2023-2024学年山东省青岛市西海岸新区高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛市西海岸新区高二上学期期中数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】将抛物线化为标准方程，利用定义即可求解.
【详解】因为抛物线可化为，则，
由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为，
故选：.
2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．
【详解】解：向量，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
3．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据共面定理逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，A错误．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，B错误．
假设存在m，n，使得，
则，显然无解，所以，，不共面，
所以是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，D错误．
故选：C
4．坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函数求出的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围.
【详解】因为点，是相异两点，
，且，
设直线的倾斜角为，则
当，倾斜角的范围为．
当，倾斜角的范围为．
故选：B
【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题.
5．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据正八面体的性质得到，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可.
【详解】
由正八面体的性质可得，，则，
.
故选：A.
6．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】点是曲线上的任意一点，故点满足方程，可表示点与点连线斜率，由几何意义易得结论.
【详解】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：

可表示点与点连线斜率
当直线与圆相切时：设直线方程为，即
圆心到直线距离，
解得或，
又，所以，
当直线经过点时，，
综上
故选：B.
7．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设右焦点为，通过双曲线的特点知原点为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出的长度及判断出垂直于，通过勾股定理得到的关系，进而求出双曲线的离心率.
【详解】如图，设右焦点为，则为的中点，
因为，所以为的中点，
所以为的中位线，所以，，
因为为圆的切点，所以，
所以，
因为点在双曲线右支上，所以，
所以，
在中，，
所以，即，
所以离心率，
故选：C

8．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.
【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由已知得，由抛物线的定义得，
故，
在直角三角形中，，，
又因为，
则，从而得，
又因为，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知曲线（ ）
A．若，则为椭圆
B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于
D．若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
【答案】BCD
【解析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确：
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，D正确.
故选：BCD.
10．阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：和点，若圆C上存在点P，使其中O为坐标原点，则t的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【分析】由求出点的轨迹为圆，再将问题化为两圆有交点，根据圆心距与两圆半径之间的关系列式，求出的范围，从而可得答案.
【详解】设，由得，
整理得，即，
依题意可知，圆与圆有交点，
两圆圆心分别为和，两圆半径分别为和，
圆心距为，
所以，即，解得，
所以的取值可以是和.
故选：AB
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，逐项分析即得.
【详解】以为基底，则
对A：∵
则
∴，A正确；
对B：∵，
则
∴，B正确；
对C：∵
则，即
∴，则，C错误；
对D：∵
则
即
∴，即直线与AC所成为，D正确；
故选：ABD.
12．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（ ）
A．的周长为B．
C．平分线的斜率为D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】由分析知点为直线与椭圆的交点，故的周长为，可判断A；设，由椭圆的定义和角平分线定理求出，，可判断B；由余弦定理可判断D；点在轴上方，设直线的倾斜角为，由两角差的正切公式求出可判断C.
【详解】点关于平分线的对称点在直线上，
又点关于平分线的对称点也在椭圆上，
所以点为直线与椭圆的交点，故的周长为，故A正确；
设的平分线交于点，设，
则，
所以，而，
设则，于是，
所以，，，，，
所以，故B正确；
在，由余弦定理可得：，
则，则，所以，故D正确；
不妨设点在轴上方，由题意可知，点在椭圆的下顶点处，则，
，，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性知平分线的斜率为或，故C不正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为 ．
【答案】或
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：或．
14．圆关于直线对称的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即为对称圆圆心，又因为关于直线对称的圆半径不变，从而求出对称圆的方程.
【详解】圆，即，
表示以为圆心，半径为1的圆，
设圆心关于直线对称点的坐标为，
由，
解得，，
故圆心关于直线对称点的坐标为，
故对称圆的圆心为，
因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为1，
故所求对称圆方程为.
故答案为：.
15．已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点．若，则线段的长为 ．
【答案】；
【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立，利用抛物线的定义、结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
所以直线的方程为：，
与抛物线方程联立得：，设，
，因为，
所以，
即，
所以，
故答案为：
16．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为 .
【答案】/0.5
【分析】先由求得，再利用求得，即可求出离心率.
【详解】
由于椭圆关于原点对称，不妨设点在轴上方.设点纵坐标为，点纵坐标为，内切圆半径为，椭圆长轴长为，焦距为，
则，得，又，
即，又，化简得，即，
解得，可得离心率为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的三个顶点是，，．
(1)求的面积S；
(2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程．
【答案】(1)13
(2)或
【分析】（1）先求直线的方程，再利用点到直线的距离可得三角形的高，结合面积公式可得答案；
（2）分情况求解，所求直线可能与直线平行，也可能经过线段的中点，结合平行的特点及点斜式方程可得答案.
【详解】（1）由，得直线的方程为，
，
点C到直线的距离为 ；
所以的面积S为.
（2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
①当直线与平行，所以，所以：即．
②当直线通过的中点，
所以，所以：，即．
综上：直线的方程为或．
18．已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和的关系求解即可；
（2）设，，利用点差法求解即可.
【详解】（1）由题意可得椭圆中，
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率，
故的方程为，即．

19．如图1，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，现将，分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）.

(1)证明：M、N、A、B四点共面；
(2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）分别取，的中点，，连接，，由面面垂直的性质可得平面，平面，故，再证明四边形是平行四边形，可得，从而可证明；
（2）取的中点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）证明：如图：

取，的中点，，连接，，如图，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
同理可得平面，所以，
在直角三角形中，，
所以，同理，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，是，的中点，所以，
所以，所以M、N、A、B四点共面.
（2）在图1中，，
所以，所以，
取的中点，连接，则，所以,
由（1）知，，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，
， ，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，即，
令，则，
又，设直线与平面所成角为，
所以 .
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．数学家欧拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若的顶点A(2,0)，B(0,4)，且的欧拉线的方程为，记外接圆圆心记为M. 求：
(1)圆M的方程；
(2)已知圆N：，过圆M和圆N外一点P分别作两圆的切线，与圆M切于点A，与圆N切于点B，且，求P点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由A(2,0)，B(0,4)，可知AB的中垂线方程为，将其与欧拉线联立，可得外心坐标，后可得外接圆M的方程；
（2）设，由题有，，后可得答案.
【详解】（1）因，则AB的中点为，
又，则AB的中垂线方程为，
将其与欧拉线方程联立有，解得，
故的外心为，则外接圆半径为，故圆M的方程为.
（2）设，由题有
，
.
因，则.
化简得：
所以点的轨迹方程为：.
21．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果.
【详解】（1）在图中取中点，连接，，
，，，，，
，，，四边形为矩形，，
，又，为等边三角形；
又，为等边三角形；
在图中，取中点，连接，
为等边三角形，，，
，又，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设棱上存在点且满足题意，
即，解得：，即，
则，
设平面的法向量，
则，令，则，
，
到平面的距离为，解得：，
，
又平面的一个法向量，
，
又二面角为锐二面角，二面角的大小为.
22．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且,设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得，结合椭圆的定义即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据两点斜率公式即可代入求解.
【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，
所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以，轨迹的方程为.
（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线AB方程为：，D坐标为．所以，
设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故（定值）．

【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；
（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.