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2023-2024学年山东省青岛重点中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省青岛重点中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|y=lg2(3−2x)}，B={x|x2>4}，则A∪∁RB=( )
A. {x|−2≤x<32}B. {x|x<2}
C. {x|−22.已知命题p：∀x∈R，sinx+csx≥ 2，则￢p为( )
A. ∀x∈R，sinx+csx< 2B. ∃x∉R，sinx+csx< 2
C. ∀x∉R，sinx+csx< 2D. ∃x∈R，sinx+csx< 2
3.函数f(x)=x3⋅ln|x|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t(单位：天)与病情爆发系数f(t)之间，满足函数模型：f(t)=11+e−0.22(t−50)，当f(t)=0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为(参考数据：e1.1≈3)( )
A. 38B. 40C. 45D. 47
5.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，佩玉不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB=CD=4，BC=3，AD=7，则该玉佩的面积为( )
A. 496π−9 34B. 493π−9 32C. 496πD. 493π
6.函数f(x)=lnx+3x−1−6的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.已知a=ln3，b=sin3，c=e−13，则( )
A. a8.已知函数f(x)=2x−1−12x−1+1图象与函数g(x)=(x−1)3图象有三个交点，分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，则x1+y1+x2+y2+x3+y3=( )
A. 1B. 3C. 6D. 9
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若角α是第二象限角，则α2是第一象限角
B. 1−2sin1cs1=sin1−cs1
C. 若sinα+csα>1，则α是第一象限角
D. 若sin(α+π3)=25 5，则cs(π6−α)=2 55
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0
B. f(x)为奇函数
C. f(x)在区间[m,n]上有最大值f(n)
D. f(2x−1)+f(x2−2)>0的解集为{x|−311.已知x>0，y>0，且x+2y=1，下列结论中正确的是( )
A. 1x+2y的最小值是9B. 2x+4y的最小值是2 2
C. lg2x+lg2y的最大值是−2D. x2+4y2的最小值是12
12.关于函数f(x)=ln(e2x+1)−x，下列说法正确的有( )
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)的最小值为ln2，无最大值
D. 对∀x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.3(−2)3+5lg52+lg5− (lg2)2−lg4+1−2713= ______ ．
14.已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为( 32,12)，线段OP绕点O顺时针转动75°后，点P所在位置的坐标为______ ．
15.已知tanx=2，则2sin2x−sinxcsx+cs2x= ______ ．
16.已知实数x，y满足x+2x=2，2y+lg2y=1，则x+2y的值是______ ．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α满足sinα−csα=− 55．
(1)若角α是第三象限角，求tanα的值；
(2)若f(α)=sin(α−π)tan(5π+α)cs(π+α)tan(2π−α)cs(−3π2−α)，求f(α)的值．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=(a−1)x2+2ax−12(a∈R)．
(1)若a>1时，函数f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点，求实数a的取值范围；
(2)若a≤1时，关于x的方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=lg21−bxx+1(b≠−1)是定义在(−1,1)上的奇函数．
(1)求实数b的值；
(2)写出函数f(x)的单调区间(无需证明)；
(3)若f(a)−f(1−a)≤2a−1，求实数a的取值范围．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)满足：对∀x∈R，都有f(x+3)=−12f(x)，且当x∈[0,3]时，f(x)=−x2−x+m.函数g(x)=lg 3(2x−1)．
(1)求实数m的值；
(2)写出函数g(x)的单调区间(无需证明)，若x∈[0,3]，且g(x)−f(x)>0，求x的取值范围；
(3)已知h(x)=−x2+λx−λ2+3，其中x∈[0,1]，是否存在实数λ，使得g(h(x))>f(h(x))恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A={x|y=lg2(3−2x)}={x|3−2x>0}={x|x<32}，
B={x|x2>4}={x|x>2或x<−2}，
CRB={x|−2≤x≤2}，
故A∪∁RB={x|x≤2}．
故选：D．
根据已知条件，先求出集合A，B，再结合补集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，命题p：∀x∈R，sinx+csx≥ 2，是全称命题，
其否定为：∃x∈R，sinx+csx< 2；
故选：D．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析即可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
首先判断f(x)的奇偶性，再讨论x>1时，f(x)的符号，由排除法可得结论．
【解答】
解：函数f(x)=x3⋅ln|x|的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(−x)=−x3⋅ln|x|=−f(x)，可得f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故排除选项A、C；
当x>1时，f(x)>0，故排除选项B．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是一般题．
根据函数模型：f(t)=11+e−0.22(t−50)，取f(t)=0.1，求解t值得结论．
【解答】
解：由题意，11+e−0.22(t−50)=0.1，即1+e−0.22(t−50)=10，
得e−0.22(t−50)=9，
而e−0.22(t−50)=e1.1×(−0.2)(t−50)=(e1.1)−0.2(t−50)，
又e1.1≈3，∴3−0.2(t−50)=9，即−0.2(t−50)=2，
得t−50=−10，即t=40．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，熟练掌握切割补形法，扇形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
将玉佩的扇形形状补充完整，根据切割补形法，并结合线段成比例，扇形的面积公式，得解．
【解答】
解：如图所示，延长AB，DC交于点O，过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，则点E，F分别为BC，AD的中点，且OB=OC，
因为BC//AD，所以OBOA=BEAF，即OBOB+4=3272=37，解得OB=3=OC=BC，
所以△OBC是边长为3的等边三角形，所以∠BOC=π3，
所以玉佩的面积S=S扇形−S△OBC=12⋅∠BOC⋅OA2−12BC⋅OE=12×π3×72−12×3×3 32=49π6−9 34．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：f(x)=lnx+3x−1−6显然是增函数，
且x→0时，f(x)→−∞，f(1)=−5<0，f(2)=ln2−3<0，f(3)=ln3+3>0，
f(2)f(3)<0，故f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点．
故选：C．
利用零点存在性定理，直接判断即可．
本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵a=ln3>1，b=sin3c=e−13=13e>12，
∴b故选：D．
利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．
本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：已知f(x)=2x−1−12x−1+1=1−22x−1+1，且f(1)=0，
由于f(1+x)+f(1−x)=1−221+x−1+1+1−221−x−1+1=2−(22x+1+22−x+1)=2−(22x+1+212x+1)=2−(22x+1+2×2x2x+1)=2−2=0，
故f(x)=2x−1−12x−1+1的图象关于(1,0)中心对称，
又g(x)=(x−1)3关于(1,0)中心对称，且g(1)=0，
不妨设(x2,y2)=(1,0)，
则f(x)=2x−1−12x−1+1与g(x)=(x−1)3的交点(x1,y1)，(x3,y3)关于点(1,0)中心对称，
即x1+x3=2，y1+y3=0，
故x1+y1+x2+y2+x3+y3=2+1=3．
故选：B．
求出f(x)=2x−1−12x−1+1的图象关于(1,0)中心对称，g(x)=(x−1)3关于(1,0)中心对称，且f(1)=g(1)=0，设(x2,y2)=(1,0)，则(x1,y1)，(x3,y3)关于点(1,0)中心对称，从而求出答案．
本题考查了函数的性质，重点考查了函数与方程的应用，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：A选项，若角α是第二象限角，则{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}，
故{α|π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z}，
当k=2n+1，n∈Z时，{α|5π4+2nπ<α2<3π2+2nπ,n∈Z}在第三象限，
当k=2n，n∈Z时，{α|π4+2nπ<α2<π2+2nπ,n∈Z}在第一象限，
则α2是第一象限角或第三象限角，A错误；
B选项， 1−2sin1cs1= sin21−2sin1cs1+cs21=|sin1−cs1|，
因为1>π4，所以sin1>cs1，故 1−2sin1cs1=sin1−cs1，B正确；
C选项，由题意得sinα+csα= 2sin(α+π4)>1，故sin(α+π4)> 22，
故π4+2kπ<α+π4<3π4+2kπ,k∈Z，解得2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，
则α是第一象限，C正确；
D选项，若sin(α+π3)=25 5，
则cs(π6−α)=cs[π2−(α+π3)]=sin(α+π3)=2 55，D正确．
故选：BCD．
A选项，设{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}，进而求出{α|π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z}，得到α2是第一象限角或第三象限角；B选项，利用同角三角函数平方关系及sin1>cs1判断；C选项，利用正弦和角公式得到sin(α+π4)> 22，求出2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，得到答案；D选项，整体法利用诱导公式求出答案．
本题主要考查了象限角的应用，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，可得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，A选项正确；
对于B选项，由于函数f(x)的定义域为R，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，
所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取x1，x2∈R，且x10，
所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；
对于D选项，由f(2x−1)+f(x2−2)>0，可得f(x2−2)>−f(2x−1)=f(1−2x)，
又函数f(x)在R上为减函数，则x2−2<1−2x，
整理得x2+2x−3<0，解得−3故选：ABD．
令x=y=0可判断A选项；
令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，得到f(−x)=−f(x)可判断B选项；
任取x1，x2∈R，且x10，根据单调性的定义得到函数f(x)在R上的单调性，可判断C选项；
由f(2x−1)+f(x2−2)>0可得f(x2−2)>−f(2x−1)=f(1−2x)，结合函数f(x)在R上的单调性可判断D选项．
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用这些性质解不等式，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：x>0，y>0，且x+2y=1，
A项，1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=1+4+2yx+2xy≥5+2 2yx⋅2xy=9，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时等号成立，∴1x+2y的最小值是9，A正确；
B项，由2x+4y=2x+22y≥2 2x⋅22y=2 2x+2y=2 2，
当且仅当x=12,y=14时等号成立，∴2x+4y的最小值为2 2，B正确；
C项，由1=x+2y≥2 2xy，解得xy≤18，当且仅当x=12,y=14时等号成立，
∴xy的最大值为18，lg2x+lg2y=lg2xy≤lg218=−3，
lg2x+lg2y的最大值是−3，C错误．
D项，∵2(x2+4y2)≥(x2+4y2)+2x⋅(2y)=(x+2y)2=1，
∴x2+4y2≥12，当且仅当x=12,y=14时等号成立，
∴x2+4y2的最小值是12，D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：BC选项，f(x)=ln(e2x+1)−x=lne2x+1ex=ln(ex+e−x)，
其中ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当ex=e−x，即x=0时，等号成立，
∴f(x)≥ln2，故f(x)的最小值为ln2，无最大值，C正确，
其中f(x)的定义域为R，且f(−x)=ln(e−x+ex)=f(x)，
故f(x)为偶函数，B正确；
A选项，当x>0时，令ex=t>1，则f(x)=ln(ex+e−x)⇒g(t)=ln(t+1t)，t>1，
由对勾函数性质可知y=t+1t在(1,+∞)上单调递增，
又y=lnx在(2,+∞)上单调递增，
故g(t)=ln(t+1t)在t∈(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
又f(x)为R上的偶函数，
故f(x)在x∈(−∞,0)上单调递减，A错误；
D选项，f(x1+x22)=ln(ex1+x22+e−x1−x22)，
f(x1)+f(x2)2=ln(ex1+e−x1)+ln(ex2+e−x2)2=ln(ex1+e−x1)⋅(ex2+e−x2)2
=ln ex1+x2+e−x1−x2+ex1−x2+ex2−x1，
其中(ex1+x22+e−x1−x22)2=ex1+x2+e−x1−x2+2ex1+x22⋅e−x1−x22=ex1+x2+e−x1−x2+2，
而 ex1+x2+e−x1−x2+ex1−x2+ex2−x12=ex1+x2+e−x1−x2+ex1−x2+ex2−x1
≥ex1+x2+e−x1−x2+2 ex1−x2⋅ex2−x1=ex1+x2+e−x1−x2+2，
当且仅当ex1−x2=ex2−x1，即x1=x2时，等号成立，
又又y=lnx在(0,+∞)上单调递增，∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，D正确．
故选：BCD．
BC选项，化简得到f(x)=ln(ex+e−x)，由基本不等式求出ex+e−x≥2，从而得到f(x)的最小值为ln2，无最大值，并得到f(−x)=f(x)，判断BC；A选项，换元，结合对勾函数性质得到f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，由函数奇偶性得到f(x)在x∈(−∞,0)上单调递减；D选项，作差，结合基本不等式作差判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法、对勾函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】−3
【解析】解：3(−2)3+5lg52+lg5− (lg2)2−lg4+1−2713
=−2+2+lg5− (lg2)2−2lg2+1−(33)13
=lg5− (lg2−1)2−3
=lg5+lg2−1−3=1−1−3=−3．
故答案为：−3．
利用对数运算法则和指数，根号运算法则进行计算．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】( 22,− 22)
【解析】解：因为( 32,12)在第一象限，又( 32)2+(12)2=1，
故点P在单位圆上，
设点P的初始位置所在角为α∈(0°,90°)，
则tanα=12 32= 33，故α=30°，
顺时针转动75°后，点P在第四象限，
设转动后的角为β，则β=30°−75°=−45°，
因为sin(−45°)=− 22,cs(−45°)= 22，
所以点P所在位置的坐标为( 22,− 22)．
故答案为：( 22,− 22)．
求出点P在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点P所在位置的坐标．
本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
15.【答案】75
【解析】解：2sin2x−sinxcsx+cs2x=2sin2x−sinxcsx+cs2xsin2x+cs2x=2tan2x−tanx+1tan 2x+1=75
故答案为：75．
利用sin2x+cs2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cs2x，得到tanx的表达式，即可求出结果
本题考查三角函数的齐次式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．
16.【答案】2
【解析】解：∵2y+lg2y=1，∴2=2y+lg2y+1=2y+lg22y=2lg22y+lg22y，
∴x+2x=2lg22y+lg22y，
令f(x)=x+2x，明显f(x)为单调递增函数，
∴x=lg22y，∴x=lg2y+1，
∴lg2y=x−1，∴1=2y+lg2y=2y+x−1，∴x+2y=2．
故答案为：2．
通过变形得到x+2x=2lg22y+lg22y，可构造函数f(x)=x+2x，利用单调性得到x=lg22y，结合条件2y+lg2y=1可得x+2y的值．
本题考查对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由题意和同角三角函数基本关系式，有sinα−csα=− 55sin2α+cs2α=1，
消去sinα得5cs2α− 5csα−2=0，解得csα=2 55或csα=− 55．
因为角α是第三象限角，所以csα=− 55，sinα=−2 55，tanα=2．
(2)f(α)=−sinαtanα(−csα)−tanαsinα=−csα，
当角α是第一象限角时，csα=2 55，f(α)=−2 55．
当角α是第三象限角时，csα=− 55，f(α)= 55．
【解析】(1)根据同角三角函数关系，求得sinα，csα，即可求得结果；
(2)利用诱导公式化简f(α)，根据(1)中所求，即可求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a>1时，f(x)=(a−1)x2+2ax−12开口向上，为连续函数，
且f(0)=−12<0，
要想f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点，只需f(2)>0，
即4(a−1)+4a−12>0，解得a>916，
又因为a>1，
综上，实数a的取值范围是{a|a>1}；
(2)当a=1时，f(x)=2x−12为一次函数，令2x−12=0，
解得x=14∈(0,2)，满足f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根，
当a<1时，f(x)=(a−1)x2+2ax−12开口向下，为连续函数，且f(0)=−12<0，
当Δ=4a2−4(a−1)×(−12)=0，解得a=−1或12，
当a=−1时，f(x)=−2x2−2x−12，令−2x2−2x−12=0，
解得x=−12∉(0,2)，舍去，
当a=12<1时，f(x)=−12x2+x−12，令−12x2+x−12=0，
解得x=1∈(0,2)，满足要求，
当Δ>0a<1，即a∈(−∞,−1)⋃(12,1)时，
要想方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根，
只需f(2)>0，解得a>916，
(−∞,−1)⋃(12,1)与(916,+∞)取交集得(916,1)，
综上，实数a的取值范围是(916,1]⋃{12}．
【解析】(1)f(0)=−12<0，由零点存在性定理得到f(2)>0，结合a>1求出答案；
(2)考虑a=1和a<1两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案．
本题考查函数与方程的关系，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，即lg21+bx−x+1=−lg21−bxx+1，
故1+bx−x+1=x+11−bx，即1−b2x2=1−x2，
故b2=1，又b≠−1，故b=1，
检验b=1符合题意；
(2)单调递减区间为(−1,1)，无递增区间，理由如下：
由(1)得f(x)=lg21−xx+1，
任取x1，x2∈(−1,1)，且x1故f(x1)−f(x2)=lg21−x1x1+1−lg21−x2x2+1=lg2(1−x1x1+1⋅x2+11−x2)
=lg2x2−x1+1−x1x2x1−x2+1−x1x2，
由于(x2−x1+1−x1x2)−(x1−x2+1−x1x2)=2(x2−x1)>0，
故x2−x1+1−x1x2>x1−x2+1−x1x2，
又x1−x2+1−x1x2=(x1+1)(1−x2)>0，
故x2−x1+1−x1x2x1−x2+1−x1x2>1，lg2x2−x1+1−x1x2x1−x2+1−x1x2>0，
即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)的单调递减区间为(−1,1)，无递增区间；
(3)f(x)=lg21−xx+1
f(a)−f(1−a)≤2a−1可化为f(a)−a≤f(1−a)−(1−a)，
令g(x)=f(x)−x=lg21−xx+1−x，x∈(−1,1)，
则g(a)≤g(1−a)，
由(2)知，f(x)=lg21−xx+1在x∈(−1,1)上单调递减，
故g(x)=f(x)−x在x∈(−1,1)上单调递减，
所以a≥1−a−1实数a的取值范围为[12,1)．
【解析】(1)根据f(−x)=−f(x)得到方程，求出b=1；
(2)利用定义法得到函数的单调递减区间为(−1,1)，无递增区间；
(3)不等式化为f(a)−a≤f(1−a)−(1−a)，构造g(x)=f(x)−x=lg21−xx+1−x，x∈(−1,1)，得到其单调递减，从而得到不等式，求出实数a的取值范围．
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，还考查了函数的单调性的判断及函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(3)=−12f(0)，即−32−3+m=−12m，
解得m=8；
(2)单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间，理由如下：
令2x−1>0，解得x>0，故g(x)=lg 3(2x−1)的定义域为(0,+∞)，
又t=2x−1在(0,+∞)上单调递增，且y=lg 3t在(0,+∞)上单调递增，
由复合函数单调性可知，g(x)=lg 3(2x−1)的单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间；
x∈[0,3]时，g(x)−f(x)>0，即lg 3(2x−1)+x2+x−8>0，
令u(x)=lg 3(2x−1)+x2+x−8，x∈(0,3]，
可以看出u(2)=lg 33+4+2−8=0，①
又g(x)=lg 3(2x−1)在(0,3]上单调递增，
y=x2+x−8=(x+12)2−334在(0,3]上单调递增，
故u(x)=lg 3(2x−1)+x2+x−8在(0,3]上单调递增，②
由①②得g(x)−f(x)>0的解集为(2,3]；
(3)g(x)=lg 3(2x−1)的定义域为(0,+∞)，
要使g(h(x))>f(h(x))恒成立，首先满足h(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，
由于h(x)=−x2+λx−λ2+3开口向下，
只需h(0)=−λ2+3>0h(1)=−1+λ−λ2+3>0，解得−1<λ< 3，
此时h(x)=−(x−λ2)2−34λ2+3≤−34λ2+3≤3，
故当−1<λ< 3时，0令s=h(x)(0f(s)恒成立，即g(s)−f(s)>0恒成立，
由(2)可知，g(s)−f(s)>0的解集为s∈(2,3]，
故只需h(0)=−λ2+3>2h(1)=−1+λ−λ2+3>2，解得0<λ<1，
综上，存在0<λ<1满足条件．
【解析】(1)根据f(3)=−12f(0)，可求出答案；
(2)先求定义域，再根据复合函数单调性求出单调区间，g(x)−f(x)>0转化为lg 3(2x−1)+x2+x−8>0，令u(x)=lg 3(2x−1)+x2+x−8，由x∈(0,3]，可看出u(2)=0，结合函数u(x)单调性得到不等式的解集；
(3)根据g(x)的定义域，首先满足h(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，得到不等式，求出−1<λ< 3，得到当−1<λ< 3时，0本题主要考查了函数恒成立问题，考查复合函数单调性的综合应用，属于难题．
1.已知集合A={x|y=lg2(3−2x)}，B={x|x2>4}，则A∪∁RB=( )
A. {x|−2≤x<32}B. {x|x<2}
C. {x|−2
A. ∀x∈R，sinx+csx< 2B. ∃x∉R，sinx+csx< 2
C. ∀x∉R，sinx+csx< 2D. ∃x∈R，sinx+csx< 2
3.函数f(x)=x3⋅ln|x|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t(单位：天)与病情爆发系数f(t)之间，满足函数模型：f(t)=11+e−0.22(t−50)，当f(t)=0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为(参考数据：e1.1≈3)( )
A. 38B. 40C. 45D. 47
5.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，佩玉不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB=CD=4，BC=3，AD=7，则该玉佩的面积为( )
A. 496π−9 34B. 493π−9 32C. 496πD. 493π
6.函数f(x)=lnx+3x−1−6的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.已知a=ln3，b=sin3，c=e−13，则( )
A. a
A. 1B. 3C. 6D. 9
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若角α是第二象限角，则α2是第一象限角
B. 1−2sin1cs1=sin1−cs1
C. 若sinα+csα>1，则α是第一象限角
D. 若sin(α+π3)=25 5，则cs(π6−α)=2 55
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0
B. f(x)为奇函数
C. f(x)在区间[m,n]上有最大值f(n)
D. f(2x−1)+f(x2−2)>0的解集为{x|−3
A. 1x+2y的最小值是9B. 2x+4y的最小值是2 2
C. lg2x+lg2y的最大值是−2D. x2+4y2的最小值是12
12.关于函数f(x)=ln(e2x+1)−x，下列说法正确的有( )
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)的最小值为ln2，无最大值
D. 对∀x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.3(−2)3+5lg52+lg5− (lg2)2−lg4+1−2713= ______ ．
14.已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为( 32,12)，线段OP绕点O顺时针转动75°后，点P所在位置的坐标为______ ．
15.已知tanx=2，则2sin2x−sinxcsx+cs2x= ______ ．
16.已知实数x，y满足x+2x=2，2y+lg2y=1，则x+2y的值是______ ．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α满足sinα−csα=− 55．
(1)若角α是第三象限角，求tanα的值；
(2)若f(α)=sin(α−π)tan(5π+α)cs(π+α)tan(2π−α)cs(−3π2−α)，求f(α)的值．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=(a−1)x2+2ax−12(a∈R)．
(1)若a>1时，函数f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点，求实数a的取值范围；
(2)若a≤1时，关于x的方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=lg21−bxx+1(b≠−1)是定义在(−1,1)上的奇函数．
(1)求实数b的值；
(2)写出函数f(x)的单调区间(无需证明)；
(3)若f(a)−f(1−a)≤2a−1，求实数a的取值范围．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)满足：对∀x∈R，都有f(x+3)=−12f(x)，且当x∈[0,3]时，f(x)=−x2−x+m.函数g(x)=lg 3(2x−1)．
(1)求实数m的值；
(2)写出函数g(x)的单调区间(无需证明)，若x∈[0,3]，且g(x)−f(x)>0，求x的取值范围；
(3)已知h(x)=−x2+λx−λ2+3，其中x∈[0,1]，是否存在实数λ，使得g(h(x))>f(h(x))恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A={x|y=lg2(3−2x)}={x|3−2x>0}={x|x<32}，
B={x|x2>4}={x|x>2或x<−2}，
CRB={x|−2≤x≤2}，
故A∪∁RB={x|x≤2}．
故选：D．
根据已知条件，先求出集合A，B，再结合补集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，命题p：∀x∈R，sinx+csx≥ 2，是全称命题，
其否定为：∃x∈R，sinx+csx< 2；
故选：D．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析即可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
首先判断f(x)的奇偶性，再讨论x>1时，f(x)的符号，由排除法可得结论．
【解答】
解：函数f(x)=x3⋅ln|x|的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(−x)=−x3⋅ln|x|=−f(x)，可得f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故排除选项A、C；
当x>1时，f(x)>0，故排除选项B．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是一般题．
根据函数模型：f(t)=11+e−0.22(t−50)，取f(t)=0.1，求解t值得结论．
【解答】
解：由题意，11+e−0.22(t−50)=0.1，即1+e−0.22(t−50)=10，
得e−0.22(t−50)=9，
而e−0.22(t−50)=e1.1×(−0.2)(t−50)=(e1.1)−0.2(t−50)，
又e1.1≈3，∴3−0.2(t−50)=9，即−0.2(t−50)=2，
得t−50=−10，即t=40．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，熟练掌握切割补形法，扇形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
将玉佩的扇形形状补充完整，根据切割补形法，并结合线段成比例，扇形的面积公式，得解．
【解答】
解：如图所示，延长AB，DC交于点O，过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，则点E，F分别为BC，AD的中点，且OB=OC，
因为BC//AD，所以OBOA=BEAF，即OBOB+4=3272=37，解得OB=3=OC=BC，
所以△OBC是边长为3的等边三角形，所以∠BOC=π3，
所以玉佩的面积S=S扇形−S△OBC=12⋅∠BOC⋅OA2−12BC⋅OE=12×π3×72−12×3×3 32=49π6−9 34．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：f(x)=lnx+3x−1−6显然是增函数，
且x→0时，f(x)→−∞，f(1)=−5<0，f(2)=ln2−3<0，f(3)=ln3+3>0，
f(2)f(3)<0，故f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点．
故选：C．
利用零点存在性定理，直接判断即可．
本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵a=ln3>1，b=sin3
∴b
利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．
本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：已知f(x)=2x−1−12x−1+1=1−22x−1+1，且f(1)=0，
由于f(1+x)+f(1−x)=1−221+x−1+1+1−221−x−1+1=2−(22x+1+22−x+1)=2−(22x+1+212x+1)=2−(22x+1+2×2x2x+1)=2−2=0，
故f(x)=2x−1−12x−1+1的图象关于(1,0)中心对称，
又g(x)=(x−1)3关于(1,0)中心对称，且g(1)=0，
不妨设(x2,y2)=(1,0)，
则f(x)=2x−1−12x−1+1与g(x)=(x−1)3的交点(x1,y1)，(x3,y3)关于点(1,0)中心对称，
即x1+x3=2，y1+y3=0，
故x1+y1+x2+y2+x3+y3=2+1=3．
故选：B．
求出f(x)=2x−1−12x−1+1的图象关于(1,0)中心对称，g(x)=(x−1)3关于(1,0)中心对称，且f(1)=g(1)=0，设(x2,y2)=(1,0)，则(x1,y1)，(x3,y3)关于点(1,0)中心对称，从而求出答案．
本题考查了函数的性质，重点考查了函数与方程的应用，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：A选项，若角α是第二象限角，则{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}，
故{α|π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z}，
当k=2n+1，n∈Z时，{α|5π4+2nπ<α2<3π2+2nπ,n∈Z}在第三象限，
当k=2n，n∈Z时，{α|π4+2nπ<α2<π2+2nπ,n∈Z}在第一象限，
则α2是第一象限角或第三象限角，A错误；
B选项， 1−2sin1cs1= sin21−2sin1cs1+cs21=|sin1−cs1|，
因为1>π4，所以sin1>cs1，故 1−2sin1cs1=sin1−cs1，B正确；
C选项，由题意得sinα+csα= 2sin(α+π4)>1，故sin(α+π4)> 22，
故π4+2kπ<α+π4<3π4+2kπ,k∈Z，解得2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，
则α是第一象限，C正确；
D选项，若sin(α+π3)=25 5，
则cs(π6−α)=cs[π2−(α+π3)]=sin(α+π3)=2 55，D正确．
故选：BCD．
A选项，设{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}，进而求出{α|π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z}，得到α2是第一象限角或第三象限角；B选项，利用同角三角函数平方关系及sin1>cs1判断；C选项，利用正弦和角公式得到sin(α+π4)> 22，求出2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，得到答案；D选项，整体法利用诱导公式求出答案．
本题主要考查了象限角的应用，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，可得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，A选项正确；
对于B选项，由于函数f(x)的定义域为R，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，
所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1
所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；
对于D选项，由f(2x−1)+f(x2−2)>0，可得f(x2−2)>−f(2x−1)=f(1−2x)，
又函数f(x)在R上为减函数，则x2−2<1−2x，
整理得x2+2x−3<0，解得−3
令x=y=0可判断A选项；
令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，得到f(−x)=−f(x)可判断B选项；
任取x1，x2∈R，且x1
由f(2x−1)+f(x2−2)>0可得f(x2−2)>−f(2x−1)=f(1−2x)，结合函数f(x)在R上的单调性可判断D选项．
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用这些性质解不等式，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：x>0，y>0，且x+2y=1，
A项，1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=1+4+2yx+2xy≥5+2 2yx⋅2xy=9，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时等号成立，∴1x+2y的最小值是9，A正确；
B项，由2x+4y=2x+22y≥2 2x⋅22y=2 2x+2y=2 2，
当且仅当x=12,y=14时等号成立，∴2x+4y的最小值为2 2，B正确；
C项，由1=x+2y≥2 2xy，解得xy≤18，当且仅当x=12,y=14时等号成立，
∴xy的最大值为18，lg2x+lg2y=lg2xy≤lg218=−3，
lg2x+lg2y的最大值是−3，C错误．
D项，∵2(x2+4y2)≥(x2+4y2)+2x⋅(2y)=(x+2y)2=1，
∴x2+4y2≥12，当且仅当x=12,y=14时等号成立，
∴x2+4y2的最小值是12，D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：BC选项，f(x)=ln(e2x+1)−x=lne2x+1ex=ln(ex+e−x)，
其中ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当ex=e−x，即x=0时，等号成立，
∴f(x)≥ln2，故f(x)的最小值为ln2，无最大值，C正确，
其中f(x)的定义域为R，且f(−x)=ln(e−x+ex)=f(x)，
故f(x)为偶函数，B正确；
A选项，当x>0时，令ex=t>1，则f(x)=ln(ex+e−x)⇒g(t)=ln(t+1t)，t>1，
由对勾函数性质可知y=t+1t在(1,+∞)上单调递增，
又y=lnx在(2,+∞)上单调递增，
故g(t)=ln(t+1t)在t∈(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
又f(x)为R上的偶函数，
故f(x)在x∈(−∞,0)上单调递减，A错误；
D选项，f(x1+x22)=ln(ex1+x22+e−x1−x22)，
f(x1)+f(x2)2=ln(ex1+e−x1)+ln(ex2+e−x2)2=ln(ex1+e−x1)⋅(ex2+e−x2)2
=ln ex1+x2+e−x1−x2+ex1−x2+ex2−x1，
其中(ex1+x22+e−x1−x22)2=ex1+x2+e−x1−x2+2ex1+x22⋅e−x1−x22=ex1+x2+e−x1−x2+2，
而 ex1+x2+e−x1−x2+ex1−x2+ex2−x12=ex1+x2+e−x1−x2+ex1−x2+ex2−x1
≥ex1+x2+e−x1−x2+2 ex1−x2⋅ex2−x1=ex1+x2+e−x1−x2+2，
当且仅当ex1−x2=ex2−x1，即x1=x2时，等号成立，
又又y=lnx在(0,+∞)上单调递增，∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，D正确．
故选：BCD．
BC选项，化简得到f(x)=ln(ex+e−x)，由基本不等式求出ex+e−x≥2，从而得到f(x)的最小值为ln2，无最大值，并得到f(−x)=f(x)，判断BC；A选项，换元，结合对勾函数性质得到f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，由函数奇偶性得到f(x)在x∈(−∞,0)上单调递减；D选项，作差，结合基本不等式作差判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法、对勾函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】−3
【解析】解：3(−2)3+5lg52+lg5− (lg2)2−lg4+1−2713
=−2+2+lg5− (lg2)2−2lg2+1−(33)13
=lg5− (lg2−1)2−3
=lg5+lg2−1−3=1−1−3=−3．
故答案为：−3．
利用对数运算法则和指数，根号运算法则进行计算．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】( 22,− 22)
【解析】解：因为( 32,12)在第一象限，又( 32)2+(12)2=1，
故点P在单位圆上，
设点P的初始位置所在角为α∈(0°,90°)，
则tanα=12 32= 33，故α=30°，
顺时针转动75°后，点P在第四象限，
设转动后的角为β，则β=30°−75°=−45°，
因为sin(−45°)=− 22,cs(−45°)= 22，
所以点P所在位置的坐标为( 22,− 22)．
故答案为：( 22,− 22)．
求出点P在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点P所在位置的坐标．
本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
15.【答案】75
【解析】解：2sin2x−sinxcsx+cs2x=2sin2x−sinxcsx+cs2xsin2x+cs2x=2tan2x−tanx+1tan 2x+1=75
故答案为：75．
利用sin2x+cs2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cs2x，得到tanx的表达式，即可求出结果
本题考查三角函数的齐次式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．
16.【答案】2
【解析】解：∵2y+lg2y=1，∴2=2y+lg2y+1=2y+lg22y=2lg22y+lg22y，
∴x+2x=2lg22y+lg22y，
令f(x)=x+2x，明显f(x)为单调递增函数，
∴x=lg22y，∴x=lg2y+1，
∴lg2y=x−1，∴1=2y+lg2y=2y+x−1，∴x+2y=2．
故答案为：2．
通过变形得到x+2x=2lg22y+lg22y，可构造函数f(x)=x+2x，利用单调性得到x=lg22y，结合条件2y+lg2y=1可得x+2y的值．
本题考查对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由题意和同角三角函数基本关系式，有sinα−csα=− 55sin2α+cs2α=1，
消去sinα得5cs2α− 5csα−2=0，解得csα=2 55或csα=− 55．
因为角α是第三象限角，所以csα=− 55，sinα=−2 55，tanα=2．
(2)f(α)=−sinαtanα(−csα)−tanαsinα=−csα，
当角α是第一象限角时，csα=2 55，f(α)=−2 55．
当角α是第三象限角时，csα=− 55，f(α)= 55．
【解析】(1)根据同角三角函数关系，求得sinα，csα，即可求得结果；
(2)利用诱导公式化简f(α)，根据(1)中所求，即可求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a>1时，f(x)=(a−1)x2+2ax−12开口向上，为连续函数，
且f(0)=−12<0，
要想f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点，只需f(2)>0，
即4(a−1)+4a−12>0，解得a>916，
又因为a>1，
综上，实数a的取值范围是{a|a>1}；
(2)当a=1时，f(x)=2x−12为一次函数，令2x−12=0，
解得x=14∈(0,2)，满足f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根，
当a<1时，f(x)=(a−1)x2+2ax−12开口向下，为连续函数，且f(0)=−12<0，
当Δ=4a2−4(a−1)×(−12)=0，解得a=−1或12，
当a=−1时，f(x)=−2x2−2x−12，令−2x2−2x−12=0，
解得x=−12∉(0,2)，舍去，
当a=12<1时，f(x)=−12x2+x−12，令−12x2+x−12=0，
解得x=1∈(0,2)，满足要求，
当Δ>0a<1，即a∈(−∞,−1)⋃(12,1)时，
要想方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根，
只需f(2)>0，解得a>916，
(−∞,−1)⋃(12,1)与(916,+∞)取交集得(916,1)，
综上，实数a的取值范围是(916,1]⋃{12}．
【解析】(1)f(0)=−12<0，由零点存在性定理得到f(2)>0，结合a>1求出答案；
(2)考虑a=1和a<1两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案．
本题考查函数与方程的关系，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，即lg21+bx−x+1=−lg21−bxx+1，
故1+bx−x+1=x+11−bx，即1−b2x2=1−x2，
故b2=1，又b≠−1，故b=1，
检验b=1符合题意；
(2)单调递减区间为(−1,1)，无递增区间，理由如下：
由(1)得f(x)=lg21−xx+1，
任取x1，x2∈(−1,1)，且x1
=lg2x2−x1+1−x1x2x1−x2+1−x1x2，
由于(x2−x1+1−x1x2)−(x1−x2+1−x1x2)=2(x2−x1)>0，
故x2−x1+1−x1x2>x1−x2+1−x1x2，
又x1−x2+1−x1x2=(x1+1)(1−x2)>0，
故x2−x1+1−x1x2x1−x2+1−x1x2>1，lg2x2−x1+1−x1x2x1−x2+1−x1x2>0，
即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)的单调递减区间为(−1,1)，无递增区间；
(3)f(x)=lg21−xx+1
f(a)−f(1−a)≤2a−1可化为f(a)−a≤f(1−a)−(1−a)，
令g(x)=f(x)−x=lg21−xx+1−x，x∈(−1,1)，
则g(a)≤g(1−a)，
由(2)知，f(x)=lg21−xx+1在x∈(−1,1)上单调递减，
故g(x)=f(x)−x在x∈(−1,1)上单调递减，
所以a≥1−a−1
【解析】(1)根据f(−x)=−f(x)得到方程，求出b=1；
(2)利用定义法得到函数的单调递减区间为(−1,1)，无递增区间；
(3)不等式化为f(a)−a≤f(1−a)−(1−a)，构造g(x)=f(x)−x=lg21−xx+1−x，x∈(−1,1)，得到其单调递减，从而得到不等式，求出实数a的取值范围．
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，还考查了函数的单调性的判断及函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(3)=−12f(0)，即−32−3+m=−12m，
解得m=8；
(2)单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间，理由如下：
令2x−1>0，解得x>0，故g(x)=lg 3(2x−1)的定义域为(0,+∞)，
又t=2x−1在(0,+∞)上单调递增，且y=lg 3t在(0,+∞)上单调递增，
由复合函数单调性可知，g(x)=lg 3(2x−1)的单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间；
x∈[0,3]时，g(x)−f(x)>0，即lg 3(2x−1)+x2+x−8>0，
令u(x)=lg 3(2x−1)+x2+x−8，x∈(0,3]，
可以看出u(2)=lg 33+4+2−8=0，①
又g(x)=lg 3(2x−1)在(0,3]上单调递增，
y=x2+x−8=(x+12)2−334在(0,3]上单调递增，
故u(x)=lg 3(2x−1)+x2+x−8在(0,3]上单调递增，②
由①②得g(x)−f(x)>0的解集为(2,3]；
(3)g(x)=lg 3(2x−1)的定义域为(0,+∞)，
要使g(h(x))>f(h(x))恒成立，首先满足h(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，
由于h(x)=−x2+λx−λ2+3开口向下，
只需h(0)=−λ2+3>0h(1)=−1+λ−λ2+3>0，解得−1<λ< 3，
此时h(x)=−(x−λ2)2−34λ2+3≤−34λ2+3≤3，
故当−1<λ< 3时，0
由(2)可知，g(s)−f(s)>0的解集为s∈(2,3]，
故只需h(0)=−λ2+3>2h(1)=−1+λ−λ2+3>2，解得0<λ<1，
综上，存在0<λ<1满足条件．
【解析】(1)根据f(3)=−12f(0)，可求出答案；
(2)先求定义域，再根据复合函数单调性求出单调区间，g(x)−f(x)>0转化为lg 3(2x−1)+x2+x−8>0，令u(x)=lg 3(2x−1)+x2+x−8，由x∈(0,3]，可看出u(2)=0，结合函数u(x)单调性得到不等式的解集；
(3)根据g(x)的定义域，首先满足h(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，得到不等式，求出−1<λ< 3，得到当−1<λ< 3时，0
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