2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A．y＝x2B．C．D．
5．点A（3，﹣2）关于y轴的对称点为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
6．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点（x1，﹣3），（x2，2）都在直线y＝﹣2x+1上，则x1与x2的大小关系为（ ）
A．x1＞x2B．x1＝x2C．x1＜x2D．无法比较
8．若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
9．如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为12dm，4dm，则能放入此木箱中的木棒最长为（ ）
A．13dmB．15dmC．19dmD．24dm
10．如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．实数64的立方根是 ．
12．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 ．
13．设a为正整数，若，则a的值为 ．
14．已知点A（m+1，2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴 ．
15．如图，圆柱的底面周长为6，AC是底面圆的直径，点P是B上一点，且PC＝4 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形EFNM，则线段BF的长度为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．已知x＝2﹣，y＝2+，求：x2+xy+y2的值．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，一块四边形空地ABCD，经测量∠A＝90°，DA＝4m，BC＝12m，求空地ABCD的面积．
四、（每小题8分，共16分）
20．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，将纸片沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，求AF的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上（1，1）．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）已知点P为y轴上一点，若使得△ABP的周长最小，周长最小值为 ．
五、（本题10分）
22．国庆假期，小军到某景区游玩．如图，l1，l2分别表示小军与观光车沿同一路线从景区门口行驶到观景点的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．
（1）景区门口与观景点相距 m，小军与观光车相遇时距离景区门口 m；
（2）小军途中休息 min，观光车出发 min追上小军；
（3）若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，小军出发 min与观光车相遇．
六、（本题10分）
23．请观察下列式子：
；
；
；
．
根据阅读解决下列问题：
（1）计算：＝ ；＝ ；
（2）猜想规律：＝ （n为正整数）；
（3）利用规律计算的值．
七、（本题12分）
24．如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B（2，0），点M为直线AB上的动点，设点M的横坐标为m．
（1）求直线BC的表达式；
（2）当m＝﹣3时，求△AMC的面积；
（3）当△MBC是以BM为腰的等腰三角形时，请直接写出m的值．
八、（本题12分）
25．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．
（1）若∠DAE＝90°，AD＝AE（A，D，E按逆时针排列）．
①如图1，当点D在边BC上时，请直接写出BD与CE的数量关系和位置关系；
②如图2，当点D在△ABC外部时（点E，B，C不在同一条直线上），且BE＝BC；
（2）点D在△ABC外部，若，且CD⊥BD于点D，请直接写出AD的长．
参考答案
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A、3.14是有限小数，不符合题意；
B、是分数，不符合题意；
C、，是整数，不符合题意；
D、，是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、因为12+22≠33，所以不能构成直角三角形；
B、因为22+72≠47，所以不能构成直角三角形；
C、因为32+62＝56，所以能构成直角三角形；
D、因为42+62≠68，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
解：∵﹣3＜0，5＞0，
∴点P（﹣3，6）所在的象限是第二象限，
故选：B．
【点评】考查点的坐标的相关知识；掌握各个象限内点的符号特点是解决本题的关键．
4．以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A．y＝x2B．C．D．
【分析】正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
解：A、对于y＝x2，x的指数不是1，故不符合题意；
B、对于y＝，故不符合题意；
C、对于y＝，故符合题意；
D、对于y＝，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题侧重考查正比例函数的定义，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
5．点A（3，﹣2）关于y轴的对称点为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点A（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．＝2，不是最简二次根式；
B．是最简二次根式；
C．＝，即被开方数中含有分母，故本选项不符合题意；
D．＝，即被开方数中含有分母，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
7．已知点（x1，﹣3），（x2，2）都在直线y＝﹣2x+1上，则x1与x2的大小关系为（ ）
A．x1＞x2B．x1＝x2C．x1＜x2D．无法比较
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合﹣3＜2，即可得出x1＞x2．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（x7，﹣3），（x2，7）都在直线y＝﹣2x+1上，且﹣8＜2，
∴x1＞x5．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8．若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
【分析】观察图象，找到一次函数y＝kx+b的图象过的象限，进而分析k、b的取值范围，即可得答案．
解：观察图象可得，一次函数y＝kx+b的图象过一、三；
故k＞0，b＜0；
故选：B．
【点评】本题要求学生根据图象分析出k、b参数的取值范围，考查学生对一次函数中k、b参数的意义的了解与运用．
9．如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为12dm，4dm，则能放入此木箱中的木棒最长为（ ）
A．13dmB．15dmC．19dmD．24dm
【分析】首先根据勾股定理求出AC2，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的长即可．
解：如图，由勾股定理得2＝122+72＝160，
在Rt△ABC中，由勾股定理得＝＝13（dm），
即能放入此木箱中的木棒最长为13dm，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确得出AB的长是能放入此木箱中的木棒最长是解题的关键．
10．如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出斜边长为，弧的半径等于，点A在﹣1的左边，表示的数为﹣1﹣．
解：根据勾股定理得：，
点A表示的数为﹣4﹣．
故答案为D．
【点评】考查了数轴上点的表示方法，利用勾股定理求斜边．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．实数64的立方根是 4 ．
【分析】利用立方根定义开立方即可求出值．
解：∵43＝64，
∴64的立方根是8，
故答案为：4
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．
12．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 10 ．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
解：由题意可知，直角三角形中，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100，
∴边长为10
故答案为：10．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．正确解题相关知识点是解题关键．
13．设a为正整数，若，则a的值为 3 ．
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜8，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
14．已知点A（m+1，2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴 （4，2） ．
【分析】根据平行于x轴时，点A和点B的纵坐标相等，得到点B的坐标，再求出m的值，代入点A坐标中即可．
解：m﹣1＝2
m＝6，
m+1＝3+4＝4，
点A坐标：（4，4），
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，关键知道直线平行于x轴时，在这条直线上的点的纵坐标相等．
15．如图，圆柱的底面周长为6，AC是底面圆的直径，点P是B上一点，且PC＝4 5 ．
【分析】将圆柱侧面展开，再根据两点之间，线段最短可得，AP即为从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程．
解：将圆柱侧面展开，再根据两点之间，AP即为从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程，
由勾股定理得，AP＝，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，利用转化思想是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形EFNM，则线段BF的长度为 或 ．
【分析】存在两种情况，一是点M在CD边上，连接AM交EF于点G，作FH⊥AD于点H，则四边形ABFH是矩形，所以FH＝AB＝AD，由折叠得点M与点A关于直线EF对称，则EF垂直平分AM，所以AE＝ME，可证明△HFE≌△DAM，则HE＝DM＝1，由勾股定理得12+（4﹣AE）2＝AE2，求得AE＝，则BF＝AH＝AE﹣HE＝；二是点M在CD边的延长线上，连接AM交FE的延长线于点K，作FL⊥AD于点L，则四边形ABFL为矩形，所以FL＝AB＝AD，可证明△FLE≌△ADM，则LE＝DM＝1，由勾股定理得12+（4﹣AE）2＝AE2，求得AE＝，则BF＝AL＝AE+LE＝，于是得到问题的答案．
解：如图1，点M在CD边上，作FH⊥AD于点H，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝AD＝5，∠B＝∠D＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH＝AB＝AD，
由折叠得点M与点A关于直线EF对称，
∴EF垂直平分AM，
∴AE＝ME，∠FHE＝∠D＝∠AGE＝90°，
∵∠HFE＝∠DAM＝90°﹣∠AEF，
∴△HFE≌△DAM（ASA），
∴HE＝DM＝1，
∵DM2+DE8＝ME2，且DE＝4﹣AE，
∴32+（4﹣AE）4＝AE2，
解得AE＝，
∴BF＝AH＝AE﹣HE＝﹣1＝；
如图2，点M在CD边的延长线上，作FL⊥AD于点L，
∵∠BAL＝∠B＝∠FLA＝90°，
∴四边形ABFL为矩形，
∴FL＝AB＝AD，
∵EF垂直平分AM，
∴AE＝ME，∠AKE＝90°，
∴∠LFE＝90°﹣∠FEL＝90°﹣∠AEK＝∠DAM，
∵∠FLE＝∠ADM＝90°，
∴△FLE≌△ADM（ASA），
∴LE＝DM＝1，
∵DM7+DE2＝ME2，且DE＝4﹣AE，
∴12+（7﹣AE）2＝AE2，
解得AE＝，
∴BF＝AL＝AE+LE＝+1＝，
综上所述，线段BF的长度为或，
故答案为：或．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．已知x＝2﹣，y＝2+，求：x2+xy+y2的值．
【分析】将x2+xy+y2变形为x2+2xy+y2﹣xy，得到原式＝（x+y）2﹣xy，再把x＝2﹣，y＝2+代入计算即可求解．
解：∵x＝2﹣，y＝5+，
∴x2+xy+y7
＝x2+2xy+y6﹣xy
＝（x+y）2﹣xy
＝（2﹣+2+）3﹣（2﹣）（2+）
＝16﹣4+5
＝15．
【点评】考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答问题的关键．
18．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式，再算乘法，最后合并同类二次根式；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，最后合并同类二次根式．
解：（1）×++
＝3×+2
＝2+3；
（2）（+2）2+（+3）（
＝4+2+13﹣4
＝10+2．
【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．
19．如图，一块四边形空地ABCD，经测量∠A＝90°，DA＝4m，BC＝12m，求空地ABCD的面积．
【分析】由勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理得出三角形BDC是直角三角形即可得出结果．
解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD＝＝＝5，
在△BCD中，∵BD2+BC8＝122+56＝132＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝＝36（m2）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
四、（每小题8分，共16分）
20．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，将纸片沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，求AF的长．
【分析】由矩形的性质得AD＝BC＝8，∠A＝90°，AD∥BC，则∠ADB＝∠CBD，由折叠得∠C′BD＝∠CBD，所以∠ADB＝∠C′BD，则BF＝DF＝8﹣AF，由勾股定理得42+AF2＝（8﹣AF）2，求得AF＝3，则AF的长是3．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
由折叠得∠C′BD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠C′BD，
∴BF＝DF＝7﹣AF，
∵AB2+AF2＝BF6，
∴42+AF3＝（8﹣AF）2，
解得AF＝5，
∴AF的长是3．
【点评】此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明BF＝DF是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上（1，1）．
（1）点B的坐标为 （4，2） ，点C的坐标为 （3，4） ；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）已知点P为y轴上一点，若使得△ABP的周长最小，周长最小值为 ．
【分析】（1）由图可得出答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
（4）使△ABP的周长最小，即AP+BP最小，连接AB1，交y轴于点P，连接BP，此时满足AP+BP最小，最小值为AB1的长，利用勾股定理分别求出AB，AB1的长，即可得出答案．
解：（1）由图可得，B（4，C（3
故答案为：（6，2），4）．
（2）如图，△A3B1C1即为所求．
（3）△A8B1C1的面积为＝．
故答案为：．
（4）∵使△ABP的周长最小，
∴AB+AP+BP最小，
∵＝，为定值，
∴使AP+BP最小，
连接AB3，交y轴于点P，连接BP，
此时满足AP+BP最小，最小值为AB1的长，
∵AB1＝＝，
∴△ABP的周长最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
五、（本题10分）
22．国庆假期，小军到某景区游玩．如图，l1，l2分别表示小军与观光车沿同一路线从景区门口行驶到观景点的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．
（1）景区门口与观景点相距 3000 m，小军与观光车相遇时距离景区门口 1800 m；
（2）小军途中休息 5 min，观光车出发 6 min追上小军；
（3）若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，小军出发 25 min与观光车相遇．
【分析】（1）根据图象即可解答；
（2）通过观察函数图象作答即可；
（3）当15≤x≤33时，利用待定系数法求出l1的函数关系式，并求出当x＝15时的函数值，进而求出小军出发时的速度，并根据图象求出观光车的速度．若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，设小军出发tmin与观光车相遇，根据两者距景区门口的距离相等列方程并求解即可．
解：（1）根据图象可知，景区门口与观景点相距3000m．
故答案为：3000，1800．
（2）根据图象可知，小军途中休息15﹣10＝5（min）．
故答案为：5，7．
（3）当15≤x≤33时，设l1的函数关系式为y＝k1x+b3．将坐标（21，1800）和（33，
得，解得．
∴l1的函数关系式为y＝100x﹣300（15≤x≤33）．
当x＝15时，y＝100×15﹣300＝1200．
小军出发时的速度为＝120（m/min）＝300（m/min）．
若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，
得120t＝300（t﹣15），解得t＝25．
∴若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进．
【点评】本题考查一次函数的应用，从图象获取有用的数学信息并熟练利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
六、（本题10分）
23．请观察下列式子：
；
；
；
．
根据阅读解决下列问题：
（1）计算：＝ 5 ；＝ 6 ；
（2）猜想规律：＝ n （n为正整数）；
（3）利用规律计算的值．
【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题．
解：（1）由题知，
，
，
故答案为：5，6．
（2）由（1）知，
从7开始连续n个奇数的和等于n的平方，
又，
所以＝．
故答案为：n．
（3）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现从1开始连续n个奇数的和等于n的平方是解题的关键．
七、（本题12分）
24．如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B（2，0），点M为直线AB上的动点，设点M的横坐标为m．
（1）求直线BC的表达式；
（2）当m＝﹣3时，求△AMC的面积；
（3）当△MBC是以BM为腰的等腰三角形时，请直接写出m的值．
【分析】（1）利用待定系数法先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的表达式；
（2）利用待定系数法求出点M的坐标，利用三角形面积公式可得出结论；
（3）根据题意，需要分两种情况，当BM＝BC时，当MB＝MC时，分别列出方程求解即可．
解：（1）∵直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣4，7），4）；
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣2x+4；
（2）当m＝﹣2时，y＝﹣3+4＝7，
∴M（﹣3，1），
∴S△ACM＝（xc﹣xA）•|yM|＝×（2+4）×7＝3；
（3）m的值为：，﹣5
∵M的横坐标为m，
∴M（m，m+4），
∵B（0，4），7），
∴MB2＝（m﹣0）3+（m+4﹣4）4＝2m2，MC6＝（m﹣2）2+（m+5）2，BC＝45+22＝20，
当△MBC是以BM为腰的等腰三角形时，需要分以下两种情况，
当BM＝BC时，6m2＝20，
解得m＝；
当MB＝MC时，2m4＝（m﹣2）2+（m+7）2，
解得m＝5，
综上，m的值为．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法，坐标系下三角形的面积公式，等腰三角形的存在性等相关知识，以及分类讨论思想，进行正确的分类讨论，并列出方程是解题关键．
八、（本题12分）
25．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．
（1）若∠DAE＝90°，AD＝AE（A，D，E按逆时针排列）．
①如图1，当点D在边BC上时，请直接写出BD与CE的数量关系和位置关系；
②如图2，当点D在△ABC外部时（点E，B，C不在同一条直线上），且BE＝BC；
（2）点D在△ABC外部，若，且CD⊥BD于点D，请直接写出AD的长．
【分析】（1）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，可得结论；
②由“SAS”可证△BDE≌△BDC，可得CD＝DE；
（2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求CD的长，由“ASA”可证△ACH≌△ABD，可得AD＝AH，CH＝BD＝2，即可求解．
【解答】（1）①解：BD＝CE，BD⊥CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴BD⊥CE；
②证明：连接BD，EC，
由①可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠COD，∠BAO＝90°，
∴BD⊥CE，
∵BE＝BC，
∴∠EBD＝∠CBD，
又∵BE＝BC，BD＝BD，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴DE＝CD；
（3）解：当点D在BC的上方时，如图3，交DC于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴BC＝2，
∴CD＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠ABD＝∠ACH，
∵∠BAC＝∠DAH＝90°，
∴∠BAD＝∠CAH，
又∵AB＝AC，
∴△ACH≌△ABD（ASA），
∴AD＝AH，CH＝BD＝2，
∴DH＝8，
又∵∠DAH＝90°，
∴AD＝DH＝2，
当点D在BC的下方时，
同理可得△ACH≌△ABD（ASA），
∴AD＝AH，CH＝BD＝2，
∴DH＝6，
∴AD＝7，
综上所述：AD的长为2或6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．