2023-2024学年山东省日照市高二上学期期中校际联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省日照市高二上学期期中校际联合考试数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数除法运算求出复数z即得.
【详解】依题意，.
故选：B
2．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可求解.
【详解】由，可得，
所以直线的斜率为，则倾斜角为，
故选:C.
3．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．外离
【答案】D
【分析】求出两圆的圆心距，判断其和半径之间的大小关系，即得答案.
【详解】的圆心为，半径为2，
的圆心为，半径为2，
则，
故两圆外离，
故选：D
4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.
【详解】.
故选：D
5．已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先求出焦点到渐近线的距离为，由勾股定理求出的边长，再由面积得到的关系，从而求出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为：
过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，则
所以在中，，所以
则，即
所以，即，所以，故
故选：C
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于基础题.
6．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】如图，以点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设平面的法向量为，根据平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，可得，求出平面的法向量，从而可得出答案.
【详解】解：如图，以点建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则，
，，.
设平面的法向量为，
则可令，∴，
所以.
故选：B.
7．已知两点，，若直线上存在四个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据△MNP是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线y=k（x-3）相交，且k≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．
【详解】当P1M⊥x，P4M⊥x时，此时存在两个直角三角形，
当MN为直角三角形的斜边时，△MNP是直角三角形，
要使直线y=k（x-3）上存在四个点P（i=1，2，3，4），
使得△MNP是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线y=k（x-3）相交，且k≠0，
圆心O到直线kx-y-3k=0的距离，
平方得9k2<4（1+k2）=4+4k2，
即5k2<4，即k2<，得，
又k≠0，∴实数k的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和圆的性质的应用，属于中等题.
8．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ）

A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】设椭圆方程，作出辅助线，由椭圆定义得到，，设，表达出其他边长，利用勾股定理得到方程，求出，，联立椭圆方程和圆的方程，求出，得到斜率.
【详解】设椭圆方程为，连接，

由题意得，，，⊥，
因为，设，则，
故，，
由勾股定理得，，即，解得，
又，即，
将代入中，解得，
又，
故椭圆方程为，又以为直径的圆的方程为，
联立与，解得，
故，故点，
所以直线的斜率为.
故选：A
二、多选题
9．曲线C的方程为，则下列命题正确的是（ ）
A．若曲线C为双曲线，则
B．若曲线C为椭圆，则，且
C．曲线C不可能是圆
D．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则
【答案】ABD
【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程.
【详解】A．因为，所以一正一负，所以曲线是双曲线，则,故A正确；
B．因为，，所以曲线是椭圆，则，且,故B正确；
C．因为且，所以曲线是半径为的圆，故C错误；
D．因为曲线C为焦点在x轴上的椭圆，,所以，故D正确；
故选：ABD.
10．设a为非零实数，直线，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．恒过点D．当时，不经过第一象限
【答案】BD
【分析】根据题意，由两直线平行垂直的关系即可判断AB，将点代入直线方程即可判断C，分别讨论，以及即可判断D.
【详解】若，则，解得或（舍），故A错误；
若，则，解得或（舍），故B正确；
将点代入直线，可得，故不过点，故C错误；
若不经过第一象限，当时，此时，则，
解得且；当时，即，此时不经过第一象限；当时，即，此时不经过第一象限；综上所述，当且时，不经过第一象限，故D正确；
故选：BD
11．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．
【详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则，离心率，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确．
故选：BCD．
12．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是
【答案】AC
【分析】对于,根据面平面，可知点到平面的距离不变，结合方形的面积不变，可判断正确；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值范围即可求得；对于，分析点的位置，确定点的轨迹，求出轨迹长度，求和即可；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据平面，则，从而有，
利用坐标求得，即可求出其范围.
【详解】对于,因为平面平面，
所以当P在侧面上运动时，点到平面的距离不变，
而正方形的面积不变，所以当P在侧面上运动时，
四棱锥的体积不变，故正确；
对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，
设与所成角为，
则，
，当时，；
当时,
，
则，综上，.
所以当在线段上运动时，与所成角的取值范围是，故错误；
对于，因为直线与平面所成角为，
若点在平面和平面内，
最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，作平面,
因为,所以
因为所以所以
点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹长度为
所以点的轨迹总长度为故正确；
对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，,
则，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
则，
因为平面,所以，
即，
所以，
当时，等号成立，故错误.
故选：
三、填空题
13．已知向量，，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知向量，，且，
则，
故答案为：
14．已知复数是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解即得.
【详解】由复数是纯虚数，得，解得，
所以实数.
故答案为：1
15．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则 ．
【答案】6
【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为，即可求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，
所以的周长为，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，
因为C与S的离心率之比为，即，
所以.
故答案为：6.
16．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为 ．
【答案】
【分析】利用，两点所在截面的圆心，将P，Q两点间的距离转化为的模计算即可.
【详解】如图，
设过点且平行底面的截面圆心为，
过点且平行底面的截面圆心为，
设圆柱底面半径为，则，所以.
，因为,
所以
.
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．
(1)求复数z的模；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.
（2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.
【详解】（1）解：设，则，
∴，
∴，，
∴，则；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得：，
即实数m的取值范围为．
18．已知圆的方程为：，点.
(1)求过点的的切线方程；
(2)过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）配方法求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式可求出斜率，可得直线方程；（2）根据弦长公式可求出圆心到直线的距离，进而求出直线方程.
【详解】（1），圆心
当切线斜率不存在时，检验知不是切线；
当切线斜率存在时，设
解之：或0，故直线方程为：或
（2）由弦长公式，
当直线斜率不存在时，满足；
当直线斜率存在时，设
解之代入
化简得：
故直线方程为：或
19．如图，四棱锥，底面是正方形，平面，，，点E在线段SD上．
(1)求证：；
(2)若直线BE与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的额性质即可证明结论；
（2）根据直线BE与平面所成的角的正弦值，求出线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：连接BD，因为底面是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，SD，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
（2）因为平面，点E是线段SD上的点，
所以直线BE与平面所成的角为，所以，
又因为四边形是正方形，，所以，
设，则，
所以，解得，即．
以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则由，得，
即，令，得
平面ADE的一个法向量为，
由图可知二面角为锐二面角，设为，
所以，
所以二面角的余弦值为．
20．已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，斜率为的直线l与点M的轨迹C交于A，B两点．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线NA，的斜率分别为，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线定义求解轨迹方程;
（2）先设对称点,结合韦达定理计算斜率可得定值.
【详解】（1）由题意可知，点M的轨迹C是以，为焦点的双曲线，
且，，所以，，
所以，所以动点M的轨迹C的方程为．
（2）设，，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
所以，
，
则，故．
21．如图（1）所示，在中，，，，DE垂直平分AB．现将三角形ADE沿DE折起，使得二面角大小为60°，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）．

(1)求点D到面PEC的距离；
(2)点Q为一动点，满足，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置．
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离；
（2）利用空间向量的坐标运算表示出线面夹角的正弦值，即可求最大值.
【详解】（1）由，，，
得，
所以,所以,,
因为垂直平分，所以，
所以为平面与平面的二面角的平面角，
所以，，所以为等边三角形，
取中点，连接，所以
因为平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
因为，，所以为二面角的平面角，
所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则.
所以
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以点D到面PEC的距离为.
（2）设因为，所以
所以，所以
所以，
设直线线BQ与平面PEC所成角为，
，
所以当时，有最大值为.
此时直线与平面所成角最大，
即当时，直线与平面所成角最大.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．
(1)求C的标准方程；
(2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)定值为．
【分析】（1）根据面积求出，即可得出椭圆方程；
（2）设，根据相似三角形表示出，利用直线与椭圆方程化简可得的和积，代入化简即可得解.
【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形，
所以有且，解得，故，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由已知，则，
设，因为，
所以．
又因为，所以，
所以
．
即．
设，的方程分别为：，，
设，，
则，
所以，
因此，
同理可得：，因此，，
所以．
所以为定值，定值为．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于运算，大量的运算保证了消参的进行，为求证定值的必要条件，运算能力的培养是解决问题的关键.