2023-2024学年北京市日坛中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市日坛中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为( )
A. ∃x∈A，2x∉BB. ∃x∉A，2x∈BC. ∀x∈A，2x∉BD. ∀x∉A，2x∈B
2.下列函数为偶函数的是( )
A. y=|x|B. y=lnxC. y=exD. y=x3
3.已知函数y=sinx在区间M上单调递增，那么区间M可以是( )
A. (0,2π)B. (0,π)C. (0, 3π2)D. (0, π2)
4.已知集合A={x|lg2x<1}，B={x|y= 2x−4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (0,2)D. [0,2]
5.若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a2>b2B. 2a>2bC. a12>b12D. 1a<1b
6.设x0是函数f(x)=(13)x−lg2x的零点，若0A. f(a)=0B. f(a)<0C. f(a)>0D. f(a)的符号不确定
7.“x>0，y>0”是“yx+xy≥2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=ax2−x，若对任意x1，x2∈[2,+∞)，且x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (12,+∞)B. [12,+∞)C. (14,+∞)D. [14,+∞)
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12lg3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为( )
A. 8100B. 900C. 81D. 9
10.已知函数f(x)=4|x|+x2+a，下列命题正确个数有( )
①对于任意实数a，f(x)为偶函数
②对于任意实数a，f(x)>0
③存在实数a，f(x)在(−∞,−1)上单调递减
④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数f(x)=ln(1−x2)的定义域是______．
12.sin11π6的值为______ ．
13.函数f(x)的值域为(0,+∞)，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f(x)可以为______.(写出符合条件的一个函数即可)
14.学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.那么只参加游泳一项比赛的有______ 人.
15.已知函数f(x)=1x,x≥1,2x,x<1.则f(−2)=______；若f(t)=1，则实数t=______．
16.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at−1(a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；
②第8个月浮草的面积超过60平方米；
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3．
其中正确命题的序号有______.(注：请写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知全集U为实数集，集合A={x|−1(1)若a=4，求图中阴影部分的集合M；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
18.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<π2<β<π)的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为45,513．
(1)求tanβ的值；
(2)求sin(α+π)+cs(π−β)sin(π2−α)+cs(π2+β)的值．
19.(本小题13分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)(0<ω<2).在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在f(x)图象上相邻的两个对称中心的距离为π4；
条件②：f(x)的一条对称轴为x=π6．
(1)求ω和对称中心；
(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]上的值域．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=3x−3−x2．
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)的单调性并说明理由；
(3)若f(ax−1)+f(2−x)>0对任意a∈(−∞,2]恒成立，求x的取值范围．
21.(本小题15分)
对于集合A，定义函数fA(x)=1,x∉A,−1,x∈A.
对于两个集合A，B，定义运算A*B={x|fA(x)⋅fB(x)=−1}．
(1)若A={1,2,3}，B={2,3,4,5}，写出fA(1)与fB(1)的值，并求出A*B；
(2)证明：fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)；
(3)证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B=B*A，(A*B)*C=A*(B*C)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，
故选：A．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=|x|，是偶函数，符合题意；
对于B，y=lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于C，y=ex，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，y=x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；
故选：A．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据函数y=sinx的单调递增区间：[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，
当k=0时，单调增区间为[−π2,π2]，由于(0,π2)为[−π2,π2]的子区间，
故选：D．
直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．
本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：因为A={x|lg2x<1}={x|0B={x|y= 2x−4}={x|2x−4≥0}={x|x≥2}=[2,+∞)，
所以∁UB=(−∞,2)，
由图像可知阴影部分面积对应的集合为A∩(∁UB)=(0,2)．
故选：C．
由图像可知阴影部分面积对应的集合为A∩(∁UB)，再由集合的运算，即可得到结果．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由于a>b，且a和b的正负号不确定，所以选项 ACD都不正确．
对于选项：B由于函数y=2x为单调递增函数，且a>b，故正确
故选：B．
直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，属于基础题．由函数f(x)=(13)x−lg2x在x>0时单调递减，故当00．
【解答】
解：∵x0是函数f(x)=(13)x−lg2x的零点，
∴f(x0) =(13)x0 − lg2x0=0，
再由函数f(x)=(13)x−lg2x在x>0时单调递减，
故当00，
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：“x>0，y>0”⇔“yx+xy≥2”，反之不成立，例如取x=y=−1．
∴x>0，y>0”是“yx+xy≥2”的充分而不必要条件．
故选：A．
“x>0，y>0”⇔“yx+xy≥2”，反之不成立，例如取x=y=−1．
本题考查了基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：不妨设x2>x1≥2，
f(x1)−f(x2)x1−x2=(ax12−x1)−(ax22−x2)x1−x2=a(x12−x22)−(x1−x2)x1−x2=a(x1−x2)(x1+x2)−(x1−x2)x1−x2=a(x1+x2)−1，
∵对任意x1，x2∈[2,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，
∴x2>x1≥2时，a(x1+x2)−1>0，即a>1x1+x2恒成立
∵x2>x1≥2
∴1x1+x2<14
∴a≥14，即a的取值范围为[14,+∞)
故选：D．
对f(x1)−f(x2)x1−x2进行化简，转化为a(x1+x2)−1>0恒成立，再将不等式变形，得到a>1x1+x2，从而将恒成立问题转变成求1x1+x2的最大值，即可求出a的取值范围
本题考查了不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v=2=12lg3100，即4=lg3100，
即100=34=81，即=8100，
鲑鱼静止时耗氧量为：令v=0=12lg3′100，即′100=1，即′=100，
故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为8100100=81，
故选：C．
由题意令V=2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．
本题考查对数求值，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=4|x|+x2+a，
对于①：f(−x)=4|−x|+(−x)2+a=4|x|+x2+a=f(x)，即f(x)为偶函数，正确；
②当x=0，a=−2时，f(x)<0，错误；
③当x>0时，f(x)=4x+x2+a单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当x<0时，f(x)单调递减，正确；
④当x>0时，函数单调递增，当a=0时，由f(x)=4x+x2≥5可得x≥1，
根据偶函数的对称性可知，当x<0时，不等式的解集为x≤−1，正确．
故选：C．
由已知结合函数的单调性及奇偶性检验各命题即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性即单调性的综合应用，属于中档题．
11.【答案】(−1,1)
【解析】解：令1−x2>0，解得−1故答案为：(−1,1)．
解不等式1−x2>0即可．
本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．
12.【答案】−12
【解析】解：sin11π6=sin(2π−π6)=−sinπ6=−12．
故答案为：−12
原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
13.【答案】f(x)=(12)x
【解析】解：∵函数f(x)=(12)x的值域为(0,+∞)，且在定义域R内单调递减，
∴函数f(x)=(12)x即是符合要求的一个函数，
故答案为：f(x)=(12)x．
由函数f(x)=(12)x的值域为(0,+∞)，且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．
本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．
14.【答案】9
【解析】解：只参加游泳一项比赛的有：15−3−3=9．
故答案为：9．
根据韦恩图计算得到答案．
本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于基础题．
15.【答案】14 0或1
【解析】解：f(x)=1x,x≥1,2x,x<1.
则f(−2)=2−2=14，
∵f(t)=1，
①当t≥1时，可得1t=1，即t=1，
②当t<1时，可得2t=1，即t=0，
综上可得t=0或t=1．
故答案为：14；0或1
结合已知函数解析式，把x=−2代入即可求解f(−2)，结合已知函数解析式及f(t)=1，对t进行分类讨论分别求解．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
16.【答案】①②④
【解析】解：浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at−1(a>0且a≠1)，函数的图象经过(2,2)
所以2=a2−1，解得a=2．
①当x=0时y=12，故选项A正确．
②当第8个月时，y=28−1=27=128>60，故②正确．
③当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．
④根据函数的解析式2t1−1=10，解得t1=lg210+1，
同理t2=lg220+1，t3=lg230+1，
所以2t2=2lg220+2=lg2400+2>t1+t2=lg2300+2，
所以则2t2>t1+t3.故④正确．
故答案为：①②④．
直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：(1)当a=4时，B={x|5≤x≤11}，
因为全集U为实数集，集合A={x|−1所以∁UA={x|x≤−1或x≥6}，
由图可知阴影部分表示的是B∩(∁UA)，
所以M=B∩(∁UA)={x|6≤x≤11}；
(2)当B=⌀时，B⊆A成立，此时a+1>3a−1，解得a<1，
当B≠⌀时，因为B⊆A，
所以a+1≤3a−1a+1>−13a−1<6，解得1≤a<73，
综上，a<73，即实数a的取值范围为(−∞,73)．
【解析】(1)由图可知阴影部分表示的是B∩(∁UA)，从而可求得结果；
(2)分B=⌀和B≠⌀两种情况求解即可．
本题考查集合间关系的应用，考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为513，所以sinβ=513．
因为π2<β<π，所以csβ=−1213．
所以tanβ=sinβcsβ=−512．
(2)因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为45，所以sinα=45．
因为0<α<π2，所以csα=35，
故sin(α+π)+cs(π−β)sin(π2−α)+cs(π2+β)=−sinα−csβcsα−sinβ=−45+121335−513=47．
【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．
(2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2sin(2ωx+π6)，0<ω<2；
选①：f(x)图象上相邻两个对称中心的距离为π4，
则T=2π2ω=π2，解得ω=2，不合题意，舍去；
选②：f(x)的一条对称轴为x=π6，
则2ω×π6+π6=kπ+π2，k∈Z．
解得ω=3k+1，所以ω=1，
所以f(x)=2sin(2x+π6)，令2x+π6=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π12，k∈Z；
所以f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)，k∈Z．
(2)将f(x)=2sin(2x+π6)的图象向右移π6个单位长度(纵坐标不变)，
得到函数g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)的图象，
因为x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，
所以2sin(2x−π6)∈[−1,2]，
所以函数g(x)在[0,π2]上的值域为[−1,2]．
【解析】(1)选①：利用周期求出ω=2，不合题意，舍去；
选②：根据对称轴求出ω=1，写出f(x)的解析式，求出对称中心．
(2)根据图象平移法则写出函数g(x)的解析式，根据三角函数的图象与性质求出值域．
本题考查了三角函数的图象平移变换，以及图象性质应用问题，是中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)为奇函数．
因为f(x)定义域为R，f(−x)=3−x−3x2，
所以f(−x)=−f(x)．
所以f(x)为奇函数；
(2)f(x)=3x−3−x2在(−∞,+∞)是增函数．
因为y=3x在(−∞,+∞)是增函数，
且y=3−x在(−∞,+∞)是减函数，
所以f(x)=3x−3−x2在(−∞,+∞)是增函数，
(3)由(1)(2)知f(x)为奇函数且f(x)(−∞,+∞)是增函数．
又因为f(ax−1)+f(2−x)>0，
所以f(ax−1)>−f(2−x)=f(x−2)．
所以ax−1>x−2对任意a∈(−∞,2]恒成立．
令g(a)=xa+(1−x)，a∈(−∞,2]．
则只需x≤0,g(2)=2x+(1−x)>0.，
解得x≤0,x>−1.所以−1所以x的取值范围为(−1,0]．
【解析】(1)定义域为R，然后求出f(−x)，得f(−x)=−f(x)，所以为奇函数；
(2)直接由指数函数的单调性可判断函数f(x)的单调性；
(3)不等式变形，由奇函数的性质得出ax−1>x−2对任意a∈(−∞,2]恒成立，令关于a的函数g(a)=xa+1−x>0在(−∞,2]上恒成立，g(a)一定单调递减，所以满足则只需x≤0,g(2)=2x+(1−x)>0.解出x的范围．
考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．
21.【答案】解：(1)∵A={1,2,3}，B={2,3,4,5}，
∴fA(1)=−1，fB(1)=1，
∴A*B={1,4,5}；
(2)①当x∈A且x∈B时，fA(x)=fB(x)=−1，
所以x∉A*B.所以fA*B(x)=1，
所以fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)，
②当x∈A且x∉B时，fA(x)=−1，fB(x)=1，
所以x∈A*B.所以fA*B(x)=−1，
所以fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)，
③当x∉A且x∈B时，fA(x)=1，fB(x)=−1．
所以x∈A*B.所以fA*B(x)=−1．
所以fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)．
④当x∉A且x∉B时，fA(x)=fB(x)=1．
所以x∉A*B.所以fA*B(x)=1．
所以fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)．
综上，fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)；
(3)因为A*B={x|fA(x)⋅fB(x)=−1}，B*A={x|fB(x)⋅fA(x)=−1}={x|fA(x)⋅fB(x)=−1}，
所以A*B=B*A．
因为(A*B)*C={x|fA*B(x)⋅fC(x)=−1}={x|fA(x)⋅fB(x)⋅fC(x)=−1}，A*(B*C)={x|fA(x)⋅fB*C(x)=−1}={x|fA(x)⋅fB(x)⋅fC(x)=−1}，
所以(A*B)*C=A*(B*C)．
【解析】(1)由新定义的元素即可求出fA(1)与fB(1)的值，再分情况求出A*B；
(2)对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出fA*B(x)=fA(x)⋅fB(x)；
(3)利用(2)的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．