天津市第四十七中学2024届高三上学期第二次阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份天津市第四十七中学2024届高三上学期第二次阶段性检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．“a，b，c成等比数列”是“，，成等比数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是( )
A.直方图中x的值为0.040
B.在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C.估计全校学生的平均成绩为84分
D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
4．函数的部分图象可能是( )
A.B.
C.D.
5．设，，，则( )
A.B.C.D.
6．在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为,，过且垂直于x轴的直线与C相交于P,Q两点，与y轴的交点为R，，则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
7．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为( )
A.B.C.D.
8．设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是( )
A.函数的周期为
B.将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C.当，的值域为
D.方程在区间上的根的个数共有6个
9．已知中，，，，，，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．若复数为实数，则实数a的值为________.
11．的展开式中项的系数为________.
12．已知圆C的圆心坐标是，若直线与圆C相切于点，则圆C的标准方程为________.
13．已知正实数m，n，满足，则的最小值为________.
14．已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为________.
三、双空题
15．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则_______；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为________.
四、解答题
16．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若的面积，.
①求的值；
②求.
17．如图，已知SA垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为SB的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求面与面夹角的正弦值；
（3）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.
18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形的面积的最大值
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.
19．已知数列的前n项和为，，是与的等差中项.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，若数列是递增数列，求t的取值范围；
（3）设，且数列的前n项和为，求证：.
20．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求使恒成立的最大偶数a.
（3）已知当时，总成立.令，若在的图像上有一点列，若直线的斜率为，求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：，，
.
故选：C.
2．答案：A
解析：若a，b，c成等比数列，则，
此时，则，，成等比数列，即充分性成立，
反之当，，时满足，，成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立，
即“a，b，c成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A.
3．答案：C
解析：定义A：根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1，可得，解得，所以A错；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为(人)，所以B错；
对于C：估计全校学生的平均成绩为(分)，所以C对；
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为(分).
所以D错.
故选：C
4．答案：A
解析：，舍去B，，舍去D，
时，，
，
函数在上单调递增，
故选：A.
5．答案：C
解析：，
，，
因为，所以，，则，即，
因此，.
故选：C.
6．答案：B
解析：由双曲线的对称性，不妨设P在x轴的上方，
因为过且垂直于x轴，故,，
所以直线，整理得到，故.
因为，故，整理得到，
所以即，故.
故选：B.
7．答案：D
解析：如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，
易知AC为圆面的直径，平面，
因为O，M分别为BD，BN的中点，所以，
所以平面，
，，
即，在中，，
，，球O的表面积为.
故选：D.
8．答案：D
解析：A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误；
B选项，由A可知，.则将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为偶函数，故B错误；
C选项，当时，，因在上单调递增，在上单调递减，则，故C错误；
D选项，时，，则当时，，则在区间上的根的个数共有6个，故D正确.
故选：D
9．答案：D
解析：由，结合向量加法法则知：A到的距离为2，
又，则，所以，故为等腰直角三角形，
由，则，所以P,B,C共线，
又，则,，若D,E为的两个四等分点，N为中点，如下图示，
所以P在线段上运动，且，，，
由图：若，则，又，此时，
故上述情况，易知，
由图知：P与E重合时，，
综上，的取值范围为.
故选：D
10．答案：
解析：，
z为实数，，解得：.
故答案为：.
11．答案：2
解析：因，只需要求的展开式中含,项的系数.
又的展开式的通项为，
则含,项的系数分别是，，
的展开式中项的系数为.
故答案为：2.
12．答案：
解析：因为圆心坐标为，直线与圆C相切于点
根据圆心和切点的连线与直线垂直，所以，解得，
根据两点间的距离公式，可得圆C的半径
故圆C的标准方程为.
故答案为：
13．答案：
解析：，构造函数，则，即在上单调递增，
则.则，
当且仅当，即,时取等号.
故答案为：.
14．答案：
解析：若，，函数没有三个零点，所以，
为奇函数，则，即，
得，
设，函数定义域为R，，为偶函数，
，是R上的增函数，且，
则，解得；，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
，由，则有，
所以，，
由，当且仅当时等号成立，则，
若，则，单调递减，没有三个零点；
若，令，则方程，即，
判别式，方程有两个不相等实数根，设两根为,且，则有，，所以，
令，，由，则且，
，即，即，解得，得；
，即，即，解得或，得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，由，则有，，
由函数的单调性和递增速度可知，时，存在，的图像如图所示，
此时奇函数有三个零点.
综上可知，t的取值范围为.
故答案为：
15．答案：;/
解析：由题意可得、、是两两互斥的事件，,,，
若从甲箱中随机取出1红球放入乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球，所以，同理可得，
所以
，
题意可得X的取值可能为0，1，2，3，则
，
，
，
，
所以,
故答案为：，
16．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）因为，，
可得：，解得：或，
三角形为锐角三角形，，.
（2）①，可得，
又，可得：，
在中，由余弦定理得，，
，
在中，由正弦定理可得：.
②由余弦定理得：，
，，
.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）证明：连接FG如图，在中，F、G分别为SD、SB的中点，
所以.
又因为平面，平面，平面.
（2）因为平面，平面，
所以，.
又，所以.
以，，为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
，，.
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，解得，.
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，，
所以面与面夹角正弦值为.
（3）假设存在点H，设，，
则.
由（2）知，平面的一个法向量为.
则，
即，所以.
故存在满足题意的点H，此时
18．答案：（1）；
（2）①，②是常数，理由见解析.
解析：（1）设椭圆C的方程为.
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）①由（1）可求得点P、Q的坐标为，，则，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得：，
由，可得.
由韦达定理知：，，
四边形的面积，
故当时，；
②由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
则
.
所以的值为常数0.
19．答案：（1）证明见解析，；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）证明：是与的等差中项，
①，
于是有②，
①②，即，
，
又，，，
，，
，即有，
又，，
是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，.
（2）由（1）可知，，
，，
所以，
是递增数列，，，
当n是奇数时，,，即恒成立，
数列单调递增，，
当n是偶数时，,，即恒成立
数列单调递减，，
综上，t的取值范围是.
（3），，
即，
当时，
.
，，
当时，，综上所述，.
20．答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
解析：（1）当时，，，
所以，曲线在点处切线的斜率为，
所以切线方程为.
（2）当时，使等价于，
令，所以，
令，所以，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以在上，使，即，
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为，所以，
所以，且，
所以使恒成立的最大偶数为.
（3）时，，
，
令，则，
令，则，单调递增，
又，所以，当时，，单调递增，
又，所以，当时，，
即，则，
，
.