ=90°，交AP于Q，
∵∠APO=45°，
∴∠OQP=90°−∠APO=45°，
∴OQ=OP，PQ= 2OP，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOQ=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△AOQ≌△BOP(SAS)，
∴AQ=BP，
∵AP−AQ=PQ，
∴AP−PQ= 2OP，
故④正确；
如图2，
作FG⊥BD于G，
∵BE：CE=2：3，
∴BE：BC=2：5，
∵CF=BE，
∴CF：BC=2：5，
设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，
∴DF=3a，
∴FG=DG= 22DF=3 22a，
∴BG=BD−DG=5 2a−3 22=7 22a，
∴tan∠DBF=FGBG=3 22a7 22a=37，
∵∠ABD=∠APO=45°，
∴点A、B、P、O共圆，
∴∠DBF=∠CAE，
∴tan∠CAE=37，
故⑤不正确，
∴①②③④正确，
故选：C．
11.【答案】15
【解析】【分析】
根据题意，设x=3k，y=5k，代入即可求得2x−yy的值．
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
【解答】
解：由题意，设x=3k，y=5k，
∴2x−yy=6k−5k5k=15．
故答案为：15
12.【答案】k>1且k≠2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4(k−2)×(−1)>0且k−2≠0，
解得：k>1且k≠2，
故答案为：k>1且k≠2．
根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ=22−4(k−2)×(−1)>0且k−2≠0，求出k的取值范围即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
13.【答案】20°
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．
由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE=12BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°−70°=20°，
故答案为20°．
14.【答案】4
【解析】解：连接OA，作AD⊥x轴于点D，则AD//OC，
∵AC=BC，
∴BO=DO，
∴2OC=AD，
∵S△BOC=12BO⋅OC=1，
∴S△AOD=12OD⋅AD=12BO⋅2OC=2，
∵点A是y=kx(x>0)图象上的一点，
∴S△AOD=12|k|，
∴12|k|=2，
∴k=±4，
∵y=kx(x>0)图象在第一象限，
∴k=4．
故答案为：4．
连接OA，作AD⊥x轴于点D，则AD//OC，根据题意得出2OC=AD，然后根据三角形面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形面积，理解反比例函数系数k的几何意义，求得△AOD的面积是解题的关键．
15.【答案】12或32或92
【解析】解：∵直线y=34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A(−4,0)，点B(0,3)，
∵点M是线段OB的中点，
∴M(0,32)，
∴OM=BM=32，
①PB′平行于y轴时，
∵PB′平行于y轴，
∴∠2=∠3，
∵将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BP=BM=32，
∴t=32；
②PB′平行于x轴时，又分两种情况，如图：
PB′平行于x轴时，过点M作MD//x轴交AB于D，
∴PB′//MD//x轴，
∴∠1=∠B′，∠2=∠OAB，
∵将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA=∠B′，MB=MB′=32，PB=PB′=t，
∴∠1=∠OBA，
∵∠OBA+∠OAB=∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠AOB=90°，
∴△MDE∽△BAO，
∴MEBO=MDAB，
∵点M是线段OB的中点，OA=4，MD//x轴，
∴MD=2，
∵OB=3，AB= OA2+OB2=5，
∴ME=65，
∵PB′//CD，
∴PB′MD=EB′ME，
∵MB=MB′，PB=PB′=t，
∴t2=32−6565，
∴t=12；
PB′平行于x轴时，过点M作MD//x轴交AB于D，
∴PB′//MD//x轴，
∴∠AOB=∠CEB′=90°，
∵将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA=∠B′，MB=MB′=32，PB=PB′=t，
∴△B′EM∽△BOA，
∴B′EOB=B′MAB，
∵OB=3，AB=5，
∴B′E=910，
∴ME= B′M2−B′E2= (32)2−(910)2=65，
∵PB′//MD，
∴PEMD=BEBM，
∵点M是线段OB的中点，OA=4，MD//x轴，
∴MD=2，
∴PE2=32+6532，
∴PE=185，
∴PB′=PE+B′E=185+910=92，
∴t=92；
综上，t的值为12或32或92．
故答案为：12或32或92．
分PB′平行于x轴时，PB′平行于y轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出t的值．
此题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)2x(x−1)=1−x，
2x(x−1)=−(x−1)，
2x(x−1)+(x−1)=0
(x−1)(2x+1)=0，
∴x1=1，x2=−12；
(2)2cs245°+tan60°⋅tan30°−cs60°
=2×( 22)2+ 3× 33−12
=1+1−12
=32．
【解析】(1)先移项，再利用因式分解法求出x的值即可；
(2)根据特殊角的三角函数值代入即可求得结果．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法及特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法．
17.【答案】37
【解析】解：(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是37，
故答案为：37；
(2)
共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴概率为612=12．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵AD//BC，CD//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵DC=CE，
∴AB=CE，
∵AB//CD，
∴AB//CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB=AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
(2)如图，连接AE，交BC于点O，
∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB=4，BC=6，
∴OB=12BC=3，
∴OA= AB2−OB2= 42−32= 7，
∴AE=2OA=2 7，
∴S菱形ACEB=12AE⋅BC=12×6×2 7=6 7．
【解析】(1)根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
(2)连接AE，交BC于点O，根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)设每件的售价为x元，
依题意得：300−10(x−60)≥240，
解得：x≤66．
答：每件售价最高为66元．
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(66−y−40)元，每周的销售量为(240+20y)件，
依题意得：(66−y−40)(240+20y)=6500，
整理得：y2−14y+13=0，
解得：y1=1，y2=13．
又∵要尽快减少库存，
∴y=13．
答：每件应降价13元．
【解析】(1)设每件的售价为x元，利用每周的销售量=300−10×上涨的价格，结合每周销量不少于240件，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(66−y−40)元，每周的销售量为(240+20y)件，利用每周销售该商品获得的利润=每件的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价13元．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】解：(1)由题意得，∠C=90°，∠CBD=60°，∠CAE=45°，
∵CD=1000 3，
∴BC=CDtan60∘=1000，
∴BD=2BC=2000，
∵E在BD的中点处，
∴BE=12BD=1000(米)；
(2)过E作EF⊥AB与F，
在Rt△AEF中，EF=AF=BE⋅sin60°=1000× 32=500 3，
在Rt△BEF中，BF=BE⋅cs60°=500，
∴AB=AF−BF=500( 3−1)(米)．
【解析】(1)根据已知条件得到∠C=90°，∠CBD=60°，∠CAE=45°，解直角三角形即可得到结论；
(2)过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，求得EF，在Rt△BEF中，求得BF，于是得到结论．
此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
21.【答案】解：(1)∵点A(1,4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴4=m1，解得m=4，
∴反比例函数表达式为y=4x；
∵BE⊥x轴于点E，且BE=43，即点B纵坐标为−43，而点B在反比例函数y=4x的图象上，
∴当y=−43时，4x=−43，
解得x=−3．
则点B坐标为(−3,−43)，
将A(1,4)，B(−3,−43)代入y=kx+b中，
得4=k+b−43=−3k+b，
解得k=43b=83，
∴一次函数表达式为y=43x+83；
(2)由图可知kx+b≥mx的x的取值范围为：x≥1或−3≤x<0；
(3)点C为一次函数y=43x+83的图象与y轴的交点，则C(0,83).
S△AOB=S△BOC+S△AOC
=12⋅OC⋅|xA−xB|
=12×83×4
=163．
【解析】(1)根据点A坐标将反比例函数表达式求出，再利用反比例函数求出点B的坐标，最后根据点A和点B坐标用待定系数法求出一次函数表达式；
(2)由数形结合直接在图上判断即可
(3)求出点C坐标，再根据S△AOB=S△BOC+S△AOC可得结果．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，正确利用反比例函数与一次函数的交点坐标的特点是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDBDE=DE
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE．
(2)证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠G，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠G=∠DCE，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；
(3)解：判断FG=3EF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴EFEC=ECEG，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴EFAE=12，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG−EF=4EF−EF=3EF．
【解析】(1)根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可证明；
(2)首先利用平行线的性质得出∠DAE=∠G，进而得出∠G=∠DCE，进而得出答案；
(3)根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．
此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质等知识，得出△ADE≌△CDE是解题关键．
23.【答案】解：(1)设直线l2的解析式y=kx+b，
∵直线l1：y=−x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A(2,0)，B(0,2)，
∵直线l2经过点A，与y轴交于点C(0,−4)，
∴2k+b=0b=−4，
∴k=2b=−4，
∴直线l2的解析式：y=2x−4；
(2)由题意可知，BC=6，
设点P的横坐标为m，
∴S△PAC=12⋅|xA−xP|⋅BC=12|2−m|×6=9，
∴m=−1或m=5．
∴P(−1,3)或P(5,−3)；
(3)设将△ABC沿着x轴平移t个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1(2−t,0)，
∴CC1=t，A1C1=AC=2 5，
设D点坐标为(p,q)，
①当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当CC1=A1C1=2 5时，即t=2 5，
此时CC1//A1D，即点D在x轴上，
且A1D=A1C1=2 5，
∴点D与点A重合，即D(2,0)．
当CC1=A1C=t时，
∵A1(2−t,0)，C(0,−4)，
∴(−4)2+(2−t)2=t2，
解得t=5，
此时CC1//A1D，即点D在x轴上，
且A1D=CC1=5，
∴D(−8,0)．
②当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形对角线时，A1C1=A1C=2 5，即点A1在CC1的垂直平分线上，且A1，D关于CC1对称，
当△ABC向左一移动，A1(2−t,0)，C(0,−4)，C1(−t,−4)，
∴(−4)2+(2−t)2=(2 5)2，
解得t=4或t=0(舍)，
当△ABC向右移动时，A1(2+t,0)，C(0,−4)，C1(t,−4)，
∴(−4)2+(2+t)2=(2 5)2，
解得t=−4(舍)或t=0(舍)，
∴A1(−2,0)，
∴D(−2,−8)．
综上所述，存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为(2,0)，(−8,0)，(−2,−8)．
【解析】(1)设直线l2的解析式y=kx+b，求出点A的坐标，把A、C的坐标代入解析式计算即可；
(2)设点P的横坐标为t，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
(3)按CC1为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点D的坐标即可．
本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
1.如图，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35，求tanB为( )
A. 34B. 35C. 45D. 43
3.已知反比例函数y=kx的图象经过点P(−1,−2)，则这个函数的图象位于( )
A. 第二、三象限B. 第一、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限
4.某路口的交通信号灯每一轮红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( )
A. 12B. 14C. 13D. 512
5.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A. AB//DC，AB=CDB. AB//CD，AD//BC
C. AC=BD，AC⊥BDD. OA=OB=OC=OD
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：3
B. 2：3
C. 4：5
D. 1：9
7.下列命题正确的是( )
A. 已知：线段a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，则a，b，c，d是比例线段
B. 关于x的方程(m2+1)x2−3=0是一元二次方程
C. 已知点A(−1,y1)，B(−2,y2)是函数y=−5x图象上的两点，则y2>y1
D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形
8.如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6m的女孩站在点P处，OP=2m，则女孩的影子长为( )
A. 13m
B. 45m
C. 14m
D. 25m
9.如图，矩形ABCD中，点E为AB边中点，连接AC、DE交于点F，若△CDF的面积为4，则△AED的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP= 2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有个．( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知xy=35，则2x−yy= ．
12.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．
13.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=______．
14.已知点A是y=kx(x>0)图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC=BC，S△BOC=1，则k的值是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点M是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接MP，将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，若PB′平行于坐标轴时，则此时的时间t为______ 秒.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：2x(x−1)=1−x．
(2)计算：2cs245°+tan60°⋅tan30°−cs60°．
17.(本小题8分)
建国中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3.学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是______ ；
(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，请用“列表”或“画树状图”的方法求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过A、C两点分别作AD//BC，CD//AB交于点D，延长DC至点E，使DC=CE，连接BE．
(1)求证：四边形ACEB是菱形；
(2)若AB=4，BC=6，求四边形ACEB的面积．
19.(本小题8分)
某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每周少卖出10件，每周销量不少于240件．
(1)每件售价最高为多少元？
(2)实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？
20.(本小题8分)
如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000 3m，E在BD的中点处．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点B，A之间的距离．(结果保留根号)
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=mx的图象交于A，B两点，过点B作BE⊥x轴于点E，已知A点坐标是(1,4)，BE=43．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出kx+b≥mx的x的取值范围．
(3)连接OA、OB，求△AOB的面积．
22.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF∽△EGC；
(3)当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．
23.(本小题12分)
已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y=−x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意知，原几何体的左视图为一个长方形，长方形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
根据左视图是从左边看，得出答案即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【解答】
解：在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35=BCAB，
∴AB=5，
∴AC= AB2−BC2=4，
∴tanB=ACBC=43，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点P(−1,−2)，
∴k=(−1)×(−2)=2>0，
∴此函数的图象位于一、三象限．
故选：B．
先根据反比例函数y=kx的图象经过点P(−1,−2)求出k的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
本题考考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知，遇到绿灯的概率是2572+25+3=14，
故选：B．
根据概率公式计算即可．
本题主要考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、AB//DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB//CD，AD//BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AB：DE=OA：OD=1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：D．
根据位似图形的概念得到AB//DE，进而得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、根据线段成比例的定义，线段a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，有ab≠cd，从而a，b，c，d不是成比例线段，该命题错误，不符合题意；
B、根据一元二次方程定义，m2+1≥1≠0，关于x的方程(m2+1)x2−3=0是一元二次方程正确，符合题意；
C、已知点A(−1,y1)，B(−2,y2)是函数y=−5x图象上的两点，结合反比例函数图象的增减性，当k=−5<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大，因此当−1>−2时，y1>y2，该命题错误，不符合题意；
D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意；
故选：B．
根据比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案．
本题考查命题真假判断，涉及比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示，∵CP//AO，
∴△BCP∽△BAO，
∴PBOB=PCOA，即PB2+PB=1.69.6，
解得：PB=0.4．
故选：D．
根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：矩形ABCD中，AE//CD
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC
又∵∠CFD=∠AFE
∴△AEF∽△CDF
∵点E为AB边中点
∴CD=2AE
设△AEF的高为h，则△CDF的高为2h，
∴S△CDF=12×CD×2h=4，
∴CD⋅h=4，
∴2AE⋅h=4，
∴AE⋅h=2
∴S△AED=12×AE×3h=3，
故选：A．
可证明△AEF∽△CDF，且点E为AB边中点，则△CDF的面积为4，从而可计算出△ABC的面积．
本题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握三角形相似的知识点是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
①可证明△COF≌△BOE，进而证明△ABE≌△BCF，进一步得出结论；
②可证明△ABP∽△AEB，从而AB2=AP⋅AE，可证明△AOB∽△ABC，从而AB2=OA⋅AC，进而得出AP⋅AE=OA⋅AC，从而得出结论；
③由四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积可得四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，从而四边形OECF的面积等于△BOC的面积，进而得出结论；
④作∠POQ=90°，交AP于Q，可证得PQ= 2OP及△AOQ≌△BOP，进一步得出结论；
⑤作FG⊥BD于G，设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，可得出tan∠DBF=37，可证得∠DBF=∠CAE，从而得出tan∠CAE=37，从而得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OCF=∠OBE=45°，∠BOC=90°，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠BOC−∠COE=∠EOF−∠COE，
∴∠COF=∠BOE，
∴△COF≌△BOE(AAS)，
∴CF=BE，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠ABE+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
故①正确；
由△ABP∽△AEB得，AB2=AP⋅AE，
由△AOB∽△ABC得，AB2=OA⋅AC，
∴AP⋅AE=OA⋅AC，
∵∠POA=∠CAE，
∴△AOP∽△AEC，
故②正确；
由①知：△COF≌△BOE，
∵四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积，
∴四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，
∴四边形OECF的面积等于△BOC的面积，
而△BOC的面积等于正方形ABCD的面积的14，
∴四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；
故③正确；
如图，
作∠POQ=90°，交AP于Q，
∵∠APO=45°，
∴∠OQP=90°−∠APO=45°，
∴OQ=OP，PQ= 2OP，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOQ=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△AOQ≌△BOP(SAS)，
∴AQ=BP，
∵AP−AQ=PQ，
∴AP−PQ= 2OP，
故④正确；
如图2，
作FG⊥BD于G，
∵BE：CE=2：3，
∴BE：BC=2：5，
∵CF=BE，
∴CF：BC=2：5，
设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，
∴DF=3a，
∴FG=DG= 22DF=3 22a，
∴BG=BD−DG=5 2a−3 22=7 22a，
∴tan∠DBF=FGBG=3 22a7 22a=37，
∵∠ABD=∠APO=45°，
∴点A、B、P、O共圆，
∴∠DBF=∠CAE，
∴tan∠CAE=37，
故⑤不正确，
∴①②③④正确，
故选：C．
11.【答案】15
【解析】【分析】
根据题意，设x=3k，y=5k，代入即可求得2x−yy的值．
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
【解答】
解：由题意，设x=3k，y=5k，
∴2x−yy=6k−5k5k=15．
故答案为：15
12.【答案】k>1且k≠2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4(k−2)×(−1)>0且k−2≠0，
解得：k>1且k≠2，
故答案为：k>1且k≠2．
根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ=22−4(k−2)×(−1)>0且k−2≠0，求出k的取值范围即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
13.【答案】20°
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．
由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE=12BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°−70°=20°，
故答案为20°．
14.【答案】4
【解析】解：连接OA，作AD⊥x轴于点D，则AD//OC，
∵AC=BC，
∴BO=DO，
∴2OC=AD，
∵S△BOC=12BO⋅OC=1，
∴S△AOD=12OD⋅AD=12BO⋅2OC=2，
∵点A是y=kx(x>0)图象上的一点，
∴S△AOD=12|k|，
∴12|k|=2，
∴k=±4，
∵y=kx(x>0)图象在第一象限，
∴k=4．
故答案为：4．
连接OA，作AD⊥x轴于点D，则AD//OC，根据题意得出2OC=AD，然后根据三角形面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形面积，理解反比例函数系数k的几何意义，求得△AOD的面积是解题的关键．
15.【答案】12或32或92
【解析】解：∵直线y=34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A(−4,0)，点B(0,3)，
∵点M是线段OB的中点，
∴M(0,32)，
∴OM=BM=32，
①PB′平行于y轴时，
∵PB′平行于y轴，
∴∠2=∠3，
∵将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BP=BM=32，
∴t=32；
②PB′平行于x轴时，又分两种情况，如图：
PB′平行于x轴时，过点M作MD//x轴交AB于D，
∴PB′//MD//x轴，
∴∠1=∠B′，∠2=∠OAB，
∵将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA=∠B′，MB=MB′=32，PB=PB′=t，
∴∠1=∠OBA，
∵∠OBA+∠OAB=∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠AOB=90°，
∴△MDE∽△BAO，
∴MEBO=MDAB，
∵点M是线段OB的中点，OA=4，MD//x轴，
∴MD=2，
∵OB=3，AB= OA2+OB2=5，
∴ME=65，
∵PB′//CD，
∴PB′MD=EB′ME，
∵MB=MB′，PB=PB′=t，
∴t2=32−6565，
∴t=12；
PB′平行于x轴时，过点M作MD//x轴交AB于D，
∴PB′//MD//x轴，
∴∠AOB=∠CEB′=90°，
∵将△BMP沿MP翻折，使点B落在点B′处，
∴∠OBA=∠B′，MB=MB′=32，PB=PB′=t，
∴△B′EM∽△BOA，
∴B′EOB=B′MAB，
∵OB=3，AB=5，
∴B′E=910，
∴ME= B′M2−B′E2= (32)2−(910)2=65，
∵PB′//MD，
∴PEMD=BEBM，
∵点M是线段OB的中点，OA=4，MD//x轴，
∴MD=2，
∴PE2=32+6532，
∴PE=185，
∴PB′=PE+B′E=185+910=92，
∴t=92；
综上，t的值为12或32或92．
故答案为：12或32或92．
分PB′平行于x轴时，PB′平行于y轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出t的值．
此题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)2x(x−1)=1−x，
2x(x−1)=−(x−1)，
2x(x−1)+(x−1)=0
(x−1)(2x+1)=0，
∴x1=1，x2=−12；
(2)2cs245°+tan60°⋅tan30°−cs60°
=2×( 22)2+ 3× 33−12
=1+1−12
=32．
【解析】(1)先移项，再利用因式分解法求出x的值即可；
(2)根据特殊角的三角函数值代入即可求得结果．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法及特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法．
17.【答案】37
【解析】解：(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是37，
故答案为：37；
(2)
共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴概率为612=12．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵AD//BC，CD//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵DC=CE，
∴AB=CE，
∵AB//CD，
∴AB//CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB=AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
(2)如图，连接AE，交BC于点O，
∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB=4，BC=6，
∴OB=12BC=3，
∴OA= AB2−OB2= 42−32= 7，
∴AE=2OA=2 7，
∴S菱形ACEB=12AE⋅BC=12×6×2 7=6 7．
【解析】(1)根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
(2)连接AE，交BC于点O，根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)设每件的售价为x元，
依题意得：300−10(x−60)≥240，
解得：x≤66．
答：每件售价最高为66元．
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(66−y−40)元，每周的销售量为(240+20y)件，
依题意得：(66−y−40)(240+20y)=6500，
整理得：y2−14y+13=0，
解得：y1=1，y2=13．
又∵要尽快减少库存，
∴y=13．
答：每件应降价13元．
【解析】(1)设每件的售价为x元，利用每周的销售量=300−10×上涨的价格，结合每周销量不少于240件，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(66−y−40)元，每周的销售量为(240+20y)件，利用每周销售该商品获得的利润=每件的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价13元．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】解：(1)由题意得，∠C=90°，∠CBD=60°，∠CAE=45°，
∵CD=1000 3，
∴BC=CDtan60∘=1000，
∴BD=2BC=2000，
∵E在BD的中点处，
∴BE=12BD=1000(米)；
(2)过E作EF⊥AB与F，
在Rt△AEF中，EF=AF=BE⋅sin60°=1000× 32=500 3，
在Rt△BEF中，BF=BE⋅cs60°=500，
∴AB=AF−BF=500( 3−1)(米)．
【解析】(1)根据已知条件得到∠C=90°，∠CBD=60°，∠CAE=45°，解直角三角形即可得到结论；
(2)过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，求得EF，在Rt△BEF中，求得BF，于是得到结论．
此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
21.【答案】解：(1)∵点A(1,4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴4=m1，解得m=4，
∴反比例函数表达式为y=4x；
∵BE⊥x轴于点E，且BE=43，即点B纵坐标为−43，而点B在反比例函数y=4x的图象上，
∴当y=−43时，4x=−43，
解得x=−3．
则点B坐标为(−3,−43)，
将A(1,4)，B(−3,−43)代入y=kx+b中，
得4=k+b−43=−3k+b，
解得k=43b=83，
∴一次函数表达式为y=43x+83；
(2)由图可知kx+b≥mx的x的取值范围为：x≥1或−3≤x<0；
(3)点C为一次函数y=43x+83的图象与y轴的交点，则C(0,83).
S△AOB=S△BOC+S△AOC
=12⋅OC⋅|xA−xB|
=12×83×4
=163．
【解析】(1)根据点A坐标将反比例函数表达式求出，再利用反比例函数求出点B的坐标，最后根据点A和点B坐标用待定系数法求出一次函数表达式；
(2)由数形结合直接在图上判断即可
(3)求出点C坐标，再根据S△AOB=S△BOC+S△AOC可得结果．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，正确利用反比例函数与一次函数的交点坐标的特点是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDBDE=DE
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE．
(2)证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠G，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠G=∠DCE，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；
(3)解：判断FG=3EF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴EFEC=ECEG，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴EFAE=12，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG−EF=4EF−EF=3EF．
【解析】(1)根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可证明；
(2)首先利用平行线的性质得出∠DAE=∠G，进而得出∠G=∠DCE，进而得出答案；
(3)根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．
此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质等知识，得出△ADE≌△CDE是解题关键．
23.【答案】解：(1)设直线l2的解析式y=kx+b，
∵直线l1：y=−x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A(2,0)，B(0,2)，
∵直线l2经过点A，与y轴交于点C(0,−4)，
∴2k+b=0b=−4，
∴k=2b=−4，
∴直线l2的解析式：y=2x−4；
(2)由题意可知，BC=6，
设点P的横坐标为m，
∴S△PAC=12⋅|xA−xP|⋅BC=12|2−m|×6=9，
∴m=−1或m=5．
∴P(−1,3)或P(5,−3)；
(3)设将△ABC沿着x轴平移t个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1(2−t,0)，
∴CC1=t，A1C1=AC=2 5，
设D点坐标为(p,q)，
①当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当CC1=A1C1=2 5时，即t=2 5，
此时CC1//A1D，即点D在x轴上，
且A1D=A1C1=2 5，
∴点D与点A重合，即D(2,0)．
当CC1=A1C=t时，
∵A1(2−t,0)，C(0,−4)，
∴(−4)2+(2−t)2=t2，
解得t=5，
此时CC1//A1D，即点D在x轴上，
且A1D=CC1=5，
∴D(−8,0)．
②当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形对角线时，A1C1=A1C=2 5，即点A1在CC1的垂直平分线上，且A1，D关于CC1对称，
当△ABC向左一移动，A1(2−t,0)，C(0,−4)，C1(−t,−4)，
∴(−4)2+(2−t)2=(2 5)2，
解得t=4或t=0(舍)，
当△ABC向右移动时，A1(2+t,0)，C(0,−4)，C1(t,−4)，
∴(−4)2+(2+t)2=(2 5)2，
解得t=−4(舍)或t=0(舍)，
∴A1(−2,0)，
∴D(−2,−8)．
综上所述，存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为(2,0)，(−8,0)，(−2,−8)．
【解析】(1)设直线l2的解析式y=kx+b，求出点A的坐标，把A、C的坐标代入解析式计算即可；
(2)设点P的横坐标为t，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
(3)按CC1为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点D的坐标即可．
本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
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